巡回対称性による1～4次方程式の統一的導出

はじめに

　四半世紀ほど前、外回り営業で車を運転中に夜空の星座のようなイメージが頭に浮かんできました。星々の配置関係を対称性をもって並び替えたらどうなるだろうという思いつきから、気づけば$n$乗根や$n$次方程式の解という発想に広がり、もしかしたらその巡回対称性から逆算すれば、統一的な手法で解の公式を導出できるのでは？などとおぼろげに考えたのです。

　そのアイデアから少なくとも四次方程式までは実際に導出できることを確認するに至り、その過程を再現したものが本稿となります。数学を専門的に学んだことがないもので、当時はカルダノもフェラーリもよく知らず（調べたのはここ１０年の間くらい）、せいぜい二次方程式の解の公式を知っていた程度でした。ですので、私個人にとっては斬新なアイデアだと思う一方で、私が思いつく程度のことですから、もしかしたらとっくに先人が通ってきた道だったとしても何ら不思議はないでしょう。先行研究があるかどうかは存じませんが、新規性があろうとなかろうと独力で導出できたという感動体験を記録として残しておきたいと考え、この記事を書き上げました。

　というわけで、巡回対称性という視点から、一次方程式から四次方程式までを共通の枠組みで導出する過程を示します。

$1$元$n$次方程式の解を表す関数を予想

$1$元$n$次方程式の一般形は
$$\sum_{j=0}^na_jx^{n-j}=0\quad(a_j\ne0)$$
と表すことができ、複素数範囲では高々$n$個の解に集約されることが知られています。それらの解は
この方程式に対して互いに優劣なく完全な対称性を持つと思われますので、$n$次方程式の解のうち
インデックス$m_{(\operatorname{mod}n)}$における一般解を表す関数$x(m_{(\operatorname{mod}n)})$を次のように予想してみました。
$$\begin{align} &\mathrm{P}=e^{2\pi i}(=1)\text{として}\\ &x(m_{(\operatorname{mod}n)})=\sum_{k=0}^{n-1}s_k\cdotp\left(\mathrm{P}^\frac kn\right)^m\quad\text{（予想）}\\ \end{align}$$
各$s_k$は$a_j$を用いて『全ての$a_j$が実数だった場合$s_k$も実数となるような式
（この記事内では「実式」と呼ぶことにします）で表せる』という予想です。
先の方程式はモニックとなるように式全体の倍率を変えても解に影響しないため、
$$\begin{align} &a_0=1\text{として}\\ &\sum_{j=0}^na_jx^{n-j}=\prod_{m=0}^{n-1}\left(x-\sum_{k=0}^{n-1}s_k\mathrm{P}^\frac{km}n\right)=0\quad\text{（予想）} \end{align}$$
のように表現可能だろうと考えました。

少なくとも$n\lt5$においては有限回の四則演算＆冪根範囲で解の公式を導出できることが知られていますので、
この予想を元に$1$次から$4$次までの各$s_k$を求められるかどうか、検証してみましょう。
$ $

