あげます！スぺちゃんもにっこりスペクトルで計算する行列関数

[1]
\begin{eqnarray} |S_{n}|&\leq&\sum_{k=0}^{n}(|a_{k}|^{\frac{1}{k}}|z|)^{k}\\ &=&\sum_{k=0}^{N_{0}}(|a_{k}|^{\frac{1}{k}}|z|)^{k}+\sum_{k=N_{0}+1}^{n}(|a_{k}|^{\frac{1}{k}}|z|)^{k} \end{eqnarray}
[2]$\lambda\coloneqq\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\gt n}{|a_{k}|^{\frac{1}{k}}}=\sup\{|a_{k}|^{\frac{1}{k}},|a_{k+1}|^{\frac{1}{k+1}},...\}$の様に置く。
すると、上極限の定義より、任意の正数$\epsilon\gt0$に対してある自然数$n_{0}$が存在して任意の自然数$n\gt n_{0}$に対して以下の不等式が成り立つ。
\begin{equation} \lambda-\epsilon\lt \sup_{k\gt n}|a_{k}|^{\frac{1}{k}}\leq \lambda \end{equation}
つまり、有限個の$|a_{k_{1}}|^{\frac{1}{k_{1}}},...,|a_{k_{m}}|^{\frac{1}{k_{m}}}$を除いて$\lambda-\epsilon\lt|a_{k}|^{\frac{1}{k}}\leq \lambda$を満たす事が分かる。
[3]この事から有限個の$k_{0},...,k_{m}$を除いて$|z|$を下記の不等式を満たすように取る事で[1]の右辺は収束する事が分かる。
\begin{equation} |z|\lt\frac{1}{\lambda}\leq\frac{1}{|a_{k}|^{\frac{1}{k}}}\lt \frac{1}{\lambda-\epsilon} \end{equation}
[4]よって、極限操作を取る事で$\displaystyle r=\frac{1}{\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\gt n}{|a_{k}|^{\frac{1}{k}}}}$を得る。

極限の定義に従って計算する。
まず右辺の極限値を$\lambda$とおく。すると任意の正数$\epsilon\gt 0$に対して、整数$n_{0}\in\mathbb{N}_{0}$が存在して任意の自然数$n\in\mathbb{N}(n\gt n_{0})$に対して以下の不等式が成り立つ。
\begin{equation} \lambda-\epsilon\lt |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|\lt\lambda+\epsilon \end{equation}
よって帰納的にこの不等式を使用する事で
\begin{equation} (\lambda-\epsilon)^{k}\lt|\frac{a_{n_{0}+k+1}}{a_{n_{0}+1}}|\lt (\lambda+\epsilon)^{k} \end{equation}
整理して以下の不等式を得る。
\begin{equation} \{(\lambda-\epsilon)^{k}|a_{n_{0}+1}|\}^{\frac{1}{n_{0}+k+1}}\lt|a_{n_{0}+k+1}|^{\frac{1}{n_{0}+k+1}}\lt\{(\lambda+\epsilon)^{k}|a_{n_{0}+1}|\}^{\frac{1}{n_{0}+k+1}} \end{equation}
$n_{0}$を固定し$k\rightarrow\infty$の極限を取り、さらに$\epsilon\rightarrow0$の極限を取る事で挟み撃ちの原理より$\lambda=\lim_{n\rightarrow\infty}|a_{n}|^{\frac{1}{n}}$を得るので証明完了。

$r=\lim_{n\rightarrow\infty}|\frac{c_{n}}{c_{n+1}}|$を用いる。
\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty}|\frac{k^{n}c_{n}}{k^{n+1}c_{n+1}}|=\frac{r}{k} \end{eqnarray}

以下$(A^{n})_{ij}\coloneqq a_{ij}^{(n)}$の様に表す。
\begin{eqnarray} ||A^{2}||&=&||\sum_{k=1}^{n}a_{ij}^{(1)}a_{ij}^{(1)}||\\ &\leq&\sum_{k=1}^{n}||A||^{2}\\ &\lt&n(r^{'})^{2} \end{eqnarray}
よって$||A^{m}||\lt n^{m-1}(r^{'})^{m}$が成り立つと仮定してみる。$m=1$の場合は明らかであり、$m=2$の場合は先ほど示した。
そこで$1,2,...,m$まで成立するとすると
\begin{eqnarray} ||A^{m+1}||&=&||\sum_{k=1}^{n}a_{ij}^{(m)}a_{ij}^{(1)}||\\ &=&\sum_{k=1}^{n}||A^{m}||||A||\\ &=&n^{m-1}(r^{'})^{m+1}\sum_{k=1}^{n}\\ &=&n^{m}(r^{'})^{m+1} \end{eqnarray}
が成り立つ。$r^{'}=\frac{r}{n}$を代入して$||A^{m}||\lt \frac{r^{m+1}}{n}$。
以上の計算により、各$A^{m}$の$(i,j)$成分は$\frac{r^{m+1}}{n}$を超えないので$f(A)$で表される行列の各々成分は絶対収束する事がわかる。
すなわち、$f(A)$が有限値を持行列である事が言えた。

