N次変換公式はRiemannスキームから自然に導出されるのだ1（副題：いい加減宗教から抜け出しましょう）

[1]いくつか実験してみる。
$N=1$の場合
\begin{equation} \tilde{f}_{e}^{(1)}(z)=\varphi^{(1)}(z)f^{(1)}_{e}(\varphi(z)) \end{equation}
$N=2$の場合
\begin{equation} \tilde{f}^{(2)}_{e}(z)=\varphi^{(2)}(z)f^{(1)}_{e}(\varphi(z))+\{\varphi^{(1)}(z)\}^{2}f^{(2)}_{e}(z) \end{equation}
$N=3$の場合
\begin{equation} \tilde{f}^{(3)}_{e}(z)=\varphi^{(3)}(z)f^{(1)}_{e}(\varphi(z))+3\varphi^{(1)}(z)\varphi^{(2)}(z)f^{(2)}_{e}(z)+\{\varphi^{(1)}(z)\}^{3}f^{(3)}_{e}(z) \end{equation}
$N=4$の場合
\begin{equation} \tilde{f}^{(4)}_{e}(z)=\varphi^{(4)}(z)f^{(1)}_{e}(\varphi(z))+[4\varphi^{(3)}(z)\varphi^{(1)}(z)+3\{\varphi^{(2)}\}^{2}]f_{e}^{(2)}(\varphi(z))+6\varphi^{(2)}(z)\{\varphi^{(1)}(z)\}^{2}f^{(3)}(z)+\{\varphi^{(1)}(z)\}^{4}f^{(4)}_{e}(z) \end{equation}
[2]
ここまで見たら大体予想がつくと思うが、$f_{e}^{(k)}(\varphi(z))$の係数は$n$個の異なるモノを
(1)$k$個に分け
(2)さらに$1$個の集まりの個数が$l_{1}$個,$2$個の集まりの個数が$l_{2}$個,...,$n$個の集まりの個数が$n$個の様に記号を定める。そしてこの状態を$(l_{1},l_{2},...,l_{n})$の様に表す。
(3)すると係数の実数部分は状態$(l_{1},l_{2},...,l_{n})$を実現する分け方の総数$B_{k;l_{1}l_{2}\cdots l_{n}}$
(4)それ以外の係数は$(l_{1},l_{2},...,l_{n})\mapsto \{\varphi^{(1)}(z)\}^{l_{1}}\{\varphi^{(2)}(z)\}^{l_{2}}\cdots\{\varphi^{(n)}(z)\}^{l_{n}}$で与えられる。
つまり以下の式が成り立つ事を示す。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} B_{k}(z)\coloneqq\sum_{\substack{(l_{1},l_{2},...,l_{n})\in\mathbb{Z}_{+}\\l_{1}+l_{2}+\cdots+l_{n}=k\\l_{1}+2l_{2}+\cdots+ nl_{n}=n}}B_{k;l_{1}l_{2}\cdots l_{n}}\{\varphi^{(1)}(z)\}^{l_{1}}\{\varphi^{(2)}(z)\}^{l_{2}}\cdots\{\varphi^{(n)}(z)\}^{l_{n}}\\ \tilde{f}_{e}^{(N)}(z)=\sum_{k=1}^{N}f_{e}^{(k)}(\varphi(z))B_{k}(\varphi(z)) \end{array} \right. \end{eqnarray}
$N=1,2,3,4$の場合は先程計算したので成り立つ。
$1,2,...,N$まで成立すると仮定すると、$N+1$の場合は
\begin{align} &[f_{e}^{(k)}\{\varphi^{(1)}(z)\}^{m_{1}}\{\varphi^{(2)}(z)\}^{m_{2}}\cdots\varphi^{(n)}(z)\}^{m_{k}}]\tilde{f}_{e}^{(N+1)}(z)\\ &=[f_{e}^{(k)}\{\varphi^{(1)}(z)\}^{m_{1}}\{\varphi^{(2)}(z)\}^{m_{2}}\cdots\varphi^{(n)}(z)\}^{m_{n}}]\sum_{l=1}^{N}f_{e}^{(l+1)}(\varphi(z))\varphi^{(1)}(z)B_{l}(\varphi(z))+\sum_{l=1}^{N}f_{e}^{(l)}(\varphi(z))B_{l}^{'}(\varphi(z)) \end{align}