$n=1$の場合（$1$次方程式）

$n=2$の場合（2次方程式）

$$\begin{align} &x^2+a_1x+a_2\\ =&\prod_{m=0}^1\left(x-(s_0\mathrm{P}^\frac{0m}2+s_1\mathrm{P}^\frac{1m}2)\right)\\ =&\left(x-(s_0+s_1\mathrm{P}^\frac12)\right)\left(x-(s_0+s_1\mathrm{P}^\frac22)\right)\\ =&(x-(s_0+s_1))(x-(s_0-s_1))\\ =&x^2~\underbrace{-2s_0}_{a_1}x~\underbrace{+(s_0^2-s_1^2)}_{a_2}\\ =&0\\ \end{align}$$
$$\begin{align} s_0&=\left(-\frac{a_1}2\right)\\ s_1^2&=s_0^2-a_2\\ &=\left(-\frac{a_1}2\right)^2+2\left(-\frac{a_2}2\right)\\ s_1&=\left[\left(-\frac{a_1}2\right)^2+2\left(-\frac{a_2}2\right)\right]^\frac12\quad\text{（実式）}\\ \end{align}$$
$$\begin{align} &x(m_{(\operatorname{mod}2)})\\ &=\left(-\frac{a_1}2\right)\mathrm{P}^\frac{0m}2+\left[\left(-\frac{a_1}2\right)^2+2\left(-\frac{a_2}2\right)\right]^\frac12\mathrm{P}^\frac{1m}2\\ &=\left(-\frac{a_1}2\right)+\left[\left(-\frac{a_1}2\right)^2+2\left(-\frac{a_2}2\right)\right]^\frac12\mathrm{P}^\frac{m}2\\ \end{align}$$
$ $
・$x^2+bx+c=0$ の解
$$\begin{align} x &=\left(-\frac b2\right)\pm\sqrt{\left(-\frac b2\right)^2+2\left(-\frac c2\right)}\\ &=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}2\\ \end{align}$$
$ $
・$ax^2+bx+c=0$ の解
$$\begin{align} x &=\frac{-\left(\frac ba\right)\pm\sqrt{\left(\frac ba\right)^2-4\left(\frac{c}a\right)}}{2}\\ &=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \end{align}$$
$ $

