ヤコブスタール和の一般化2

前回の記事

前回の記事 ヤコブスタール和の一般化 の議論を拡張してみました。

記号の約束

$p$を奇素数とします。
$q$を$p$の累乗とします。
$\mathbb{F}_q $を位数$q$の有限体とします。
$\mathbb{F}_q^{\times} $を位数$q$の有限体の乗法群とします。
$a$は$\mathbb{F}_q $の元
$H$を$\mathbb{F}_p^{\times} $の部分群とする。
$h$は$H$の元

$U_1$を絶対値$1$の複素数のなす群とする。
$θ'(a)$を$\mathbb{F}_q^{\times} $から$U_1$への群準同型
$ρ(h)$を$H$から$U_1$への群準同型
$τ'(a)$を$\mathbb{F}_q^{\times} $から$U_1$への群準同型

$θ(a):= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \ θ'(a) \ \ \ a\neq0 \\ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ a=0 \end{array} \right. \end{eqnarray} $
$τ(a)$も同じように定義域を拡張する。

$ |A| $は$A$が有限集合なら位数、$A$が複素数なら絶対値とする。

仮定

仮定$1$
$ θ'(a) $は$\mathbb{F}_p^{\times} $で非自明

$β(a)$

$β(a)$の定義

$$β(a):=\sum_{h \in H}τ(a^p-a)θ(h+a)ρ(h)$$

$β(a)$の性質

性質1

$h'\in H \subset \mathbb{F}_p$
$$β(h'a)=\sum_{h \in H}τ((h'a)^p-h'a)θ(h+h'a)ρ(h)$$ $$ =τ(h')\sum_{h \in H}τ(a^p-a)θ(h'h+h'a)ρ(h'h)=τ(h')θ(h')ρ(h')β(a)$$
$|β(a)|^2=|β(h'a)|^2$

性質2

$β(0)=\sum_{h \in H}τ(0)θ(h)ρ(h)$は$τ$の定義より$0$
$β(0)=0$

定理

$$\sum_{Ha\in H \backslash \mathbb{F}_p^{\times} }|β(a)|^2=q-p$$

証明

$$\sum_{a\in \mathbb{F}_q^{\times} }|β(a)|^2= \sum_{a\in \mathbb{F}_q }|β(a)|^2$$
$$=\sum_{a\in \mathbb{F}_q }\sum_{h,h'\in H}τ(a^p-a)θ(h+a)ρ(h)\overline{ τ(a^p-a)θ (h'+a)ρ(h') } $$
$$=\sum_{h,h'\in H}ρ(h(h')^{-1})\sum_{a\in \mathbb{F}_q}θ(h+a) \overline{ θ (h'+a)} |τ(a^p-a)|^2$$
$(a':=h'+a)$
$$=\sum_{h,h'\in H}ρ(h(h')^{-1})\sum_{a'\in \mathbb{F}_q}θ(h-h'+a') \overline{ θ (a')} |τ(a'^p-a')|^2$$
$τ$の定義より$a'\notin \mathbb{F}_p ⇒a'\neq 0$としてよい,
$(a:=a'^{-1})$
$$=\sum_{h,h'\in H}ρ(h(h')^{-1})\sum_{a\in \mathbb{F}_q-\mathbb{F}_p }θ(h-h'+a^{-1}) θ (a) $$
$$=\sum_{h,h'\in H}ρ(h(h')^{-1})\sum_{a\in \mathbb{F}_q-\mathbb{F}_p }θ((h-h')a+1) $$
$$=\sum_{h,h'\in H}ρ(h(h')^{-1})\sum_{a\in \mathbb{F}_q}θ((h-h')a+1)- \sum_{h,h'\in H}ρ(h(h'^{-1})) \sum_{a\in \mathbb{F}_p }θ((h-h')a+1)$$
以下
$h=h'$か$h\neq h'$で和を分ける
$h=h'$の場合$|H|(q-p)$
$h\neq h'$の場合の第$2$項仮定$1$を用いて下記のように$0$になる
$$\sum_{a\in \mathbb{F}_p}θ((h-h')a+1)=\sum_{a\in \mathbb{F}_p}θ(a)=\sum_{a\in \mathbb{F}_p^{\times}}θ'(a)=0$$
第$1$項の$\mathbb{F}_q $の場合も同じく

まとめると
$$\sum_{a\in \mathbb{F}_q^{\times} }|β(a)|^2=|H|(q-p)$$
$ β(a) $の性質1より
$$\sum_{Ha\in H \backslash \mathbb{F}_q^{\times} }|β(a)|^2=q-p$$
証明終了

前回の記事の$α(a)$は$\mathbb{F}_p$を$\mathbb{F}_q$に変えれば下記が成り立ち、
$$ \sum_{Ha\in H \backslash \mathbb{F}_q^{\times} }|α(a)|^2=q$$
次の式がなりたつ。
$$ \sum_{Ha\in H \backslash \mathbb{F}_q^{\times} }(|α(a)|^2-|β(a)|^2)=p$$