非整数階時間微分を含む拡散方程式の初期値境界値問題
Initial-boundary value problems for time-fractional diffusion equations with time-independent coefficients
はじめに
近年, 異常拡散などの非局所拡散現象を記述する非整数階時間微分を含む拡散方程式の研究が盛んに行われている. 非整数階時間微分を含む拡散方程式とは
\begin{equation}
(P)
\qquad {_0^c}D_t^{\alpha}u = Lu
\end{equation}
である. ここで, $u = u(x,t)$は未知関数, $L$は一様楕円型作用素であり, $_0^cD_t^{\alpha}u$は$\alpha$階Caputo微分と呼ばれ, $\alpha \in (0,1)$と十分滑らかな$u$に対して,
\begin{equation}
_0^cD_t^{\alpha}u := \int_0^tg_{\alpha}(t-\tau)u'(\tau)\ d\tau,\ \ \ g_{\alpha}(t) = \frac{t^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}
\end{equation}
と定義される. 方程式$(P)$は, 作用素$L$が空間変数にのみ依存する場合の解析は多く行われている. 実際, 有界領域における初期値境界値問題はLuchko4によって, Fourier級数を用いた解の表現が与えられている. また, 全空間における初期値問題は基本解の導出, 漸近挙動の解析がEidelman-Kochubei1によって与えられている. 一方, 作用素$L$が時間変数にも依存する場合は, $L^2$空間といったHilbert空間に属する解に対する評価しか行われておらず, 古典解の存在性などの基礎理論ですら構築されていない. その理由としては, 半群理論が適用できないことや, $t=0$での特異性のため, 常微分方程式の基礎理論が適用できないことが挙げられる.
上記の背景を基に, 今回は次の初期値境界値問題
\begin{equation}\label{eq:1}\tag{1}
\begin{cases}
_0^cD_t^{\alpha}u = Lu + f & {\rm in}\ \ \Omega\times(0,T) =: Q_T,\\
u = 0 & {\rm on}\ \ \partial\Omega\times[0,T] =: \Sigma_T,\\
u = u_0 & {\rm on}\ \ \Omega\times\{t=0\}
\end{cases}
\end{equation}
を考える. ただし, $L$は
\begin{equation}
Lu = \sum_{i,j=1}^N\partial_i(a_{i,j}(x)\partial_ju) + \sum_{j=1}^Nb_j(x)\partial_ju + c(x)u,\ \ \ \partial_i := \frac{\partial}{\partial x_i}
\end{equation}
であり, 任意の$x \in \overline{\Omega}$に対して,
\begin{equation}\label{eq:2}\tag{2}
\lambda|\xi|^2 \leqslant \sum_{i,j=1}^Na_{i,j}(x)\xi_i\xi_j \leqslant \mu|\xi|^2
\end{equation}
なる$\lambda, \mu > 0$が存在し, $a_{i,j}=a_{j,i}$をみたす. このとき, 任意の$x\in\overline{\om}$に対して$|a_{i,j}| \leqslant \mu$である. また, $b = (b_1, \cdots, b_N)$, $AC[0,T]$を$[0,T]$上で定義された絶対連続関数の空間とする. $a_{i,j}, b, c$の正則性は後に与える. 以下の議論では, 3を基に行う(3では$L$が時間変数にも依存している場合であるが, それについては次回述べる).
次に, 問題\eqref{eq:1}の弱解の定義を次のように与える.
$u$が次の$({\rm i}), ({\rm ii})$をみたすとき, 問題\eqref{eq:1}の弱解という.