$n=3$の場合（3次方程式）

$n=4$の場合（4次方程式）

$(S^2-s_1^2)(S^2-s_3^2)=(S^2)^2-\left(s_1^2+s_3^2\right)S^2+s_1^2s_3^2$ より
$$\begin{align} S^2(m''_{(\operatorname{mod}2)})&=\left(-\frac{-(s_1^2+s_3^2)}2\right)+\left[\left(-\frac{-(s_1^2+s_3^2)}2\right)^2-(s_1s_3)^2\right]^\frac12\mathrm{P}^\frac{m''}2\\ \end{align}$$
※$\mathrm{P}^\frac{m''}2$は、$m''$が偶数なら$\mathrm{P}^\frac{m''}2=+1$、$m''$が奇数なら$\mathrm{P}^\frac{m''}2=-1$です。$s_1^2$と$s_3^2$は$S^2(m''_{(\operatorname{mod}2)})$における
　$2$次共役解であるため$s_k^2$と表したときの$k$を利用してどちらかをどちらかに対応させます。$s_1$と$s_3$は可換であり
　どちらに対応させても順不同で結果は同じであるため、ここでは便宜上$m''=\frac{k-1}2$を採用することにします。
$$\begin{align} s_{k(\in\{1,3\})}^2&=\left(-\frac{-(s_1^2+s_3^2)}2\right)+\left[\left(-\frac{-(s_1^2+s_3^2)}2\right)^2+2\left(-\frac{(s_1s_3)^2}2\right)\right]^\frac12\mathrm{P}^\frac{\frac{k-1}2}2\\ s_{k(\in\{1,3\})}&=\left[\left(-\frac{-(s_1^2+s_3^2)}2\right)+\left[\left(-\frac{-(s_1^2+s_3^2)}2\right)^2+2\left(-\frac{(s_1s_3)^2}2\right)\right]^\frac12\mathrm{P}^\frac{k-1}4\right]^\frac12\quad\text{（実式）}\\ \end{align}$$
$$\begin{cases} a'_1&=-(s_2^2+2s_1s_3)\\ &=-\left(3\left(-\frac{a_1}4\right)^2+2\left(-\frac{a_2}4\right)\right)\\ a'_2&=\frac{s_0^4-2\left(s_2^2+2s_1s_3\right)s_0^2+4\left(s_1^2+s_3^2\right)s_2s_0+\left(s_2^2+2s_1s_3\right)^2-a_4}4\\ &=\frac{\left(-\frac{a_1}4\right)^4-2\left(3\left(-\frac{a_1}4\right)^2+2\left(-\frac{a_2}4\right)\right)\left(-\frac{a_1}4\right)^2+4\left(2\left(-\frac{a_1}4\right)^3+2\left(-\frac{a_1}4\right)\left(-\frac{a_2}4\right)+\left(-\frac{a_3}4\right)\right)\left(-\frac{a_1}4\right)+\left(3\left(-\frac{a_1}4\right)^2+2\left(-\frac{a_2}4\right)\right)^2-a_4}4\\ a'_3&=-\frac{\left(s_1^2+s_3^2\right)^2s_2^2}4\\ &=-\frac{\left(2\left(-\frac{a_1}4\right)^3+2\left(-\frac{a_1}4\right)\left(-\frac{a_2}4\right)+\left(-\frac{a_3}4\right)\right)^2}4\\ \end{cases}$$
$$\begin{cases} s_0&=\left(-\frac{a_1}4\right)\\ s_1&=\left[\left(-\frac{-(s_1^2+s_3^2)}2\right)+\left[\left(-\frac{-(s_1^2+s_3^2)}2\right)^2+2\left(-\frac{(s_1s_3)^2}2\right)\right]^\frac12\right]^\frac12\\ s_2&=\left[ \left(-\frac{a'_1}3\right) +\left[\left(-\frac{-\left(2\left(-\frac{a'_1}3\right)^3+3\left(\left(-\frac{a'_1}3\right)\left(-\frac{a'_2}3\right)+\left(-\frac{a'_3}3\right)\right)\right)}2\right)+\left[\left(-\frac{-\left(2\left(-\frac{a'_1}3\right)^3+3\left(\left(-\frac{a'_1}3\right)\left(-\frac{a'_2}3\right)+\left(-\frac{a'_3}3\right)\right)\right)}2\right)^2+2\left(-\frac{\left(\left(-\frac{a'_1}3\right)^2+\left(-\frac{a'_2}3\right)\right)^3}2\right)\right]^\frac12\right]^\frac13 +\left[\left(-\frac{-\left(2\left(-\frac{a'_1}3\right)^3+3\left(\left(-\frac{a'_1}3\right)\left(-\frac{a'_2}3\right)+\left(-\frac{a'_3}3\right)\right)\right)}2\right)-\left[\left(-\frac{-\left(2\left(-\frac{a'_1}3\right)^3+3\left(\left(-\frac{a'_1}3\right)\left(-\frac{a'_2}3\right)+\left(-\frac{a'_3}3\right)\right)\right)}2\right)^2+2\left(-\frac{\left(\left(-\frac{a'_1}3\right)^2+\left(-\frac{a'_2}3\right)\right)^3}2\right)\right]^\frac12\right]^\frac13 \right]^\frac12\\ s_3&=\left[\left(-\frac{-(s_1^2+s_3^2)}2\right)-\left[\left(-\frac{-(s_1^2+s_3^2)}2\right)^2+2\left(-\frac{(s_1s_3)^2}2\right)\right]^\frac12\right]^\frac12\\ \end{cases}$$
