とおく。まず、を示す。
開かつ閉集合に対し、またはがの連結性より成り立つ。特に、に対しだから、両辺の交叉を取りである。
逆の包含を示す。が連結でないと仮定して矛盾を導く。
は閉集合だから、仮定より非空な閉集合2つのdisjoint unionになっている。その片方上で1、もう片方上で0を取る指示関数は上の連続関数を定める。一般性を失わずとして良い。Tietzeの拡張定理からであって、そのへの制限がと一致するが存在する。
実は、は-値に取り直すことができることを示す。もしそうならば、はあるの指示関数となるから、の取り方からとなって、に反する。
を-値に取り直す。開集合はだから、である。これをと見ると、有限交叉性よりある有限集合でとなっている。再び逆の操作をすると、はである。今、は開かつ閉集合だから指示関数も連続であり、各点毎の掛け算も連続なの拡張である。の像はに入るが、であって上恒等写像になるものとの合成により、結局-値のの連続拡張が得られたことになる。