(i)$u \in W(u_0, H_0^1(\om), L^2(\om) := \{u \in L^2(0,T; H_0^1(\om)); I^{1-\alpha}[u-u_0] \in {_0H^1}(0,T; H^{-1}(\om))\}$,
(ii) 任意の$\varphi \in H_0^1(\om)$に対して,
\begin{multline}\label{eq:3}\tag{3}
\dt\int_{\om}I^{1-\a}[u(x,\cdot)-u_0(x)](t)\varphi(x)\ dx + \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j}(x)\partial_ju(x,t)\partial_i\varphi(x)\ dx \\
= \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_j(x)\partial_ju(x,t)\varphi(x)\ dx + \int_{\om}c(x)u(x,t)\varphi(x)\ dx + \int_{\om}f(x,t)\varphi(x)\ dx,\ \ {\rm a.e.}\ \ t \in (0,T)
\end{multline}
をみたす. ただし,
\begin{equation}
_0H^1(0,T) = \{f\in H^1(0,T); f(0) = 0\}
\end{equation}
である.
問題\eqref{eq:1}に対して, 次の定理が得られる.
$u_0 \in L^2(\om)$, $f \in L^2(0,T; H^{-1}(\om))$, 式\eqref{eq:2}が成立し, $b, c \in L^\infty(\om)$とする. このとき, 問題\eqref{eq:1}の弱解$u = u(x,t)$が一意に存在する. さらに,
\begin{equation}\label{eq:4}\tag{4}
\left\|I^{1-\a}[u-u_0]\right\|_{H^1(0,T; H^{-1}(\om))} + \|u\|_{L^2(0,T; H_0^1(\om))} + \|u\|_{H^{\frac{\a}{2}}(0,T; L^2(\om))} \leqslant C(\|u_0\|_{L^2(\om)} + \|f\|_{L^2(0,T; H^{-1}(\om))})
\end{equation}
が成立する. ここで, $C$は$\a,\mu,\lambda,T, N, \|b\|_{L^\infty(\om)}, \|c\|_{L^\infty(\om)}$に依存する定数である. また, $\a \in \left(\dfrac{1}{2}, 1\right)$のとき, $u \in C([0,T]; H^{-1}(\om))$である.
Approximate solutions
本章では, 通常の放物型方程式に対するGalerkin methodと同様に, 式\eqref{eq:1}の近似解を構成することを目的とする. $\{\varphi_n(x)\}_{n\in\N}$を
\begin{equation}
\begin{cases}
-\Delta\varphi_n = \lambda_n\varphi_n & {\rm in}\ \ \om,\\
\varphi_n = 0 & {\rm on}\ \ \partial\om
\end{cases}
\end{equation}
をみたす$L^2(\om)$の正規直交基底, $H_0^1(\om)$の直交基底とし, 次の問題\eqref{eq:1}の近似解
\begin{equation}\label{eq:5}\tag{5}
u_n(x,t) = \sum_{k=1}^nd_{n,k}(t)\varphi_k(x)
\end{equation}
を求める. すなわち, 係数$d_{n,k}$を決定する. そのため, 次の初期値境界値問題
\begin{equation}\label{eq:6}\tag{6}
\begin{cases}
\caputo u_n = Lu_n + f_n & {\rm in}\ \ Q_T,\\
u_n = 0 & {\rm on}\ \ \Sigma_T,\\
u_n = u_{n,0} & {\rm on}\ \ \Omega\times\{t=0\}
\end{cases}
\end{equation}
を考える. ただし,
\begin{equation}
u_{n,0}(x) = \varphi_k(x)\left(\sum_{k=1}^n\int_{\om}u_0(y)\varphi_k(y)\ dy\right),
\end{equation}
\begin{equation}
f_n(x,t) = (\eta_{1/n}*f(x,\cdot))(t),\ \ f_n \to f\ \ {\rm strongly\ in}\ \ L^2(Q_T)\ \ {\rm as}\ \ n\to\infty
\end{equation}
である. 係数$d_{n,k}$は式\eqref{eq:6}を$\{\varphi_1, \cdots, \varphi_n\}$による有限次元空間への射影を考えることによって決定する. すなわち, 問題\eqref{eq:6}の$1$行目の方程式の両辺に$\varphi_m$をかけて$\Omega$上で積分をすると, 左辺は
