ヤコブスタール和の一般化2

前回の記事

前回の記事 ヤコブスタール和の一般化 の議論を拡張してみました。

記号の約束

$p$を奇素数とします。
$q$を$p$の累乗とします。
${\mathbb{F}}_q$を位数$q$の有限体とします。
${\mathbb{F}}_q^{\times }$を位数$q$の有限体の乗法群とします。
$a$は${\mathbb{F}}_q$の元
$H$を${\mathbb{F}}_p^{\times }$の部分群とする。
$h$は$H$の元

$U_1$を絶対値$1$の複素数のなす群とする。
${\theta }^{\prime }(a)$を${\mathbb{F}}_q^{\times }$から$U_1$への群準同型
$\rho (h)$を$H$から$U_1$への群準同型
${\tau }^{\prime }(a)$を${\mathbb{F}}_q^{\times }$から$U_1$への群準同型

$\theta (a):=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{\theta }^{\prime }(a)a\ne 0\\ 0a=0\end{array}\end{array}$
$\tau (a)$も同じように定義域を拡張する。

$|A|$は$A$が有限集合なら位数、$A$が複素数なら絶対値とする。

仮定

仮定$1$
${\theta }^{\prime }(a)$は${\mathbb{F}}_p^{\times }$で非自明

$\beta (a)$

$\beta (a)$の定義

$$\beta (a):=\sum _{h\in H}\tau (a^p-a)\theta (h+a)\rho (h)$$

$\beta (a)$の性質

性質1

$h^{\prime }\in H\subset {\mathbb{F}}_p$
$$\beta (h^{\prime }a)=\sum _{h\in H}\tau ((h^{\prime }a{)}^p-h^{\prime }a)\theta (h+h^{\prime }a)\rho (h)$$ $$=\tau (h^{\prime })\sum _{h\in H}\tau (a^p-a)\theta (h^{\prime }h+h^{\prime }a)\rho (h^{\prime }h)=\tau (h^{\prime })\theta (h^{\prime })\rho (h^{\prime })\beta (a)$$
$|\beta (a){|}^2=|\beta (h^{\prime }a){|}^2$

性質2

$\beta (0)=\sum _{h\in H}\tau (0)\theta (h)\rho (h)$は$\tau$の定義より$0$
$\beta (0)=0$

定理

$$\sum _{Ha\in H\mathrm{\setminus }{\mathbb{F}}_p^{\times }}|\beta (a){|}^2=q-p$$

証明

$$\sum _{a\in {\mathbb{F}}_q^{\times }}|\beta (a){|}^2=\sum _{a\in {\mathbb{F}}_q}|\beta (a){|}^2$$
$$=\sum _{a\in {\mathbb{F}}_q}\sum _{h,h^{\prime }\in H}\tau (a^p-a)\theta (h+a)\rho (h)\overline{\tau (a^p-a)\theta (h^{\prime }+a)\rho (h^{\prime })}$$
$$=\sum _{h,h^{\prime }\in H}\rho (h(h^{\prime }{)}^{-1})\sum _{a\in {\mathbb{F}}_q}\theta (h+a)\overline{\theta (h^{\prime }+a)}|\tau (a^p-a){|}^2$$
$(a^{\prime }:=h^{\prime }+a)$
$$=\sum _{h,h^{\prime }\in H}\rho (h(h^{\prime }{)}^{-1})\sum _{a^{\prime }\in {\mathbb{F}}_q}\theta (h-h^{\prime }+a^{\prime })\overline{\theta (a^{\prime })}|\tau (a^{\prime p}-a^{\prime }){|}^2$$
$\tau$の定義より$a^{\prime }\notin {\mathbb{F}}_p\Rightarrow a^{\prime }\ne 0$としてよい,
$(a:=a^{\prime -1})$
$$=\sum _{h,h^{\prime }\in H}\rho (h(h^{\prime }{)}^{-1})\sum _{a\in {\mathbb{F}}_q-{\mathbb{F}}_p}\theta (h-h^{\prime }+a^{-1})\theta (a)$$
$$=\sum _{h,h^{\prime }\in H}\rho (h(h^{\prime }{)}^{-1})\sum _{a\in {\mathbb{F}}_q-{\mathbb{F}}_p}\theta ((h-h^{\prime })a+1)$$
$$=\sum _{h,h^{\prime }\in H}\rho (h(h^{\prime }{)}^{-1})\sum _{a\in {\mathbb{F}}_q}\theta ((h-h^{\prime })a+1)-\sum _{h,h^{\prime }\in H}\rho (h(h^{\prime -1}))\sum _{a\in {\mathbb{F}}_p}\theta ((h-h^{\prime })a+1)$$
以下
$h=h^{\prime }$か$h\ne h^{\prime }$で和を分ける
$h=h^{\prime }$の場合$|H|(q-p)$
$h\ne h^{\prime }$の場合の第$2$項仮定$1$を用いて下記のように$0$になる
$$\sum _{a\in {\mathbb{F}}_p}\theta ((h-h^{\prime })a+1)=\sum _{a\in {\mathbb{F}}_p}\theta (a)=\sum _{a\in {\mathbb{F}}_p^{\times }}{\theta }^{\prime }(a)=0$$
第$1$項の${\mathbb{F}}_q$の場合も同じく

まとめると
$$\sum _{a\in {\mathbb{F}}_q^{\times }}|\beta (a){|}^2=|H|(q-p)$$
$\beta (a)$の性質1より
$$\sum _{Ha\in H\mathrm{\setminus }{\mathbb{F}}_q^{\times }}|\beta (a){|}^2=q-p$$
証明終了

前回の記事の$\alpha (a)$は${\mathbb{F}}_p$を${\mathbb{F}}_q$に変えれば下記が成り立ち、
$$\sum _{Ha\in H\mathrm{\setminus }{\mathbb{F}}_q^{\times }}|\alpha (a){|}^2=q$$
次の式がなりたつ。
$$\sum _{Ha\in H\mathrm{\setminus }{\mathbb{F}}_q^{\times }}(|\alpha (a){|}^2-|\beta (a){|}^2)=p$$