この記事で紹介する、瞬間部分積分ならぬ瞬間"部分和分"を使うと
と簡単に計算できます。なお記述試験の答案に書くときは
「
などと書けばよいと思います。要するに和の中抜けになるような関数(不定和分)を簡単に求めるのが瞬間部分和分です。
なお、どうしてこんなことを考えたかというと、多項式×等比数列の総和が多項式×指数関数の積分みたいに簡単に求められたら楽だと思ったからです。
がーと さんの 高校数学の数列と微分積分は似ているという話(和分差分) がわかりやすかったので一部そこで使われていた記号を使います。
と定めます。
また、
同様に
このとき以下が成り立ちます。(差分和分学の基本定理)
2つ目の式を積分のように
と書くことがあります。また、この式から
これより
を得る。
両辺
(部分和分の公式)
を得る。定和分を考えると
を得る。(アーベルの総和公式)
アーベルの総和公式は部分積分の公式
に似ていることから部分和分の公式と呼べるものです。
この記事で扱う瞬間部分和分はアーベルの総和公式を繰り返し使うことによって導出できるのですが、それだと分かりづらくなると思ったので差分を和分することによって直接示します。
すなわち
である。
である。
であることを用いた。
すなわち
いわゆる瞬間部分積分と同じように、下のような表を書くと分かりやすいです。なお、
あと実際の計算では
のため、1行目の変形では
「さ」が差分する方、「わ」が和分する方を表します。
瞬間部分和分の表
1回差分をとるごとに次数が1下がるので
これらの公式を使い倒していきます。
積分の場合に不定積分を先に考えるのと同じように不定和分を先に考えます。
なお、積分と同じで不定和分の方が定和分より楽しいです。
表はこんな感じ
実際、
なお、慣れてきたら瞬間部分積分と同様、表を書かずとも答えを求められるようになります。
表を書いても書かなくても、検算は(結構ミスりそうなポイントが多いので)した方がいいと思います。検算して正しければ確実です。
瞬間部分和分を使えば、書き並べて階差数列を何度もとったり和の中抜けになりそうな
なお、
検算します。普通に計算すると
検算
ここからは定和分、つまり実際に問題に出される形の数列の和を求めていきます。定積分と同様に不定和分に代入することで求められます。
不定和分で得た結果を使っていきます。
と求められます。
とはいえこのままだと他の人がわからないので、実際の記述試験であれば和の中抜けの考え方で
「
」のように書いたほうがいいと思います。マーク式であれば自分しか見ないので最初の書き方でいいです。
の値を求めよ。
例3で
なお、
なので個人的にはこのように最後の項だけ分離するのが楽だと思います。
を計算せよ。
例4で
無限和であれば
なお微分を使って求める方法もありますが、あちらは和の極限と積分の交換をする必要があってややこしいので記述試験で書く場合はこちらの方が楽です。
それぞれ左の式から右の式が求まります。
指数を分けてから計算するより速く求められます。
の値を求めよ。