\begin{align}
\int_{\Omega}\varphi_m(x)\caputo u_n(x,t)\ dx
& = \int_{\Omega}\varphi_m(x)\caputo\left(\sum_{k=1}^nd_{n,k}(t)\varphi_k(x)\right)\ dx \\
& = \caputo\left(\sum_{k=1}^nd_{n,k}(t)\int_{\Omega}\varphi_m(x)\varphi_k(x)\ dx\right) \\
& = \caputo d_{n,m}(t)
\end{align}
となり, 右辺第1項は部分積分より,
\begin{align}
\sum_{i,j=1}^N\int_{\Omega}\varphi_m(x)\partial_i(a_{i,j}(x)\partial_ju_n(x,t))\ dx
& = -\sum_{i,j=1}^N\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_j\varphi_k(x)\sum_{k=1}^nd_{n,k}(t)\partial_i\varphi_m(x)\ dx \\
& = -\sum_{i,j=1}^N\sum_{k=1}^nd_{n,k}(t)\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_j\varphi_k(x)\partial_i\varphi_m(x)\ dx
\end{align}
となるので,
\begin{multline}\label{eq:7}\tag{7}
\caputo d_{n,m}(t) = -\sum_{k=1}^n\sum_{i,j=1}^Nd_{n,k}(t)\int_{\om}a_{i,j}(x)\partial_j\varphi_k(x)\partial_i\varphi_m(x)\ dx \\
+ \sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^Nd_{n,k}(t)\int_{\om}b_{j}(x)\partial_j\varphi_k(x)\varphi_m(x)\ dx + \sum_{k=1}^nd_{n,k}(t)\int_{\om}c(x)\varphi_k(x)\varphi_m(x)\ dx \\
+ \int_{\om}f_n(x,t)\varphi_m(x)\ dx
\end{multline}
が得られる.
\begin{equation}
d_n(t) = (d_{n,1}(t), \cdots, d_{n,n}(t)),
\end{equation}
\begin{equation}
A_{m,k}^n = \sum_{i,j=1}^N\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_j\phi_k(x)\partial_i\phi_m(x)\ dx,\ \ A^n(t) = \{A_{m,k}^n\}_{k,m=1}^n,
\end{equation}
\begin{equation}
B_{m,k}^n = \sum_{j=1}^N\int_{\Omega}b_{j}(x)\partial_j\phi_k(x)\phi_m(x)\ dx,\ \ B^n = \{B_{m,k}^n\}_{k,m=1}^n,
\end{equation}
\begin{equation}
C_{m,k}^n = \int_{\Omega}c_n(x)\phi_k(x)\phi_m(x)dx,\ \ C^n = \{C_{m,k}^n\}_{k,m=1}^n,
\end{equation}
\begin{equation}
F^n(t) = \left(\int_{\om}f_n(y,t)\phi_1(y)\ dy, \cdots, \int_{\om}f_n(y,t)\phi_n(y)\ dy\right),
\end{equation}
\begin{equation}
d_{n,0} = \left(\int_{\Omega}u_0(y)\phi_1(y)\ dy, \cdots, \int_{\Omega}u_0(y)\phi_n(y)\ dy\right)
\end{equation}
と定義すると, 式\eqref{eq:6}は,
\begin{equation}\label{eq:8}\tag{8}
\begin{cases}
\caputo d_n(t) = -\tilde{A}d_n(t) + F^n(t),\\
d_n(0) = d_{n,0}
\end{cases}
\end{equation}
と表される. ここで, $-\tilde{A} = A^n - B^n - C^n$である. 以上の議論から次の補題が成立する.
任意の$n \in \N$とに対して, 式\eqref{eq:8}をみたす$d_n \in C^1((0,T]) \cap C([0,T])$が一意に存在する. さらに, $t^{1-\a}d_n' \in C[0,T]$である.
