コンテスト:集合と位相ビギナー

$\mathcal O\subset 2^{X}$が以下の条件を満たすとき,$X$の位相であるという.
(1)$X,\varnothing\in \mathcal O$
(2)$ U_1,U_2\in\mathcal O\Rightarrow U_1\cap U_2\in\mathcal O$
(3)集合族$(U_i)_{i\in I}$について,各$i$について$U_i\in\mathcal O$のとき「」

集合$X$上の距離関数$d:X\times X\rightarrow \mathbb R$が距離関数であるとは,
(1)$d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$
(2)$d(x,y)=d(y,x)$
(3)「」
を満たすことをいう.

$a\in X$として距離空間$(X,d)$における$\varepsilon$-近傍$U(a,\varepsilon)$とは
\begin{align} U(a,\varepsilon)=\{x| d(x,a)<\varepsilon\} \end{align}
のこと.また,$A\subset X$のとき,
$x$が$A$の内点$\Leftrightarrow$「」を満たす正数$\delta$が存在.
$x$が$A$の外点$\Leftrightarrow$「」を満たす正数$\delta$が存在.
$x$が$A$の境界点$\Leftrightarrow$任意の$\varepsilon$について$U(x,\delta)\cap A\ne \varnothing,U(x,\delta)\cap \mathbb R\backslash A\ne \varnothing$

$(X,d)$を距離空間とする.
$N_{\varepsilon}(a)=\{x\in X|d(x,a)<\varepsilon\}$とし,
「」を満たす$X$の部分集合$A$を$(X,d)$の開集合という.
\begin{align} \mathcal O_d=\{U|Uが(X,d)の開集合 \} \end{align}
を$(X,d)$の距離位相という.

$A\subset X$が閉集合である$\Leftrightarrow $$X\backslash A$が開集合
$A\subset X$の閉包$\bar{A}$とは,$A\subset U$であるような閉集合$U$全体の集合を$M$として,$\bar{A}=$「」.

以下の条件を満たす$\mathcal B\subset 2^{X}$を$X$の開基という.
(1)$X=\cup\mathcal B$.
(2)「」.
このとき,$\mathcal O=$「」は$X$の位相.

$(X_1,\mathcal O_1),(X_2,\mathcal O_2):$位相空間,$f\:X_1 \rightarrow X_2:$写像
$f$が点$x\in X_1$で連続$\Leftrightarrow$ $f(x)$を含む任意の$U_2\in \mathcal O_2$に対して「」

写像$f: X_1\rightarrow X_2$が同相写像
$\Leftrightarrow$$f$は全単射でかつ「」.

$(X,\mathcal O)$が可分$\Leftrightarrow$$\exists A:$可算集合$A\subset X$かつ「」.
$(X,\mathcal O)$が第2可算公理を満たす.$\Leftrightarrow$$\exists \mathcal B:$可算集合,$\mathcal B\subset \mathcal O$かつ$\mathcal B$は$\mathcal O$の開基.

$(X_1,\mathcal O_1),\cdots,(X_n,\mathcal O_n)$を位相空間とする.集合$\mathcal B$を
「」
とすると$\mathcal B$は$X_1\times\cdots\times X_n$上の開基となる.$\mathcal B$から定まる位相を
$\mathcal O_1$#$\cdots$#$\mathcal O_n$とかく.
$n$が可算無限でも同様.

$(X,d_X),(Y,d_Y)$を距離空間とし,それぞれの$x$の近傍を$B^X(x),B^Y(x)$と表す.
連続関数$f,g:X\rightarrow Y$について,以下のように写像$d(f,g)$を定める.

定数$C$に対して,以下の条件(*):

\begin{align} \forall x \in X,\exists\delta,f(B^X_{\delta}(x))\subset B^Y_{C}(g(x)) \end{align}
を考え,

$d(f,g):=\inf \{C|\text{条件(*)を満たす$C$}\}$とする.これを$X$での関数距離ということにする.もし条件を満たす$C$が存在しないなら,$d(f,g)=\infty$と約束する.