コンパクトハウスドルフ空間のあれこれ

$K:=\bigcap_{C\in\F}C$とおく。まず、$A\subset K$を示す。
開かつ閉集合$C$に対し、$A\subset C$または$A\subset C^c$が$A$の連結性より成り立つ。特に、$C\in\F$に対し$A\subset C$だから、両辺の交叉を取り$A\subset K$である。

逆の包含を示す。$K$が連結でないと仮定して矛盾を導く。
$K$は閉集合だから、仮定より非空な閉集合2つのdisjoint unionになっている。その片方上で1、もう片方上で0を取る指示関数$f$は$K$上の連続関数を定める。一般性を失わず$f(x)=1$として良い。Tietzeの拡張定理から$F:X\to[0,1]$であって、その$K$への制限が$f$と一致する$F$が存在する。
実は、$F$は$\{0,1\}$-値に取り直すことができることを示す。もしそうならば、$F$はある$C\in\F$の指示関数となるから、$K$の取り方から$F(K)=\{1\}$となって、$F=f\ \text{on}\ K$に反する。
$F$を$\{0,1\}$-値に取り直す。開集合$U:=[0,\ve)\cup(1-\ve,1]\subset[0,1]$は$F(K)\subset U$だから、$\bigcap_{C\in\F}C\subset F^{-1}(U)$である。これを$\bigcap_{C\in\F}(C\setminus F^{-1}(U))=\emptyset$と見ると、有限交叉性よりある有限集合$\F'\subset \F$で$\bigcap_{C\in\F'}(C\setminus F^{-1}(U))=\emptyset$となっている。再び逆の操作をすると、$C':=\bigcap_{C\in\F'}C$は$F(C')\subset U$である。今、$C'$は開かつ閉集合だから指示関数$\siji_{C'}$も連続であり、各点毎の掛け算$F':=\siji_{C'}\times F$も連続な$f$の拡張である。$F'$の像は$U$に入るが、$\pi:U\to\{0,1\}$であって$\{0,1\}$上恒等写像になるものとの合成$\pi\circ F'$により、結局$\{0,1\}$-値の$f$の連続拡張が得られたことになる。

ハウスドルフ性から閉性が出るのは簡単です。実際、ハウスドルフ性から対角集合$\Delta_{X/R}\subset (X/R)\times(X/R)$の閉性が出ますが、$R$とはこれの連続写像$X\times X\to (X/R)\times(X/R)$での逆像だから閉です。

$R\subset X\times X$の閉性から$X/R$のハウスドルフ性を導きます。
まず、商$\pi:X\to X/R$が閉であることを示します。今はまだ$X/R$はコンパクトハウスドルフだと分かっていないので、これは非自明な主張です。これを示すには、閉集合$C\subset X$に対して$\pi^{-1}(\pi(C))\subset X$が閉であればいいですが、実際これはコンパクト集合$(C\times X)\cap R$の第二成分への射影の像として書けるのでコンパクト、$X$のハウスドルフ性より閉です。
次に、$x\in X$の$R$-同値類$\pi^{-1}(\pi\{x\})\subset X$の開近傍$U\supset \pi^{-1}(\pi\{x\})$を取ります。今、$\pi^{-1}(\pi(U^c))\subset X$が閉だから$U':=\pi^{-1}(\pi(U^c))^c\subset X$は$R$-saturatedな（つまり同値類に関して閉じている）$x$の開近傍になります。$U'$とは$U$の最大の$R$-saturatedな部分集合なんですが、これがそうなっていることは「$X$が長方形、その下に直線$X/R$とその射影$\pi$」を書いて適当に描いた$U$に対し上のプロセスをやると何言っているかが分かります（$R$-saturatedとは単にfiberをfullに含んでいるというだけのことです）。
さて、$\pi(x)\neq\pi(y)\in X/R$に対して、$\pi^{-1}(\pi\{x\}),\pi^{-1}(\pi\{y\})\subset X$の交わらない開近傍$U,V$を取ってきます。これは$\pi^{-1}(\pi\{x\})$が閉であることと$X$が分離公理を満たす（コンパクトハウスドルフ性）ことから分かります。この$U,V$に対し上のプロセスから$U',V'$という開近傍が作れますが、その$\pi(U'),\pi(V')$（つまり$\pi(U^c)^c,\pi(V^c)^c$）は$X/R$内で$\pi(x),\pi(y)$を分離する開近傍です。