方程式の両辺をLaplace変換すると, $\a$階Caputo微分のLaplace変換は
\begin{equation}
\mathcal{L}[\caputo d_n](s) = s^{\a}\mathcal{L}[d_n](s) - d_{n,0}s^{\a-1}
\end{equation}
となるので, $\mathcal{L}[d_n]$について整理すると
\begin{equation}
\mathcal{L}[d_n](s) = d_{n,0}\frac{s^{\a-1}}{s^{\a}+\tilde{A}} + \mathcal{L}[F^n](s)\frac{1}{s^{\a}+\tilde{A}}
\end{equation}
となる. これは
\begin{equation}
\mathcal{L}[d_n](s) = d_{n,0}\mathcal{L}[E_{\alpha,1}(-\tilde{A}t^{\a})](s) + \mathcal{L}[F^n](s)\mathcal{L}[t^{\a-1}E_{\a,\a}(-\tilde{A}t^{\a})](s)
\end{equation}
を示唆している. したがって, 両辺をLaplace逆変換すると,
\begin{equation}\label{eq:9}\tag{9}
d_n(t) = d_{n,0}E_{\a,1}(-\tilde{A}t^{\a}) + \int_0^t(t-s)^{\a-1}E_{\a,\a}(-\tilde{A}(t-s)^{\a})F^n(s)\ ds
\end{equation}
となる. これが方程式の解になることは直接代入して確かめればよい. また, 一意性に関しては
https://mathlog.info/articles/r2II7keeJFnfPUFwwp5C
よりしたがう. 式\eqref{eq:9}の両辺を微分すると,
\begin{equation}
d_n'(t) = -At^{\a-1}E_{\a,\a}(-At^{\a}) + \int_0^t(t-s)^{\a-1}E_{\a,\a}(-\tilde{A}(t-s)^{\a})(F^n)'(s)\ ds + t^{\a-1}E_{\a,\a}(-\tilde{A}t^{\a})F^n(0)
\end{equation}
となる. よって, 両辺に$t^{1-\a}$をかければ右辺は$[0,T]$上で連続関数となる. 以上で補題の証明が得られた.
この補題より, 次がしたがう.
$n\in\N$とする. このとき, 式\eqref{eq:5}と式\eqref{eq:8}で与えられる$u_n$は, $m \in \{1,\cdots, n\}$に対して
\begin{multline}\label{eq:10}\tag{10}
\int_{\om}\caputo u_n(x,t)\varphi_m(x)\ dx + \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j}(x)\partial_ju_n(x,t)\partial_i\varphi_m(x)\ dx \\
= \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_j(x)\partial_ju_n(x,t)\varphi_m(x)\ dx + \int_{\om}c(x)u_n(x,t)\varphi_m(x)\ dx + \int_{\om}f_n(x,t)\varphi_m(x)\ dx
\end{multline}
をみたす. さらに, $x\in\om$と$\beta\in\N^N$に対して, $\partial\om$が十分滑らかなとき$\partial_x^{\beta}u_n(x,\cdot) \in AC[0,T]$かつ$t^{1-\a}\partial_x^{\beta}u_n'(x,\cdot) \in C(\overline{Q}_T)$である.
Weak solutions
本章では, 問題\eqref{eq:1}に対するEnergy評価を与える. そのため, 次の補題を証明する.
$w\in L^2(Q_T)$,
\begin{equation}\label{eq:11}\tag{11}
w(x,\cdot) \in AC[0,T]\ \ {\rm for}\ \ x \in \om,
\end{equation}
かつ
\begin{equation}\label{eq:12}\tag{12}
t^{1-\a}w_t \in L^\infty(Q_T)
\end{equation}
と仮定する. このとき, 等式
\begin{multline}\label{eq:13}\tag{13}
\caputo\|w(t)\|_{L^2(\Omega)}^2 + \frac{\alpha}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t \frac{\|w(t) - w(\tau)\|_{L^2(\om)}^2}{(t-\tau)^{\alpha+1}}\ d\tau \\
+ g_{\alpha}(t)\|w(t) - w(0)\|_{L^2(\om)}^2 = 2\int_{\Omega}\caputo w(x,t) \cdot w(x,t)\ dx
\end{multline}
が成り立つ.
