東大数理院試過去問解答例(2025B07)

以下の解答に於いて位相空間$X,Y$に対し$X\simeq Y$と表記したときは、$X$と$Y$が同相であることを表す。

1. まず
   $$ X_x=\{[0,0,y_1,y_2,z_1,z_2]\}\simeq \mathbb{R}P^3 $$
   $$ X_y=\{[x_1,x_2,0,0,z_1,z_2]\}\simeq\mathbb{R}P^3 $$
   と置くと、このとき$X=X_x\cup X_y$であり、
   $$ X_x\cap X_y\simeq\mathbb{R}P^1\simeq S^1 $$
   である。このときマイヤービートリス完全列は
   $$ \begin{array}{cccccc} \cdots&\to&0&\to&H_4(X,\mathbb{Z})&\to\\ 0&\to&\mathbb{Z}^2&\to &H_3(X,\mathbb{Z})&\to\\ 0&\to&0&\to &H_2(X,\mathbb{Z})&\to\\ \mathbb{Z}&\to&\left(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\right)^2&\to &H_1(X,\mathbb{Z})&\to \\ \mathbb{Z}&\to&\mathbb{Z}^2&\to&\mathbb{Z}&\to0\\ \end{array} $$
   である。これにより$n\geq4$に対し
   $$ H_2(X,\mathbb{Z})=\mathbb{Z} $$
   $$ H_3(X,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}^2 $$
   $$ H_n(X,\mathbb{Z})=0 $$
   がわかる。ここで$\mathbb{R}P^3$の胞体分割$\mathbb{R}P^3=e_0\cup e_1\cup e_2\cup e_3$で、$\bigcup_{i=1}^ke_i=\mathbb{R}P^k$になるようなものを取ったとき、$H_1(\mathbb{R}P^3,\mathbb{Z})$の生成元は$e_1$で生成されることが分かる。これにより上記のマイヤービートリス完全列の$1$次における群準同型$\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$は適切な基底を取ることで
   $$ m\mapsto \begin{pmatrix} m\\ m \end{pmatrix} $$
   と表されることが分かる。よって$H_1(X,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$が分かる。以上をまとめると
   $$ {\color{red}H_\ast(X,\mathbb{Z})=\begin{cases} \mathbb{Z}&(\ast=0,2)\\ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&(\ast=1)\\ \mathbb{Z}^2&(\ast=3)\\ 0&(\ast\geq4) \end{cases}} $$
   である。
2. 写像$f:S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}\to X$を
   $$ {\color{red}f(t):=[0,0,0,0,\cos\pi t,\sin\pi t]} $$
   を取ったとき、(1)の途中で行った胞体分割を用いた議論により、$f:S^1\to\mathbb{R}P^5$が定値写像とホモトピックでないことが分かる。よって$f:S^1\to X$も定値写像とホモトピックではない。