関数研究1(不完全総積変換とオイラー表示のゼータ関数)

自作の関数で遊ぼう

Pythonの話じゃないです。作った関数でいろいろしていきましょう。今回はこちらの深掘りをしていきます。

定義

こちらと全く同じことを言ってるので、定義1はスキップしてもOKです。

不完全総積変換

ある関数 $f (x)$ に対し、 $\prod_{k = 1}^{n} f (g (t, k))$ を、関数 $f$ の $x \to t, n$ 階不完全総積変換あるいは単に総積変換と定める。また、これを $G_{λ, n}^{x \to t} (f (x), g (t, λ))$
で表し、 $x$ を初期変数, $t$ を変換変数, $λ$ を因子, $n$ を階数, $f$ を被作用関数, $g$ を作用関数と呼ぶ。
不完全総積変換のうち、 $f$ の $x \to x, n$ 階不完全総積変換を関数 $f$ に対する $n$ 階不完全総積関数と定める。さらに不完全総積関数のうち、因子 $λ$ の作用関数 $g (x, λ)$ が $λ x$ であるものを単に総積関数と定め、これを $G_{n}^{x} (f (x)) (:= G_{λ, n}^{x \to x} (f (x), λ x))$ で表す。
これらすべてに任意の複素数 $z$ を代入でき(不完全総積変換は変換変数に代入)、 $G_{λ, n}^{x \to t = z} \dots$ で意味を成す。また、これを $f$ の $t = z$ における $n$ 階不完全総積係数と定める。

ということで、次が新しいやつ。

完全総積変換

$x \to t, n$ 階不完全総積変換において $n \to \infty$ であるものを $x \to t,$ 完全総積変換と呼ぶ。また、完全総積変換の変換変数 $t$ に $t = a$ を代入して総積変換が $α$ に収束する際、
$G_{λ, \infty}^{x \to t = a} (f (x), g (t, λ)) = \prod_{n = 1}^{\infty} f (g (a, n)) = α$
で表し、この収束値を $f$ の $t = a$ における完全総積係数と定める。

$f (g (t, n))$ がどんな $t$ に対しても $0$ にならない、かつ $n \to \infty$ で $1$ に収束する関数であることが前提条件です。
ということで本題のゼータ関数やってみようん。

ゼータ関数のオイラー積による表示

ゼータ関数とは、 $Re (s) > 1$ なる $s \in C$ に対し、
$ζ (s) := \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}$
で定義されるものです。 $s$ が偶数だと結構慣れ親しんでる数かも(?)。
ゼータ関数のオイラー表示とは、「オイラー積」なる形で表したゼータ関数です。少々小泉を感じますね。

ゼータ関数に対するオイラー積

$ζ (s) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} = \prod_{p \in P} \frac{1}{1 - p^{- s}}$
(ただし、 $P$ は素数全体の集合)

$A = ζ (s) = \frac{1}{1^{s}} + \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} + \dots$
両辺 $\frac{1}{2^{s}}$ をかけると、
$B = \frac{1}{2^{s}} ζ (s) = \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{4^{s}} + \frac{1}{6^{s}} + \dots$
よって $A - B$ は、
$(1 - \frac{1}{2^{s}}) ζ (s) = \frac{1}{1^{s}} + \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{5^{s}} + \dots$
また、
$C = \frac{1}{3^{s}} (1 - \frac{1}{2^{s}}) ζ (s) = \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{9^{s}} + \frac{1}{15^{s}} + \dots$
より、
$A - B - C = (1 - \frac{1}{3^{s}}) (1 - \frac{1}{2^{s}}) ζ (s) = \frac{1}{1^{s}} + \frac{1}{5^{s}} + \frac{1}{7^{s}} + \dots$
以下同様に素数の $- s$ 乗に対して繰り返すと、
$(1 - \frac{1}{2^{s}}) (1 - \frac{1}{3^{s}}) (1 - \frac{1}{5^{s}}) \dots ζ (s) = \frac{1}{1^{s}} = 1$
であるから、
$ζ (s) = \frac{1}{(1 - \frac{1}{2^{s}}) (1 - \frac{1}{3^{s}}) (1 - \frac{1}{5^{s}}) \dots} = \prod_{p \in P} \frac{1}{1 - p^{- s}}$

