東大数理院試2014年度専門問2解答

$I=(x^2+y^2)$とおく．$A$の極大イデアルは$I$を含む$\mathbb{R}[x,y]$の極大イデアル$J$を用いて$\mathfrak{m}=J/I$と書ける．$A/\mathfrak{m}\cong \mathbb{R}[x,y]/J$は体であり，しかも有限生成$\mathbb{R}$代数だから，Zariski の補題よりこれは$\mathbb{R}$の有限次代数拡大である．従って$\mathbb{R}$または$\mathbb{C}$に同型．自然な射影$\mathbb{R}[x,y]\to \mathbb{R}[x,y]/J$を$\pi ,$単射$\mathbb{R}[x,y]/J\to \mathbb{C}$を$\iota$とし，$\iota \circ \pi :\mathbb{R}[x,y]\to \mathbb{C}$を$\phi$とおく．$\iota$は単射だから$\mathrm{Ker}\phi =J.$一方$x,y$（の$\mathbb{R}[x,y]/J$における同値類）の$\iota$による像をそれぞれ$a,b$とおくと，$\phi$は$x\mapsto a,y\mapsto b$なる$\mathbb{R}$準同型だから
$$J=\mathrm{Ker}\phi =((x-a)\mathbb{C}[x,y]+(y-b)\mathbb{C}[x,y])\cap \mathbb{R}[x,y]$$
である．また$I\subset J$より$a^2+b^2=0$なので$b=\pm ia.$
$\bullet$$a=0$の時：$b=0$より$J=(x,y).$
$\bullet$$a\in \mathbb{R},a\ne 0$の時：$b=ia$なら，$(y-ia)$は$y=ia$で$0$となる元全体だが，$\mathbb{R}[x,y]$との共通部分では$y=\overline{ia}=-ia$でも$0$になるから
$$(y-ia)\mathbb{C}[x,y]\cap \mathbb{R}[x,y]=(y-ia)(y+ia)\mathbb{R}[x,y]=(y^2+a^2)\mathbb{R}[x,y].$$
また$(x-a)\mathbb{C}[x,y]\cap \mathbb{R}[x,y]=(x-a)\mathbb{R}[x,y]$だから$J=(x-a,y^2+a^2).$$b=-ia$についても同様．
$\bullet$$a\in i\mathbb{R},a\ne 0$の時：$b\in \mathbb{R},b\ne 0$だから，上と同様に$J=(x^2+b^2,y-b).$
$\bullet$$\mathrm{Re}a,\mathrm{Im}a\ne 0$の時：$\mathrm{Re}a=\alpha ,\mathrm{Im}a=\beta$とおくと$b=\pm (-\beta +i\alpha )$である．上の議論と同様に
$$\begin{array}{rl}(x-a)\mathbb{C}[x,y]\cap \mathbb{R}[x,y]& =(x-a)(x-\bar{a})\mathbb{R}[x,y]=((x-\alpha {)}^2+{\beta }^2)\mathbb{R}[x,y],\\ (y-b)\mathbb{C}[x,y]\cap \mathbb{R}[x,y]& =(y-b)(y-\bar{b})\mathbb{R}[x,y]=((y\pm \beta {)}^2+{\alpha }^2)\mathbb{R}[x,y]\end{array}$$
だから，必要があれば$\beta$を$-\beta$で置き換えて$J=((x-\alpha {)}^2+{\beta }^2,(y-\beta {)}^2+{\alpha }^2).$
以上から答えは
$$\begin{array}{rl}& (x,y)/I,(x-a,y^2+a^2)/I,(x^2+a^2,y-a)/I,\\ & ((x-\alpha {)}^2+{\beta }^2,(y-\beta {)}^2+{\alpha }^2)/I.\end{array}$$
ただし$a,\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\setminus \{0\}.$