$$\begin{cases} s_2\neq0~\text{の場合}\\ \quad s_1^2+s_3^2=\frac{2\left(-\frac{a_1}4\right)^3+2\left(-\frac{a_1}4\right)\left(-\frac{a_2}4\right)+\left(-\frac{a_3}4\right)}{s_2}\\ s_2=0~\text{の場合}\\ \begin{align} \quad s_1^2+s_3^2 &=\left[s_0^4-4s_0^2(s_1s_3)+4(s_1s_3)^2-a_4\right]^\frac12\quad\text{（実式）}\\ &=\left[\left(-\frac{a_1}4\right)^4-4\left(-\frac{a_1}4\right)^2\left(\frac{3\left(-\frac{a_1}4\right)^2+2\left(-\frac{a_2}4\right)}2\right)+4\left(\frac{3\left(-\frac{a_1}4\right)^2+2\left(-\frac{a_2}4\right)}2\right)^2-a_4\right]^\frac12 \end{align} \end{cases}$$
$$\begin{align} x(m_{(\mathrm{mod}4)})&=\left(-\frac{a_1}4\right)\mathrm{P}^\frac{0m}4\\ &+\left[\left(-\frac{-(s_1^2+s_3^2)}2\right)+\left[\left(-\frac{-(s_1^2+s_3^2)}2\right)^2+2\left(-\frac{(s_1s_3)^2}2\right)\right]^\frac12\right]^\frac12\mathrm{P}^\frac{1m}4\\ &+s_2\mathrm{P}^\frac{2m}4\\ &+\left[\left(-\frac{-(s_1^2+s_3^2)}2\right)-\left[\left(-\frac{-(s_1^2+s_3^2)}2\right)^2+2\left(-\frac{(s_1s_3)^2}2\right)\right]^\frac12\right]^\frac12\mathrm{P}^\frac{3m}4\\ &=\left(-\frac{a_1}4\right)\\ &+i\left[\left(-\frac{-\left(\frac{2\left(-\frac{a_1}4\right)^3+2\left(-\frac{a_1}4\right)\left(-\frac{a_2}4\right)+\left(-\frac{a_3}4\right)}{s_2} \right)}2\right)+\left[\left(-\frac{-\left(\frac{2\left(-\frac{a_1}4\right)^3+2\left(-\frac{a_1}4\right)\left(-\frac{a_2}4\right)+\left(-\frac{a_3}4\right)}{s_2} \right)}2\right)^2+2\left(-\frac{\left(\frac{3\left(-\frac{a_1}4\right)^2+2\left(-\frac{a_2}4\right)-s_2^2}2\right)^2}2\right)\right]^\frac12\right]^\frac12\\ &-s_2\mathrm{P}^\frac{2m}4\\ &-i\left[\left(-\frac{-\left(\frac{2\left(-\frac{a_1}4\right)^3+2\left(-\frac{a_1}4\right)\left(-\frac{a_2}4\right)+\left(-\frac{a_3}4\right)}{s_2} \right)}2\right)-\left[\left(-\frac{-\left(\frac{2\left(-\frac{a_1}4\right)^3+2\left(-\frac{a_1}4\right)\left(-\frac{a_2}4\right)+\left(-\frac{a_3}4\right)}{s_2} \right)}2\right)^2+2\left(-\frac{\left(\frac{3\left(-\frac{a_1}4\right)^2+2\left(-\frac{a_2}4\right)-s_2^2}2\right)^2}2\right)\right]^\frac12\right]^\frac12\\ \end{align}$$
$ $
・$x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ の解
$$\begin{cases} B&=-\left(3\left(-\frac{b}4\right)^2+2\left(-\frac{c}4\right)\right)\\ C&=\frac{\left(-\frac{b}4\right)^4-2\left(3\left(-\frac{b}4\right)^2+2\left(-\frac{c}4\right)\right)\left(-\frac{b}4\right)^2+4\left(2\left(-\frac{b}4\right)^3+2\left(-\frac{b}4\right)\left(-\frac{c}4\right)+\left(-\frac{d}4\right)\right)\left(-\frac{b}4\right)+\left(3\left(-\frac{b}4\right)^2+2\left(-\frac{c}4\right)\right)^2-e}4\\ D&=-\frac{\left(2\left(-\frac{b}4\right)^3+2\left(-\frac{b}4\right)\left(-\frac{c}4\right)+\left(-\frac{d}4\right)\right)^2}4\\ \alpha&=\left(-\frac{B}3\right) +\left[\left(-\frac{-\left(2\left(-\frac{B}3\right)^3+3\left(\left(-\frac{B}3\right)\left(-\frac{C}3\right)+\left(-\frac{D}3\right)\right)\right)}2\right)+\left[\left(-\frac{-\left(2\left(-\frac{B}3\right)^3+3\left(\left(-\frac{B}3\right)\left(-\frac{C}3\right)+\left(-\frac{D}3\right)\right)\right)}2\right)^2+2\left(-\frac{\left(\left(-\frac{B}3\right)^2+\left(-\frac{C}3\right)\right)^3}2\right)\right]^\frac12\right]^\frac13 +\left[\left(-\frac{-\left(2\left(-\frac{B}3\right)^3+3\left(\left(-\frac{B}3\right)\left(-\frac{C}3\right)+\left(-\frac{D}3\right)\right)\right)}2\right)-\left[\left(-\frac{-\left(2\left(-\frac{B}3\right)^3+3\left(\left(-\frac{B}3\right)\left(-\frac{C}3\right)+\left(-\frac{D}3\right)\right)\right)}2\right)^2+2\left(-\frac{\left(\left(-\frac{B}3\right)^2+\left(-\frac{C}3\right)\right)^3}2\right)\right]^\frac12\right]^\frac13\\ \end{cases}$$
[$\alpha\neq0$ の場合]
$$\begin{align} x&=\left(-\frac{b}4\right)\\ &+i\sqrt{\left(-\frac{-\left(\frac{2\left(-\frac{b}4\right)^3+2\left(-\frac{b}4\right)\left(-\frac{c}4\right)+\left(-\frac{d}4\right)}{\sqrt\alpha}\right)}2\right)+\sqrt{\left(-\frac{-\left(\frac{2\left(-\frac{b}4\right)^3+2\left(-\frac{b}4\right)\left(-\frac{c}4\right)+\left(-\frac{d}4\right)}{\sqrt\alpha}\right)}2\right)^2+2\left(-\frac{\left(\frac{3\left(-\frac{b}4\right)^2+2\left(-\frac{c}4\right)-\alpha}2\right)^2}2\right)}}\\ &-\sqrt{\alpha}\\ &-i\sqrt{\left(-\frac{-\left(\frac{2\left(-\frac{b}4\right)^3+2\left(-\frac{b}4\right)\left(-\frac{c}4\right)+\left(-\frac{d}4\right)}{\sqrt\alpha}\right)}2\right)-\sqrt{\left(-\frac{-\left(\frac{2\left(-\frac{b}4\right)^3+2\left(-\frac{b}4\right)\left(-\frac{c}4\right)+\left(-\frac{d}4\right)}{\sqrt\alpha}\right)}2\right)^2+2\left(-\frac{\left(\frac{3\left(-\frac{b}4\right)^2+2\left(-\frac{c}4\right)-\alpha}2\right)^2}2\right)}}\\ &=\cdots\quad(\text{導出は完了し、以降は係数表示への代入・整理のみとなるため省略}) \end{align}$$
[$\alpha=0$ の場合]
$$\begin{align} x&=\left(-\frac{b}4\right)\\ &+i\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{\left(-\frac{b}4\right)^4-4\left(-\frac{b}4\right)^2\left(\frac{3\left(-\frac{b}4\right)^2+2\left(-\frac{c}4\right)}2\right)+4\left(\frac{3\left(-\frac{b}4\right)^2+2\left(-\frac{c}4\right)}2\right)^2-e}}2\right)+\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{\left(-\frac{b}4\right)^4-4\left(-\frac{b}4\right)^2\left(\frac{3\left(-\frac{b}4\right)^2+2\left(-\frac{c}4\right)}2\right)+4\left(\frac{3\left(-\frac{b}4\right)^2+2\left(-\frac{c}4\right)}2\right)^2-e}}2\right)^2+2\left(-\frac{\left(\frac{3\left(-\frac{b}4\right)^2+2\left(-\frac{c}4\right)}2\right)^2}2\right)}}\\ &-i\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{\left(-\frac{b}4\right)^4-4\left(-\frac{b}4\right)^2\left(\frac{3\left(-\frac{b}4\right)^2+2\left(-\frac{c}4\right)}2\right)+4\left(\frac{3\left(-\frac{b}4\right)^2+2\left(-\frac{c}4\right)}2\right)^2-e}}2\right)-\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{\left(-\frac{b}4\right)^4-4\left(-\frac{b}4\right)^2\left(\frac{3\left(-\frac{b}4\right)^2+2\left(-\frac{c}4\right)}2\right)+4\left(\frac{3\left(-\frac{b}4\right)^2+2\left(-\frac{c}4\right)}2\right)^2-e}}2\right)^2+2\left(-\frac{\left(\frac{3\left(-\frac{b}4\right)^2+2\left(-\frac{c}4\right)}2\right)^2}2\right)}}\\ &=\cdots\quad(\text{導出は完了し、以降は係数表示への代入・整理のみとなるため省略}) \end{align}$$