偶数だけからなる多重ゼータ値の和公式
$0\leq n,k$に対し,
\begin{align}
E(2n,k):=\sum_{\substack{1\leq j_1,\dots,j_k\\j_1+\cdots+j_k=n}}\zeta(2j_1,\dots,2j_k)
\end{align}
とする.
前の記事
で示した深さ2の制限付き和公式は
\begin{align}
E(2n,2)=\frac 34\zeta(2n)
\end{align}
と書くことができる. 一般に, Hoffmanによって$E(2n,k)$について以下のような明示式が与えられている.
$k\leq n$に対し,
\begin{align}
E(2n,k)&=\frac 1{2^{2k-2}}\binom{2k-1}k\zeta(2n)\\
&\qquad-\frac 1{2^{2k-3}}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{k-1}2\rfloor}\frac 1{(2j+1)B_{2j}}\binom{2k-2j-1}k\zeta(2j)\zeta(2n-2j)
\end{align}
が成り立つ. ここで, $B_{2n}$はBernoulli数である.
まずこの定理の証明のために以下のような母関数を考える.
\begin{align}
F(t,s):=1+\sum_{1\leq k\leq n}E(2n,k)t^ns^k.
\end{align}
このとき, 以下の結果が成り立つ.
\begin{align} F(t,s)&=\frac{\sin(\pi\sqrt{1-s}\sqrt t)}{\sqrt{1-s}\sin(\pi\sqrt t)}. \end{align}
三角関数の無限乗積展開
\begin{align}
\prod_{0< n}\left(1-\frac{t^2}{n^2}\right)&=\frac{\sin\pi t}{\pi t}
\end{align}
を用いると,
\begin{align}
1+\sum_{1\leq k\leq n}E(2n,k)t^ns^k&=1+\sum_{1\leq k}s^k\sum_{1\leq j_1,\dots,j_k}\zeta(2j_1,\dots,2j_k)t^{j_1+\cdots+j_k}\\
&=1+\sum_{1\leq k}(st)^k\sum_{0< n_1<\cdots< n_k}\frac 1{n_1^2-t}\cdots \frac 1{n_r^2-t}\\
&=\prod_{0< n}\left(1+\frac{st}{n^2-t}\right)\\
&=\frac{\prod_{0< n}\left(1-\frac{(1-s)t}{n^2}\right)}{\prod_{0< n}\left(1-\frac{t}{n^2}\right)}\\
&=\frac{\sin(\pi\sqrt{1-s}\sqrt t)}{\sqrt{1-s}\sin(\pi\sqrt t)}
\end{align}
と示される.
まず,
\begin{align}
F(t,s)&=\frac{\pi\sqrt{t}}{\sin(\pi\sqrt{t})}\frac{\sin(\pi\sqrt{t}\sqrt{1-s})}{\pi\sqrt{t}\sqrt{1-s}}\\
&=\sum_{0\leq k}s^kG_k(t)
\end{align}
とMaclaurin展開できる. ここで,
\begin{align}
G_k(t):=\frac{\pi\sqrt{t}}{\sin(\pi\sqrt{t})}\frac{(-t)^k}{k!}\frac{d^k}{dt^k}\frac{\sin(\pi\sqrt{t})}{\pi\sqrt{t}}
\end{align}
である. このとき,
\begin{align}
G_k(t)=P_k(\pi^2t)\pi\sqrt{t}\cot\pi\sqrt{t}+Q_k(\pi^2t)
\end{align}
と多項式
\begin{align}
P_k(x)&:=-\sum_{j=0}^{\lfloor\frac{k-1}2\rfloor }\frac{(-4x)^j}{2^{2k-1}(2j+1)!}\binom{2k-2j-1}{k}\\
Q_k(x)&:=\sum_{j=0}^{\lfloor\frac{k}2\rfloor }\frac{(-4x)^j}{2^{2k}(2j)!}\binom{2k-2j}{k}
\end{align}
を用いて表される. これは,
\begin{align}
f(t):=\frac{\sin\pi\sqrt{t}}{\pi\sqrt{t}}
\end{align}
によって
\begin{align}
f^{(k)}(t)&=(-t)^{-k}k!P_k(\pi^2t)\cos\pi\sqrt{t}+(-t)^{-k}k!Q_k(\pi^2 t)f(t)
\end{align}
と表されるので, これを微分して得られる漸化式
\begin{align}
(k+1)P_{k+1}(x)&=kP_k(x)-xP_k'(x)-\frac 12Q_k(x)\\
(k+1)Q_{k+1}(x)&=\frac{2k+1}2Q_k(x)-xQ_k'(x)+\frac x2P_k(x)
\end{align}
を実際に$P_k,Q_k$が満たしていることを直接確かめることができることから数学的帰納法により分かる. よって, $G_k(t)$の$t^n, n\geq k$の係数は
\begin{align}
[t^n]G_k(t)&=-[t^n]\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{k-1}2\rfloor}\frac{(-4\pi^2t)^j}{2^{2k-1}(2j+1)!}\binom{2k-2j-1}k\pi\sqrt{t}\cot\pi\sqrt{t}\\
&=\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{k-1}2\rfloor}\frac{(-4\pi^2)^j\zeta(2n-2j)}{2^{2k-2}(2j+1)!}\binom{2k-2j-1}k\\
&=-\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{k-1}2\rfloor}\frac{\zeta(2j)\zeta(2n-2j)}{2^{2k-3}(2j+1)B_{2j}}\binom{2k-2j-1}k\\
&=\frac{1}{2^{2k-2}}\binom{2k-1}{k}\zeta(2n)-\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{k-1}2\rfloor}\frac{\zeta(2j)\zeta(2n-2j)}{2^{2k-3}(2j+1)B_{2j}}\binom{2k-2j-1}k
\end{align}
となって示すべき等式が得られた.
特に, $k=2$の場合はGangl-Kaneko-Zagierの制限付き和公式
\begin{align}
E(2n,2)&=\frac 34\zeta(2n)
\end{align}
であり, $k=3,4$の場合は,
\begin{align}
E(2n,3)&=\frac 58\zeta(2n)-\frac 14\zeta(2)\zeta(2n-2)\\
E(2n,4)&=\frac{35}{64}\zeta(2n)-\frac{5}{16}\zeta(2)\zeta(2n-2)
\end{align}
を得る. これらはShen-Caiによって2012年に示された公式である.
証明の途中に現れたように定理1はBernoulli数を用いずに
\begin{align}
E(2n,k)&=\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{k-1}2\rfloor}\frac{(-4\pi^2)^j\zeta(2n-2j)}{2^{2k-2}(2j+1)!}\binom{2k-2j-1}k
\end{align}
と表すこともできる.