オイラー積の導出なんて今は正直どうでもいいんです。不完全総積変換と結び付けたいだけなので。
ここで、素数の一般項にも出てくる「ヤツ」も導出します。導出自体そんないらないですが。

素数を選び取る式

1と素数ON,合成数OFF

$⌊ \cos^{2} \frac{(n - 1)! + 1}{n} π ⌋ = \begin{array}{r} {\begin{cases} 1 (n = 1 \lor n \in P) \\ 0 (n \neq 1 \land n \notin P) \end{cases} \end{array}$

床関数は神です。

ウィルソンの定理より、 $p$ を素数とすると、
$(p - 1)! + 1 \equiv 0 \mod p$
であるから、 $\frac{(p - 1)! + 1}{p}$ は整数になる。ただし、 $p = 1$ でも成り立つ。
ここで、 $p$ が合成数である場合、整数にはならない。
$\cos^{2} n π = 1 (n \in Z)$ であるので、
$\cos^{2} \frac{(n - 1)! + 1}{n} π$ は $n$ が $1$ または素数であるときに $1$ 、合成数では $0 \leq \cos^{2} \frac{(n - 1)! + 1}{n} π < 1$ の範囲に収まる。
よってこの式に床関数をとると、
$⌊ \cos^{2} \frac{(n - 1)! + 1}{n} π ⌋ = \begin{array}{r} {\begin{cases} 1 (n = 1 \lor n \in P) \\ 0 (n \neq 1 \land n \notin P) \end{cases} \end{array}$
となる。

準備完了です。

不完全総積変換の逆方向

総積復元

$G_{λ, n}^{x \to t} (f (x), g (t, λ)) = F (t, n)$
であるような $f, g, n$ を定める(求める)ことを $F$ の $x \leftarrow t$ 総積復元と定め、
$G_{λ}^{x \leftarrow t} (F (t, n)) = (f (x); g (t, λ) : n)$
で表す。このとき、 $G_{λ}^{x \leftarrow t} (F (t, n))$ は一意に定まらない場合がある。

$x \leftarrow t$ は、x from t とでも読みましょう。
新定義ができたので、タイトル回収phase。

ゼータ関数の総積復元

総積復元

ゼータ関数の総積復元
$G_{k}^{t \leftarrow s} (ζ (s))$
を一つ求めよ。

一意でないことを前提に、定理らを活用して出しましょう。

定理1より、
$ζ (s) = \prod_{p \in P} \frac{1}{1 - p^{- s}}$
定理2より、
$\frac{1}{1 - p^{- s} ⌊ \cos^{2} \frac{(p - 1)! + 1}{p} π ⌋}$
は $p \in P$ で $\frac{1}{1 - p^{- s}}$ 、 $p$ が合成数で $1$ を振る舞い、 $p = 1$ では発散する。
よって、
$\prod_{p \in P} \frac{1}{1 - p^{- s}} = \prod_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{1 - n^{- s} ⌊ \cos^{2} \frac{(n - 1)! + 1}{n} π ⌋}$
$= \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 - (n + 1)^{- s} ⌊ \cos^{2} \frac{n! + 1}{n + 1} π ⌋} = G_{k, \infty}^{t \to s} (\frac{1}{1 - t}, (k + 1)^{- s} ⌊ \cos^{2} \frac{k! + 1}{k + 1} π ⌋)$
よって、総積復元の定義式から、
$G_{k}^{t \leftarrow s} (ζ (s)) = (\frac{1}{1 - t}; (k + 1)^{- s} ⌊ \cos^{2} \frac{k! + 1}{k + 1} π ⌋ : \infty)$