N次変換公式はRiemannスキームから自然に導出されるのだ2(副題:まずはとにかく成果を見せたい)

[1]分岐指数は球面上のRiemann-Hurwitzの公式より$\sum_{P\in\mathbb{P}^{1}}(e_{P}-1)=2$
さらに次数$2$の分岐指数は$e_{P}\leq2$なので$e_{P}-1\in\{0,1\}$を得る。
[2]Belyi写像である事を前提にしているので、E表示での確定特異点$0,1,\infty$のいずれか二つで分岐点。残り一個で不分岐点(その逆像2点で構成)となる事まで分かる。
[3]Mebious変換で指数を変化させずに確定特異点のみを移動できる事を利用し、適当に$0,1,\infty$を並び替える事で$\zeta=\infty$が不分岐点、$\zeta=0,1$を分岐点であるとする。
すると以下の様に対応させることが出来る。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \varphi^{-1}(0)=\{0\}\\ \varphi^{-1}(1)=\{1\}\\ \varphi^{-1}(\infty)=\{\alpha,\infty\} \end{array} \right. \end{eqnarray}
[4]不分岐な$\zeta=\infty$での指数の集まりを$\{a,b\}$は$z=\alpha,\infty$にそのまま継承
[5]今の場合は$z=\alpha$を見かけ上の特異点にできないので$z=1$を見かけ上の特異点として採用。
[6]$\zeta=1$での指数差は$\mu\coloneqq|c-a-b|$なので$z=1$での指数差は$2\mu\in\mathbb{Z}_{\geq0}$。
Frobeniusの定理より指数差が非零整数であることが、対数項を伴わない見かけの特異点であるための必要条件なので、その内最小のものを選ぶと$2\mu=1$より
\begin{equation} \mu=c-a-b=\pm\frac{1}{2} \end{equation}
[6]$\varphi(z)=\frac{Az^{2}+Bz+C}{Dz^{2}+Ez+F}$であり
\begin{equation} \varphi(0)=\frac{C}{F}=0\therefore C=0 \end{equation}
\begin{equation} \varphi(1)=\frac{A+B}{D+E+F}=1\therefore A+B=D+E+F \end{equation}
\begin{equation} \varphi(\infty)=\infty\therefore D=0 \end{equation}
上記をまとめると$\varphi(z)=\frac{z(Az+B)}{Ez+F}$。
$\varphi(z)$は$z=0$で分岐指数$2$を持つので$B=0$
パラメータを取り直して
\begin{equation} \varphi(z)=\frac{z^{2}}{Az+B} \end{equation}
また$\varphi^{'}(z)=\frac{z(Az+2B)}{(Az+B)^{2}}$なので$\varphi(z)$が$z=1$で分岐指数$2$を持つので$\varphi^{'}(1)=0$より$A=-2B$。パラメータを改めて取り直しまとめると以下の式を得る。
\begin{equation} \varphi(z)=A\frac{z^{2}}{2z-1} \end{equation}
また$\varphi(\frac{1}{2})=\infty$なので$\alpha=\frac{1}{2}$。
$\varphi(1)=A=1$なので$\varphi(z)=\frac{z^{2}}{2z-1}$。
[7]上記結果を持ちると$S$表示におけるRiemannスキームは以下の様になる。
\begin{equation} \begin{Bmatrix}0&\frac{1}{2}&1&\infty\\0&a&0&a\\2(1-c)&b&2(c-a-b)&b\end{Bmatrix} \end{equation}
この時$c-a-b=\pm\frac{1}{2}$であり、$z=1$は見かけ上の特異点だからその指数は$0$以上の整数なので$c-a-b=\frac{1}{2}$を得る。
[8]改めてこの条件でまとめると$S$表示におけるRiemannスキームは以下の様になる。
\begin{equation} \begin{Bmatrix}0&\frac{1}{2}&\infty\\0&a&a\\2(1-c)&b&b\end{Bmatrix} \end{equation}
[9]まずこのRiemannスキームから一意に表せる微分方程式の解を$y_{s1}$とする。そしてMebious変換$\psi(z)=\frac{z}{2}$を考え$y_{s2}=y_{s1}(\psi(z))$とするとこの$y_{s2}$を解に持つ微分方程式のRiemannスキームは
\begin{equation} \begin{Bmatrix}0&1&\infty\\0&a&a\\2(1-c)&b&b\end{Bmatrix} \end{equation}
となる。
[10]さらに$y_{s3}=(z-1)^{-a}y_{s2}$を解に持つ微分方程式のRiemannスキームは次の様になる。
\begin{equation} \begin{Bmatrix}0&1&\infty\\0&0&2a\\2(1-c)&b-a&a+b\end{Bmatrix} \end{equation}
[11]以上を踏まえ、$S,E$表示での解を$y_{s},y_{e}$について考えると
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} (z-1)^{-a}\tilde{y}_{e}(\varphi\circ\psi(z))=(z-1)^{-a}{}_{2}F_{1}(a,b;c;\frac{z^{2}}{4(z-1)})\\ (z-1)^{-a}\tilde{y}_{e}(\varphi\circ\psi(z))|_{z=0}=(-1)^{a}\\ \{(z-1)^{-a}\tilde{y}_{e}(\varphi\circ\psi(z))\}^{'}|_{z=0}=a(-1)^{a} \end{array} \right. \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y_{s}(z)={}_{2}F_{1}(2a,a+b;2c-1;z)\\ y_{s}(0)=1\\ y_{s}^{'}(0)=\frac{2a(a+b)}{2c-1}=a \end{array} \right. \end{eqnarray}
[12]双方は$z=0$における値とその導関数の値が$(-1)^{a}$倍を除いて一致しているので下記の式を得る。
\begin{equation} (1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}(a;b;a+b+\frac{1}{2};\frac{z^{2}}{4(z-1)})={}_{2}F_{1}(2a,a+b;2(a+b);z) \end{equation}