形式的に計算する. Caputo微分の定義より,
\begin{align}
2\int_{\om}\caputo w(x,t)w(x,t)\ dx - \caputo\|w(t)\|_{L^2(\om)}^2
& = 2\int_{\om}w(x,t)\int_0^tg_{\a}(t-s)w_s(x,s)\ dsdx - 2\int_0^tg_{\a}(t-s)\int_{\om}w_s(x,s)w(x,s) ds \\
& = 2\int_0^tg_{\a}(t-s)\int_{\om}w_s(x,s)(w(x,t)-w(x,s))\ dxds \\
& = -\int_0^tg_{\a}(t-s)\frac{\partial}{\partial s}\int_{\om}|w(x,t)-w(x,s)|^2\ dxds \\
& = -\biggl[g_{\alpha}(t-s)\int_{\om}|w(x,t)-w(x,s)|^2\ dx\biggl]_{s=0}^{s=t} + \frac{\a}{\Gamma(1-\a)}\int_0^t(t-s)^{-a-1}\int_{\om}|w(x,t)-w(x,s)|^2\ dxds \\
& = g_{\a}(t)\|w(t)-w(0)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\a}{\Gamma(1-\a)}\int_0^t\frac{\|w(x,t)-w(x,s)\|_{L^2(\om)}^2}{(t-s)^{a+1}}ds
\end{align}
となる. 最後の等式第1項では$w$に対して平均値の定理を用いることで得られる.
補題3より近似解に対してEnergy評価を与えることができる.
$u_0 \in L^2(\om)$, $f \in L^2(0,T; H^{-1}(\om))$, $\{a_{i,j}\}_{i,j=1}^N$が仮定\eqref{eq:2}をみたし, $b,c \in L^\infty(\om)$とする. このとき, 各$t \in [0,T]$と$n \in \N$に対して, 近似解$u_n$は
\begin{multline}\label{eq:14}\tag{14}
I^{1-\alpha}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\alpha}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t\int_0^{s}\frac{\|u_n(s) - u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2}{(s - \tau)^{\alpha+1}}\ d\tau ds \\
+ \int_0^tg_{\alpha}(s)\|u_n(s) - u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2\ ds + \lambda \int_0^t\|\nabla u_n(s)\|_{L^2(\om)}^2\ ds \\
\leqslant C_0\left(\|u_0\|_{L^2(\om)}^2 + \int_0^t\|f_n(s)\|_{H^{-1}}^2\ ds\right)
\end{multline}
をみたす. ここで, $C_0$は$\|b\|_{L^\infty(\om)}, \|c\|_{L^\infty(\om)}, \lambda, \alpha, T$に依存する定数である.
