ここでは東大数理の修士課程の院試の2022B06の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
$p_i$($i=0,1,2,3$)を円周$S^1$上の相異なる四点とする。ここで$T^2=S^1\times S^1$の開部分集合$U_i$($i=0,1,2,3$)を
$$
U_i:=\left\{\begin{array}{cc}
\{(p,q)\in T^2|q\neq p_0\}&(i=0)\\
\{(p,q)\in T^2|p\neq p_i\}&(i=1,2,3)
\end{array}\right.
$$
と定める。ここで$T^2$上の$1$次形式のうち、$U_i$上完全形式であるようなもの全体を$P_i$とおく。
但し$S^1$及び$T^2$のdeRhamコホモロジーの性質を用いる際は、主張を明確に述べた上で用いること。