[3]より以下の式を得る。
\begin{align} &[f_{e}^{(k)}\{\varphi^{(1)}(z)\}^{m_{1}}\{\varphi^{(2)}(z)\}^{m_{2}}\cdots\varphi^{(n)}(z)\}^{m_{n}}]\tilde{f}_{e}^{(N+1)}(z)\\ &=B_{k;m_{1}m_{2}\cdots m_{n}}\\ &=B_{k;m_{1}-1,m_{2},...,m_{n}}+\sum_{l=1}^{n-1}(m_{l}+1)B_{k;m_{1},...,m_{l}+1,m_{l+1}-1,...,m_{n}} \end{align}
これは
(1)$1$個のグループを一個追加する
(2)$l$個のグループが$m_{l}+1$個ある場合その中から一個選びそこに一個ものを追加する事で$m_{l}+1\mapsto m_{l},m_{l+1}-1\mapsto m_{l+1}$他は変えない操作
なので、$B_{k;m_{1}m_{2}\cdots m_{n}}=(実数部分は状態$(m_{1},m_{2},...,m_{n})$を実現する分け方の総数)$であり、
実数以外の係数は$(m_{1},m_{2},...,m_{n})\mapsto \{\varphi^{(1)}(z)\}^{m_{1}}\{\varphi^{(2)}(z)\}^{m_{2}}\cdots\{\varphi^{(n)}(z)\}^{m_{n}}$で与えられる事が$N+1$の場合でも示された。
[4]また
(1)各グループ内での並びは無視
(2)各グループの並びも無視
するので
\begin{eqnarray} B_{m_{1}m_{2}\cdots m_{n}}=\frac{n!}{(1!)^{m_{1}}(2!)^{m_{2}}\cdots(n!)^{m_{n}}m_{1}!m_{2}!\cdots m_{n}!} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \tilde{y}_{e}^{'}(z)=\varphi^{'}(z)y^{'}_{e}(\varphi(z))\\ \tilde{y}_{e}^{''}(z)=\varphi^{''}(z)y^{'}_{e}(\varphi(z))+\{\varphi^{'}(z)\}^{2}y^{''}_{e}(\varphi(z)) \end{array} \right. \end{eqnarray}
を代入して
\begin{eqnarray} L_{e}(p_{e1},p_{e2})y_{e}(\zeta)&=&y_{e}^{''}(\zeta)+p_{e1}(\zeta)y_{e}^{'}(\zeta)+p_{e2}(\zeta)y_{e}(\zeta)\\ &=&\frac{\tilde{y}_{e}^{''}(z)-\frac{\varphi^{''}(z)}{\varphi^{'}(z)}\tilde{y}_{e}^{'}(z)}{\{\varphi^{'}(z)\}^{2}}+\tilde{p}_{e1}(z)\frac{\tilde{y}_{e}^{'}(z)}{\varphi^{'}(z)}+\tilde{p}_{e2}(z)\tilde{y}_{e}(z)\\ &=&\frac{\tilde{y}_{e}^{''}(z)}{\{\varphi^{'}(z)\}^{2}}+\frac{\tilde{p}_{e1}(z)-\frac{\varphi^{''}(z)}{\{\varphi^{'}(z)\}^{2}}}{\varphi^{'}(z)}\tilde{y}_{e}^{'}(z)+\tilde{p}_{e2}(z)\tilde{y}_{e}(z) \end{eqnarray}
より
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} p_{s1}(z)=\varphi^{'}(z)\tilde{p}_{e1}(z)-\frac{\varphi^{''}(z)}{\varphi^{'}(z)}\\ p_{s2}(z)=\{\varphi^{'}(z)\}^{2}\tilde{p}_{e2}(z) \end{array} \right. \end{eqnarray}

[1]仮定より以下の式が成り立つ。
\begin{equation} \varphi(z)-a=c(z-a)^{e}+O((z-a)^{e+1}) \end{equation}
[2]ゆえに
\begin{equation} (\varphi(z)-a)^{\sigma}=c^{\sigma}(z-a)^{e\sigma}+O((z-a)^{e\sigma+1}) \end{equation}