式\eqref{eq:10}の両辺に$d_n,m$をかけて$m=1$から$n$まで和をとると,
\begin{multline}
\int_{\om}\caputo u_n(x,t)u_n(x,t)\ dx + \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j}(x)\partial_ju_n(x,t)\partial_iu_n(x,t)\ dx \\
= \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j}(x)\partial_ju_n(x,t)u_n(x,t)\ dx + \int_{\om}c_n(x)|u_n(x,t)|^2\ dx + \int_{\om}f_n(x,t)u_n(x,t)\ dx
\end{multline}
となる. 左辺は補題3と仮定\eqref{eq:2}, 右辺にはHolderの不等式とCauchyの不等式より
\begin{align}
&\frac{1}{2}\caputo\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\alpha}{2\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t\frac{\|u_n(t) - u_n(s)\|_{L^2(\om)}^2}{(t - s)^{\alpha+1}}\ ds + \frac{1}{2}g_{\a}(t)\|u_n(t)-u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2 + \lambda\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \\
& \leqslant \|b\|_{L^\infty(\om)}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)} + \|c\|_{L^\infty(\om)}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}\left(\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2\right)^{\frac{1}{2}} \\
& \leqslant \frac{1}{\lambda}\|b\|_{L^\infty(\om)}^2\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\lambda}{4}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \|c\|_{L^\infty(\om)}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{1}{\lambda}\|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2 + \frac{\lambda}{4}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\lambda}{4}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2
\end{align}
と評価できる. よって, まとめると
\begin{multline}\label{eq:15}\tag{15}
\caputo\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\alpha}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t\frac{\|u_n(t) - u_n(s)\|_{L^2(\om)}^2}{(t - s)^{\alpha+1}}\ ds + g_{\a}(t)\|u_n(t)-u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2 + \lambda\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \\
\leqslant C\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{1}{\lambda}\|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2
\end{multline}
が得られる. ここで, $C$は$\|b\|_{L^\infty(\om)}, \|c\|_{L^\infty(\om)}, \lambda$に依存する定数である. 次に$\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2$に対して評価を行う. 式\eqref{eq:15}より
\begin{equation}\label{eq:16}\tag{16}
\caputo\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \leqslant C\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{1}{\lambda}\|f(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2
\end{equation}
であるから, 式\eqref{eq:16}の両辺を$\a$階Riemann-Liouville積分すると, $\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \in AC[0,T]$であるので
\begin{equation}
\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \leqslant \|u_0\|_{L^2(\om)}^2 + CI^{\a}\|u_n(t)\|_{L^{2}(\om)}^2 + \frac{1}{\lambda}I^{\a}\|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2
\end{equation}
となる. したがって, Gronwallの不等式より
\begin{equation}
