C[[h]]におけるあるq超幾何2φ1の等式
こんにちは (｀・∀・)
研究が結構進展して中々blogを書けていないですが，問題提起をします!
私の専攻は低次元トポロジーの不変量です．背景の詳細は伏せますが，トポロジーの議論から今回の等式を発見(と証明)しました．しかし級数,代数の手法で示す方法がわかりませんでした．些細でもいいのでコメントお願いします!
$h,\theta,t$を変数，$\mathbb C[h]$の$h$-adic topologyに関する完備化を$\Ch $, $Q=e^h\in \Ch$とする. 区別のために$\Ch$における等号($h$の各次数の係数が等しいこと)を$=_h$と書く．
以下では$\Ch$上の等式を考察する． 超幾何級数III に基づき，記号の導入をする．
$q$-Pochhammer symbol
$$(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k) = (1-a)(1-aq)(1-aq^2) \dots (1-aq^{n-1})$$
$q$-binomial coefficient
$$\binom {\theta+k}k_q = \frac{(q^{\theta+1} ;q)_k}{(q;q)_k}$$
$q$-Hypergeometric series
$$
\qhg21{a,b}{c}{q,z}= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(a; q)_k (b; q)_k}{(q; q)_k (c; q)_k} z^k$$
$\Ch$上で以下の等式が成立する:
$$\qhg21{Q^{\theta+1},t^{-1}Q^{\theta}}{0}{Q,Q}=_ht^{\theta +1}Q^{-\theta^2 - \theta} $$
つまり$h$の次数ごとに区切ると恒等式が得られる．たとえば$h^0,h^1$の係数では
$$ \sum_{n \ge 0} \binom{\theta+n}{n} (1-t^{-1})^n = t^{\theta+1} = t^\theta \sum_{n \ge 0} (1-t^{-1})^n $$
\begin{align}
&~~~~\qhg21{Q^{\theta+1},t^{-1}Q^{\theta}}{0}{Q,Q}\\
&=_h\sum_{n \ge 0} \binom{\theta+n}{n}_QQ^n (t^{-1} Q^\theta ; Q)_n\\
&=_h \sum_{n \ge 0}\binom{\theta+n}{n}\left(1+\frac{h}2n\theta\right) (1+hn) \prod_{k=0}^{n-1} (1-t^{-1} (1+h(\theta + k)) ) + O(h^2)\\
&=_h \sum_{n \ge 0} \binom{\theta+n}{n} \left(1+\frac{h}2n\theta\right)\left(1+hn\right)(1-t^{-1})^{n} \left(1-\frac{h}{t-1}(n\theta+\binom n2)\right) + O(h^2)\\
&=_h (1-(1-t^{-1}))^{-(\theta+1)} \times \left( 1 - \frac{h}{t-1} \left[ \theta (\theta+1)(t-1)+\frac{1}{2} (\theta+2)(\theta+1)(t-1)^2 \right] +\frac{h}{2}(\theta+2)(\theta+1) (t-1) \right) + O(h^2) \\
&=_h t^{\theta+1} \left( 1 - h(\theta+1)\theta \right) + O(h^2)\\
&=_h t^{\theta+1} Q^{-\theta^2 - \theta} + O(h^2)
\end{align}
と確かめられる．(Gemini3Proに投げたら早く分かりやすく正確に計算できました．手でもチェックしています．この計算タスクについては導出過程の明瞭さの点でGPT5.1より優位でした．)
$Q\in\Ch$と$q\in\mathbb C$とで距離が異なるため，通常のq超幾何の等式ではない．
詳しくは
Desmosにおける数値計算例
を参照のこと．
次の有名な公式を用いて証明できるか考えたが，$\theta$は非負整数とは限らないので適用できない．
$${}_2\phi_1 \left[\begin{matrix} q^{-n}, b \\ c \end{matrix} ; q, q\right] = \frac{(c/b; q)_n}{(c; q)_n} b^n$$
無理やり適用すると
$$\qhg21{Q^{\theta+1},t^{-1}Q^{\theta}}{0}{Q,Q}=^{???}\frac{(0;Q)_{-\theta-1}}{(0;Q)_{-\theta-1}}(t^{-1}Q)^{-\theta-1}=t^{\theta +1}Q^{-\theta^2 - \theta} $$
を得るが....
というわけで，級数としてどう証明すればよいか分からなかった．
さらなる一般的な等式も模索中である．
