東大数理院試2014年度専門問2解答

$I = (x^2 + y^2)$とおく．$A$の極大イデアルは$I$を含む$\RR[x, y]$の極大イデアル$J$を用いて$\mathfrak{m} = J / I$と書ける．$A / \mathfrak{m} \cong \RR[x, y] / J$は体であり，しかも有限生成$\RR$代数だから，Zariski の補題よりこれは$\RR$の有限次代数拡大である．従って$\RR$または$\CC$に同型．自然な射影$\RR[x, y] \to \RR[x, y] / J$を$\pi,$単射$\RR[x, y] / J \to \CC$を$\iota$とし，$\iota \circ \pi : \RR[x, y] \to \CC$を$\varphi$とおく．$\iota$は単射だから$\Ker \varphi = J.$一方$x, y$（の$\RR[x, y] / J$における同値類）の$\iota$による像をそれぞれ$a, b$とおくと，$\varphi$は$x \mapsto a, y \mapsto b$なる$\RR$準同型だから
$$ J = \Ker \varphi = ((x - a)\CC[x, y] + (y - b)\CC[x, y])\cap \RR[x, y] $$
である．また$I \subset J$より$a^2 + b^2 = 0$なので$b = \pm ia.$
$\bullet$$a = 0$の時：$b = 0$より$J = (x, y).$
$\bullet$$a \in \RR, a \not= 0$の時：$b = ia$なら，$(y - ia)$は$y = ia$で$0$となる元全体だが，$\RR[x, y]$との共通部分では$y = \overline{ia} = -ia$でも$0$になるから
$$ (y - ia)\CC[x, y] \cap \RR[x, y] = (y - ia)(y + ia)\RR[x, y] = (y^2 + a^2)\RR[x, y]. $$
また$(x - a)\CC[x, y] \cap \RR[x, y] = (x - a)\RR[x, y]$だから$J = (x - a, y^2 + a^2).$$b = -ia$についても同様．
$\bullet$$a \in i\RR, a \not= 0$の時：$b \in \RR, b \not= 0$だから，上と同様に$J = (x^2 + b^2, y - b).$
$\bullet$$\RRe a, \IIm a \not= 0$の時：$\RRe a = \alpha, \IIm a = \beta$とおくと$b = \pm(-\beta + i\alpha)$である．上の議論と同様に
\begin{align*} (x - a)\CC[x, y] \cap \RR[x, y] &= (x - a)(x - \overline{a})\RR[x, y] = ((x - \alpha)^2 + \beta^2)\RR[x, y], \\ (y - b)\CC[x, y] \cap \RR[x, y] &= (y - b)(y - \overline{b})\RR[x, y] = ((y \pm \beta)^2 + \alpha^2)\RR[x, y] \end{align*}
だから，必要があれば$\beta$を$-\beta$で置き換えて$J = ((x - \alpha)^2 + \beta^2, (y - \beta)^2 + \alpha^2).$
以上から答えは
\begin{align*} &(x, y) / I, \quad (x - a, y^2 + a^2) / I, \quad (x^2 + a^2, y - a) / I, \\ &((x - \alpha)^2 + \beta^2, (y - \beta)^2 + \alpha^2) / I. \end{align*}
ただし$a, \alpha, \beta \in \RR \setminus \{ 0\}.$