東大数理院試過去問解答例(2025B07)

以下の解答に於いて位相空間$X,Y$に対し$X\simeq Y$と表記したときは、$X$と$Y$が同相であることを表す。

1. まず
   $$X_x=\{[0,0,y_1,y_2,z_1,z_2]\}\simeq \mathbb{R}{P}^3$$
   $$X_y=\{[x_1,x_2,0,0,z_1,z_2]\}\simeq \mathbb{R}{P}^3$$
   と置くと、このとき$X=X_x\cup X_y$であり、
   $$X_x\cap X_y\simeq \mathbb{R}{P}^1\simeq S^1$$
   である。このときマイヤービートリス完全列は
   $$\begin{array}{cccccc}\cdots & \to & 0& \to & H_4(X,\mathbb{Z})& \to \\ 0& \to & {\mathbb{Z}}^2& \to & H_3(X,\mathbb{Z})& \to \\ 0& \to & 0& \to & H_2(X,\mathbb{Z})& \to \\ \mathbb{Z}& \to & {\left(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\right)}^2& \to & H_1(X,\mathbb{Z})& \to \\ \mathbb{Z}& \to & {\mathbb{Z}}^2& \to & \mathbb{Z}& \to 0\end{array}$$
   である。これにより$n\ge 4$に対し
   $$H_2(X,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$$
   $$H_3(X,\mathbb{Z})={\mathbb{Z}}^2$$
   $$H_n(X,\mathbb{Z})=0$$
   がわかる。ここで$\mathbb{R}{P}^3$の胞体分割$\mathbb{R}{P}^3=e_0\cup e_1\cup e_2\cup e_3$で、$\bigcup _{i=1}^k{e}_i=\mathbb{R}{P}^k$になるようなものを取ったとき、$H_1(\mathbb{R}{P}^3,\mathbb{Z})$の生成元は$e_1$で生成されることが分かる。これにより上記のマイヤービートリス完全列の$1$次における群準同型$\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$は適切な基底を取ることで
   $$m\mapsto \left(\begin{array}{c}m\\ m\end{array}\right)$$
   と表されることが分かる。よって$H_1(X,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$が分かる。以上をまとめると
   $$H_{\ast }(X,\mathbb{Z})=\{\begin{array}{ll}\mathbb{Z}& (\ast =0,2)\\ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}& (\ast =1)\\ {\mathbb{Z}}^2& (\ast =3)\\ 0& (\ast \ge 4)\end{array}$$
   である。
2. 写像$f:S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}\to X$を
   $$f(t):=[0,0,0,0,\cos \pi t,\sin \pi t]$$
   を取ったとき、(1)の途中で行った胞体分割を用いた議論により、$f:S^1\to \mathbb{R}{P}^5$が定値写像とホモトピックでないことが分かる。よって$f:S^1\to X$も定値写像とホモトピックではない。