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コンパクトハウスドルフ空間の連結成分

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コンパクトハウスドルフ空間では連結成分が開かつ閉集合の交叉で書けるという有名事実を示します。

Xをコンパクトハウスドルフ空間とする。xXの連結成分(それを含む最大の連結集合)Axを含む開かつ閉集合全部の交叉である。xを含む開かつ閉集合全体をFとすれば、A=CFCである。

K:=CFCとおく。まず、AKを示す。
開かつ閉集合Cに対し、ACまたはACcAの連結性より成り立つ。特に、CFに対しACだから、両辺の交叉を取りAKである。

逆の包含を示す。Kが連結でないと仮定して矛盾を導く。
Kは閉集合だから、仮定より非空な閉集合2つのdisjoint unionになっている。その片方上で1、もう片方上で0を取る指示関数fK上の連続関数を定める。一般性を失わずf(x)=1として良い。Tietzeの拡張定理からF:X[0,1]であって、そのKへの制限がfと一致するFが存在する。
実は、F{0,1}-値に取り直すことができることを示す。もしそうならば、FはあるCFの指示関数となるから、Kの取り方からF(K)={1}となって、F=f on Kに反する。
F{0,1}-値に取り直す。開集合U:=[0,ε)(1ε,1][0,1]F(K)Uだから、CFCF1(U)である。これをCF(CF1(U))=と見ると、有限交叉性よりある有限集合FFCF(CF1(U))=となっている。再び逆の操作をすると、C:=CFCF(C)Uである。今、Cは開かつ閉集合だから指示関数1Cも連続であり、各点毎の掛け算F:=1C×Fも連続なfの拡張である。Fの像はUに入るが、π:U{0,1}であって{0,1}上恒等写像になるものとの合成πFにより、結局{0,1}-値のfの連続拡張が得られたことになる。

コンパクトハウスドルフ空間だと開集合ではなく積極的に連続関数を取って議論する方が分かりやすいように感じる。

投稿日:514
更新日:530
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SOFT ANALYSIS

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