\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \leqslant \|u_0\|_{L^2(\om)}^2\sum_{k=0}^\infty\frac{t^{\alpha k}}{\Gamma(\alpha k + 1)} + \frac{1}{\lambda}\sum_{k=0}^\infty C^kI^{\alpha(k+1)}\|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2
\end{equation}
となる. この右辺の級数が絶対収束することを確かめる.
\begin{equation}
\sum_{k=0}^\infty\frac{t^{\alpha k}}{\Gamma(\alpha k + 1)} = E_{\alpha,1}(t^{\a}) < \infty,
\end{equation}
\begin{align}
\sum_{k=0}^\infty C^kI^{\alpha(k+1)}\|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2
& = \sum_{k=0}^\infty C^k\int_0^t\frac{(t-s)^{\alpha(k+1)-1}}{\Gamma(\alpha(k+1))}\|f_n(s)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ ds \\
& \leqslant \sup_{s\in[0,t]}\|f_n(s)\|_{H^{-1}(\om)}^2 \sum_{k=0}^\infty C^k\frac{t^{\alpha(k+1)}}{\Gamma(\alpha k + \alpha + 1)} \\
& = \sup_{s\in[0,t]}\|f_n(s)\|_{H^{-1}(\om)}^2t^{\a}E_{\alpha,\alpha+1}(Ct^{\a}) < \infty
\end{align}
と評価できる. よって, 式\eqref{eq:16}の両辺を$0$から$t$まで積分し, Riemann-Liouville積分の加法性$I = I^{1-\a}I^{\a}$を用いると
\begin{multline}
I^{1-\a}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\a}{\Gamma(1-\a)}\int_0^t\int_0^s\frac{\|u_n(s) - u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2}{(s-\tau)^{\alpha+1}}\ d\tau ds \\
+ \int_0^tg_{\a}(t)\|u_n(s)-u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2\ ds + \lambda\int_0^t\|\nabla u_n(s)\|_{L^2(\om)}^2\ ds \\
\leqslant \frac{t^{1-\a}}{\Gamma(2-\a)}\|u_0\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{1}{\lambda}\int_0^t\|f_n(s)\|_{L^2(\om)}^2\ ds + CI\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2
\end{multline}
となる. ここで, 先程の議論より
\begin{align}
CI\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2
& \leqslant C\|u_0\|_{L^2(\om)}^2\sum_{k=0}^\infty\frac{t^{\a k+1}}{\Gamma(\a k+2)} + \frac{1}{\lambda}\sum_{k=0}^\infty C^{k+1}I^{\alpha(k+1)+1}\|f_n(t)\|_{H^{-1(\om)}}^2 \\
& = C\|u_0\|_{L^2(\om)}^2\sum_{k=0}^\infty\frac{t^{\a k+1}}{\Gamma(\a k+2)} + \frac{1}{\lambda}\sum_{k=0}^\infty \int_0^t\frac{C^{k+1}(t-s)^{\alpha(k+1)}}{\Gamma(\alpha (k+1)+1)}\|f_n(s)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ ds \\
& \leqslant C\|u_0\|_{L^2(\om)}^2\sum_{k=0}^\infty\frac{t^{\a k+1}}{\Gamma(\a k+2)} + \frac{1}{\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{C^{k+1}t^{\alpha(k+1)}}{\Gamma(\alpha (k+1)+1)}\int_0^t\|f_n(s)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ ds \\
& \leqslant C\|u_0\|_{L^2(\om)}^2tE_{\alpha,2}(t^{\a}) + \frac{C}{\lambda}t^{\alpha}E_{\alpha,\alpha+1}(Ct^{\a})\int_0^t\|f_n(s)\|_{H^{-1}(\om)}^2\ ds
\end{align}
と評価できる. さらに,
\begin{equation}
\sup_n\sup_{t\in[0,T]}tE_{\alpha,2}(t^{\a}) = \sup_nTE_{\alpha,2}(T^{\a}) =: D_1,
\end{equation}
\begin{equation}
\sup_n\sup_{t\in[0,T]}t^{\alpha}E_{\alpha,\alpha+1}(Ct^{\a}) = \sup_nT^{\alpha}E_{\alpha,\alpha+1}(CT^{\a}) =: D_2
\end{equation}
とする. ただし, $D_1, D_2$は$\|b\|_{L^\infty(\om)}, \|c\|_{L^\infty(\om)}, \lambda, T$に依存する定数である. 以上で式\eqref{eq:14}が得られ, 補題の証明が完了した.
補題3より
\begin{equation}\label{eq:17}\tag{17}
\|\nabla u_n\|_{L^2(0,T; L^2(\om))} + \|u_n\|_{H^{\frac{\a}{2}}(0,T; L^2(\om))} \leqslant \overline{C}_0
\end{equation}