[3]こちら定理6Möbius変換に対する不変性参照
\begin{eqnarray} L_{e}(\zeta-a)^{\sigma}&=&(\zeta-a)^{\sigma-n}\{I_{e}(\sigma)+O(\zeta-a)\}\\ &=&c^{\sigma-n}(z-a)^{e(\sigma-n)}\{I_{e}(\sigma)+O(\zeta-a)\} \end{eqnarray}
[4]$L_{s}=\{\varphi^{'}(\varphi^{-1}(\zeta))\}^{n}L_{e}$および
\begin{eqnarray} (\varphi(z)-b)^{'}&=&\varphi^{'}(z)\\ &=&\frac{d}{dz}\{c(z-a)^{e}+O((z-a)^{e+1})\}\\ &=&ce(z-a)^{e-1}\{1+O(z-a)\} \end{eqnarray}
を代入すると
\begin{eqnarray} \frac{L_{s}(\zeta-a)^{\sigma}}{\{\varphi^{'}(\varphi^{-1}(\zeta))\}^{n}}&=&\frac{L_{s}c^{\sigma}(z-a)^{e\sigma}+O((z-a)^{e\sigma+1})}{c^{n}e^{n}(z-a)^{n(e-1)}+O((z-a)^{n(e-1)+1})}\\ &=&\frac{c^{\sigma}\{(z-a)^{e\sigma-n}\{I_{s}(e\sigma)+O(z-a)\}}{c^{n}e^{n}(z-a)^{n(e-1)}+O((z-a)^{n(e-1)+1})}\\ &=&\frac{c^{\sigma-n}}{e^{n}}(z-a)^{e(\sigma-n)}\{I_{s}(e\sigma)+O(z-a)\} \end{eqnarray}
ゆえに$(z-a)^{e(\sigma-n)}$の係数を比較して
\begin{equation} I_{s}(e\sigma)=e^{n}I_{e}(\sigma) \end{equation}

[1]$\varphi(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$より$w$の逆像は
\begin{equation} F(z)\coloneqq P(z)-wQ(z)=0 \end{equation}
を満たす。
仮定よりこれは$z$に関して$n$次方程式。
[2]多項式$F(z)$が$z=a$で$m$重根を持つとする。
するとある多項式$R(z)$が存在して$F(z)=(z-a)^{m}R(z)\quad(R(a)\neq0)$が成立する。
ゆえに
\begin{eqnarray} \varphi(z)-w&=&\frac{P(z)}{Q(z)}-w\\ &=&\frac{P(z)-wQ(z)}{Q(z)}\\ &=&\frac{F(z)}{Q(z)}\\ &=&(z-a)^{m}\frac{R(z)}{Q(z)} \end{eqnarray}
ここで、$P(z),Q(z)$は互いに素なので、$\varphi(a)=w$であれば$Q(a)\neq0$。
したがって$c=\frac{R(a)}{Q(a)}$とおくと$c\neq 0$となり局所的に次式が成立する事が示せる。
\begin{equation} \varphi(z)-\varphi(a)=c(z-a)^{m}+O((z-a)^{m+1}) \end{equation}
この$m$は分岐指数そのもの。
[3]$F(z)$は$n$次の方程式でありその解の個数は$n$であり、重複度が$e$と一致する事が示せたので結局次の結論を得る。
\begin{equation} \sum_{z\in\varphi^{-1}(w)}e_{z}=n \end{equation}

[前提知識]Eulerの多面体定理
[1]値域$\mathbb{P}^{1}$の三角分割をすべての分岐点の像になる様に取る。
[2]辺・面上では仮定より分岐点が存在しない。ゆえに$\varphi$は局所的に$n$対$1$の被覆なので辺・面一個に対して逆像は$n$個に分かれる。
すなわち、
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} E_{s}=nE_{e}\\ F_{s}=nF_{e} \end{array} \right. \end{eqnarray}
[3]頂点$Q$の逆像を$P_{1},P_{2},...,P_{k}$とすると定理6より$\sum_{i=1}^{k}e_{i}=n$が成り立ち、この事から逆像の点の個数は$k=n-\sum_{i}(e_{i}-1)$。
ゆえにすべての点で動かす事で以下の式を得る。
