東大数理の院試(2014年度専門問2)の解答です.
自分が作った解答は
ここ
に置いてあります.
可換環$A = \RR[x, y] / (x^2 + y^2)$の極大イデアルを全て求めよ.
$I = (x^2 + y^2)$とおく.$A$の極大イデアルは$I$を含む$\RR[x, y]$の極大イデアル$J$を用いて$\mathfrak{m} = J / I$と書ける.$A / \mathfrak{m} \cong \RR[x, y] / J$は体であり,しかも有限生成$\RR$代数だから,Zariski の補題よりこれは$\RR$の有限次代数拡大である.従って$\RR$または$\CC$に同型.自然な射影$\RR[x, y] \to \RR[x, y] / J$を$\pi,$単射$\RR[x, y] / J \to \CC$を$\iota$とし,$\iota \circ \pi : \RR[x, y] \to \CC$を$\varphi$とおく.$\iota$は単射だから$\Ker \varphi = J.$一方$x, y$(の$\RR[x, y] / J$における同値類)の$\iota$による像をそれぞれ$a, b$とおくと,$\varphi$は$x \mapsto a, y \mapsto b$なる$\RR$準同型だから
$$
J = \Ker \varphi = ((x - a)\CC[x, y] + (y - b)\CC[x, y])\cap \RR[x, y]
$$
である.また$I \subset J$より$a^2 + b^2 = 0$なので$b = \pm ia.$
$\bullet$$a = 0$の時:$b = 0$より$J = (x, y).$
$\bullet$$a \in \RR, a \not= 0$の時:$b = ia$なら,$(y - ia)$は$y = ia$で$0$となる元全体だが,$\RR[x, y]$との共通部分では$y = \overline{ia} = -ia$でも$0$になるから
$$
(y - ia)\CC[x, y] \cap \RR[x, y]
= (y - ia)(y + ia)\RR[x, y]
= (y^2 + a^2)\RR[x, y].
$$
また$(x - a)\CC[x, y] \cap \RR[x, y] = (x - a)\RR[x, y]$だから$J = (x - a, y^2 + a^2).$$b = -ia$についても同様.
$\bullet$$a \in i\RR, a \not= 0$の時:$b \in \RR, b \not= 0$だから,上と同様に$J = (x^2 + b^2, y - b).$
$\bullet$$\RRe a, \IIm a \not= 0$の時:$\RRe a = \alpha, \IIm a = \beta$とおくと$b = \pm(-\beta + i\alpha)$である.上の議論と同様に
\begin{align*}
(x - a)\CC[x, y] \cap \RR[x, y]
&= (x - a)(x - \overline{a})\RR[x, y]
= ((x - \alpha)^2 + \beta^2)\RR[x, y], \\
(y - b)\CC[x, y] \cap \RR[x, y]
&= (y - b)(y - \overline{b})\RR[x, y]
= ((y \pm \beta)^2 + \alpha^2)\RR[x, y]
\end{align*}
だから,必要があれば$\beta$を$-\beta$で置き換えて$J = ((x - \alpha)^2 + \beta^2, (y - \beta)^2 + \alpha^2).$
以上から答えは
\begin{align*}
&(x, y) / I, \quad
(x - a, y^2 + a^2) / I, \quad
(x^2 + a^2, y - a) / I, \\
&((x - \alpha)^2 + \beta^2, (y - \beta)^2 + \alpha^2) / I.
\end{align*}
ただし$a, \alpha, \beta \in \RR \setminus \{ 0\}.$