[$\Leftarrow$]多項式$p(z),q(z)$が$p(A)=q(A)$を満たしたとする。
まず$r(z)\coloneqq p(z)-q(z)$の様に置くと、$r(A)=p(A)-q(A)=O$が成り立つので、最小多項式$\Psi_{A}(z)$で$r(z)$は割り切れる事が分かる。
すなわち$\exists h(z)\in\mathbb{C}[z]\ s.t. \ r(z)=h(z)\Psi_{A}(z)$が成り立つ。
さらに$\Psi_{A}(z)$は$\lambda_{s}$について$m_{s}$重根を持つので次式が成り立つ事を得る。
\begin{equation} \forall s\in \{1,2,...,t\}: r^{(k)}(\lambda_{s})=0\quad(k=0,1,2,...,m_{s}-1) \end{equation}
すなわち
\begin{equation} \forall s\in \{1,2,...,t\}: p^{(k)}(\lambda_{s})=q^{(k)}(\lambda_{s})\quad(k=0,1,2,...,m_{s}-1) \end{equation}
[$\Rightarrow$]与えられた条件が成立すると仮定すると、$r(z)\coloneqq p(z)-q(z)$は$\lambda_{s}$について$m_{s}$重根を持つので最小多項式$\Psi_{A}(z)$で割り切れる事が分かる。
よって、$r(A)=O$を得るので$p(A)=q(A)$が示せた。

[唯一性]$h_{1}(z),h_{2}(z)$をその様な多項式とする。そして$h_{12}(z)\coloneqq h_{1}(z)-h_{2}(z)$を構成すると、仮定より$r^{(k)}(\lambda_{s})=0\quad(s=1,2,...,t;k=0,1,...,m_{s}-1)$が成り立つので$r(z)$は最小多項式$\Psi_{A}(z)$で割り切れる。
しかし、$\Psi_{A}(z)$の次数は$m$なので仮定より$r(z)\equiv0$でないといけないので$h_{1}(z)=h_{2}(z)$を得る。
[構成]$h(z)$は$m$次未満の多項式なので$\displaystyle\frac{h(z)}{\Psi_{A}(z)}$は真分数式なので部分分数展開を用いた級数の計算方法
より次の様に部分分数展開できる。
\begin{equation} \frac{h(z)}{\Psi_{A}(z)}=\sum_{s=1}^{t}\sum_{k=1}^{m_{s}}\frac{\alpha_{sk}}{(z-\lambda_{s})^{m_{s}-k}} \end{equation}
また$\Psi_{s}(z)\coloneqq \frac{\Psi_{A}(z)}{(z-\lambda_{s})^{m_{s}}}$の様に置くと次式を得る。
\begin{equation} \frac{h(z)}{\Psi_{u}(z)}=\{\alpha_{u1}+\alpha_{u2}(z-\lambda)+\cdots+\alpha_{um_{u}}(z-\lambda)^{m_{u}-1}\}+(z-\lambda_{s})^{m_{s}}\sum_{\substack{1\leq s\leq t\\s\neq u}}\sum_{k=0}^{m_{s}-1}\frac{\alpha_{sk}}{(z-\lambda_{s})^{m_{s}-k}} \end{equation}
ゆえに係数を次の様にして求めればいい事が分かる。
\begin{eqnarray} \alpha_{uk}&=&\frac{1}{(k-1)!}\frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}\frac{h(z)}{\Psi_{u}(z)}|_{z=\lambda_{u}}\\ &=&\frac{1}{(k-1)!}\frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}\frac{f(\lambda_{u})}{\Psi_{u}(\lambda_{u})}\quad(u=1,2,...,t;k=1,2,...,m_{u}) \end{eqnarray}
この様にして係数を決めた後、最後に$\Psi_{A}(z)$をかける事で次式を得る。
\begin{equation} h(z)=\sum_{s=1}^{n}\{\alpha_{s1}+\alpha_{s2}(z-\lambda)+\cdots+\alpha_{sm_{s}}(z-\lambda)^{m_{s}-1}\}\Psi_{s}(z) \end{equation}
[存在]上記の構成したものが示すべきものになっている事については下記の計算により直ちに分かる。
\begin{eqnarray} h^{(k)}(\lambda_{s})&=&\sum_{u=1}^{n}\sum_{l=0}^{k}\begin{pmatrix}k\\l\end{pmatrix}\{\alpha_{u1}+\alpha_{u2}(z-\lambda)+\cdots+\alpha_{um_{u}}(z-\lambda)^{m_{u}-1}\}^{(l)}\Psi_{u}^{(k-l)}(z)|_{z=\lambda_{s}}\\ &=&\sum_{l=0}^{k}\begin{pmatrix}k\\l\end{pmatrix}l!\alpha_{s,l+1}\Psi_{s}^{(k-l)}(\lambda_{s})\\ &=&\sum_{l=0}^{k}\frac{k!}{(k-l)!l!}\{\frac{d^{l}}{dz^{l}}\frac{f(\lambda_{s})}{\Psi_{u}(\lambda_{u})}\}\Psi_{s}^{(k-l)}(\lambda_{s})\\ &=&\frac{d^{k}}{dz^{k}}\{\frac{f(\lambda_{s})}{\Psi_{s}(\lambda_{s})}\Psi_{s}(\lambda_{s})\}\\ &=&f^{(k)}(\lambda_{s})\quad(k=0,1,...,m_{s}-1;s=1,2,...,t) \end{eqnarray}