\begin{equation} V_{s}=nV_{e}-\sum_{P\in\mathbb{P}^{1}}(e_{P}-1) \end{equation}
なので
[4]上記まとめると
\begin{eqnarray} 2&=&V_{S}-E_{S}+F_{S}\\ &=&n(V_{e}-E_{e}+F_{e})-\sum_{P\in\mathbb{P}^{1}}(e_{P}-1)\\ &=&2n-\sum_{P\in\mathbb{P}^{1}}(e_{P}-1) \end{eqnarray}
\begin{equation} \therefore \sum_{P\in\mathbb{P}^{1}}(e_{P}-1)=2(n-1) \end{equation}

最初に次の様に元の微分方程式を書き換える。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} u_{0}=y\\ u_{1}=u_{0}^{'}\\ u_{2}=u_{1}^{'}\\ \cdots\\ u_{n-1}=u_{n-2}^{''} \end{array} \right. \end{eqnarray}
この表示から
\begin{equation} \frac{d}{dz}\begin{pmatrix}u_{0}\\u_{1}\\u_{2}\\\vdots\\u_{n-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots&0\\0&0&1&\cdots&0\\0&0&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\-p_{n}&-p_{n-1}&-p_{n-2}&\cdots&-p_{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_{0}\\u_{1}\\u_{2}\\\vdots\\u_{n-1}\end{pmatrix} \end{equation}
次に$y_{1},y_{2},...,y_{n}$を$z=a$での解析解とする。
すると
\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}y_{1}^{(n)}&y_{2}^{(n)}&y_{3}^{(n)}&\cdots&y_{n}^{(n)}\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}p_{n}&p_{n-1}&p_{n-2}&\cdots&p_{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{1}&y_{2}&y_{3}&\cdots&y_{n}\\y_{1}^{'}&y_{2}^{'}&y_{3}^{'}&\cdots&y_{n}^{'}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\y_{1}^{(n-1)}&y_{2}^{(n-1)}&y_{3}^{(n-1)}&\cdots&y_{n}^{(n-1)}\end{pmatrix} \end{eqnarray}
よって$\vb*{u}_{k}^{T}\coloneqq\begin{pmatrix}y_{1}^{(k)}&y_{2}^{(k)}&\cdots&y_{n}^{(k)}\end{pmatrix}\quad(k=0,1,2,...,n)$のおくとCramerの公式よりを得る。
\begin{equation} p_{n-k}=-\frac{\det{\begin{pmatrix}\vb*{u}_{1}&\vb*{u}_{2}&\cdots&\vb*{u}_{k-1}&\vb*{u}_{n}&\vb*{u}_{k+1}&\cdots&\vb*{u}_{n-1}\end{pmatrix}}}{\det{\begin{pmatrix}\vb*{u}_{1}&\vb*{u}_{2}&\cdots&\vb*{u}_{k-1}&\vb*{u}_{k}&\vb*{u}_{k+1}&\cdots&\vb*{u}_{n-1}\end{pmatrix}}}\quad(k=1,2,...,n) \end{equation}
よって$y_{i}^{(j)}\quad(i=1,2,...,n;j=0,1,2,...,n)$が$z=a$で正則であるので$W(a)\coloneqq\det{\begin{pmatrix}\vb*{u}_{1}&\vb*{u}_{2}&\cdots&\vb*{u}_{k-1}&\vb*{u}_{k}&\vb*{u}_{k+1}&\cdots&\vb*{u}_{n-1}\end{pmatrix}}|_{z=a}\neq0$なら$p_{n-k}(a)\quad(k=1,2,...,n)$が正則である事が分かる。