である. 次に$\caputo u_n$に対する評価を与える. $w\in H_0^1(\om)$のとき, $\theta_m$を定数として$w(x) = \sum_{m=1}^\infty\theta_m\varphi_m(x)$である. $w_n(x) = \sum_{m=1}^n\theta_m\varphi_m(x)$と表し, 式\eqref{eq:10}の両辺に$\theta_m$をかけて$m=1$から$n$まで和をとると
\begin{multline}
\int_{\om}\caputo u_n(x,t)w_n(x)\ dx + \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j}(x)\partial_ju_n(x,t)\partial_iw_n(x)\ dx \\
= \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j}(x)\partial_ju_n(x,t)w_n(x)\ dx + \int_{\om}c_n(x)u_n(x,t)w_n(x)\ dx + \int_{\om}f_n(x,t)w_n(x)\ dx
\end{multline}
となるので, Holderの不等式より
\begin{multline}\label{eq:18}\tag{18}
\left|\int_{\om}\caputo u_n(x,t)w_n(x)\ dx\right| \leqslant \mu N^2\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}\|\nabla w_n(x)\|_{L^2(\om)} + \|b\|_{L^\infty(\om)}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}\|w_n\|_{L^2(\om)} \\
+ \|c\|_{L^\infty(\om)}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}\|w_n\|_{L^2(\om)} + \|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}\|w_n\|_{H_0^1(\om)}
\end{multline}
と評価できる. $u_n(x,\cdot) \in AC[0,T]$より$\caputo u_n = \dt I^{1-\a}[u_n-u_{n,0}]$,
\begin{equation}
\left\|\dt I^{1-\a}[u_n-u_{n,0}](t)\right\|_{H^{-1}(\om)} = \sup_{\|w\|_{H_0^1(\om)}=1} \left|\int_{\om}\caputo u_n(x,t)w_n(x)\ dx\right|
\end{equation}
である. よって, 式\eqref{eq:18}の両辺は$L^2(0,T)$の意味で$n$について一様有界であるので
\begin{equation}\label{eq:19}\tag{19}
\sup_n\left\|\dt I^{1-\a}[u_n-u_{n,0}]\right\|_{L^2(0,T; H^{-1}(\om))} < \infty
\end{equation}
が得られる. したがって, $\{I^{1-\a}[u_n-u_{n,0}]\}$は$_0H^1(0,T; H^{-1}(\om))$の意味で$n$について一様有界である. 式\eqref{eq:17}, 式\eqref{eq:19}より, 弱コンパクト性定理を用いると
\begin{equation}\label{eq:20}\tag{20}
u_{n_k} \to u\ \ {\rm weakly\ in}\ \ L^2(0,T;H_0^1(\om))\ \ {\rm as}\ \ k \to \infty,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:21}\tag{21}
I^{1-\a}[u_{n_k}-u_{n_k,0}] \to v\ \ {\rm weakly\ in}\ \ L^2(0,T;H^{-1}(\om))\ \ {\rm as}\ \ k \to \infty
\end{equation}
となる部分列$\{u_{n_k}\}$と$u \in L^2(0,T; H_0^1(\om)) \cap H^{\frac{\alpha}{2}}(0,T; L^2(\om))$と$v \in {_0H^1}(0,T; H^{-1}(\om))$が存在する. まず弱微分$\dt I^{1-\a}[u-u_0]$が$L^2(0,T; H^{-1}(\om))$の意味で存在することを示す. $\phi \in C_0^\infty(0,T)$,$\varphi \in H_0^1(\om)$とすると,
\begin{align}
\int_0^T\phi(t)\int_{\om}\dt v(x,t)\varphi(x)\ dxdt
& = \lim_{k\to\infty}\int_0^T\phi(t)\int_{\om}\dt I^{1-\a}[u_{n_k}(x,\cdot)-u_{n_k,0}(x)](t)\varphi(x)\ dxdt \\
& = \lim_{k\to\infty}\int_{\om}\varphi(x)\int_0^T\phi(t)\dt I^{1-\a}[u_{n_k}(x,\cdot)-u_{n_k,0}(x)](t)\ dtdx \\
& = -\lim_{k\to\infty}\int_{\om}\varphi(x)\int_0^T\phi'(t)I^{1-\a}[u_{n_k}(x,\cdot)-u_{n_k,0}(x)](t)\ dtdx \\
& = -\lim_{k\to\infty}\int_0^T\phi'(t)\int_{\om}I^{1-\a}[u_{n_k}(x,\cdot)-u_{n_k,0}(x)](t)\varphi(x)\ dxdt \\
& = -\int_0^T\phi'(t)\int_{\om}I^{1-\a}[u(x,\cdot)-u(x)](t)\varphi(x)\ dxdt
\end{align}
となる. よって,
\begin{equation}
\dt I^{1-\alpha}[u-u_0] = \dt v \in L^2(0,T; H^{-1}(\om))\ \ {\rm in\ the\ weak\ sense}
\end{equation}
が示され, 得られた$u$に対して式\eqref{eq:4}が成立する. 次に, 得られた$u$が等式\eqref{eq:3}をみたしていることを確かめる. 稠密性より, $w(x) = \sum_{m=1}^K\theta_m\varphi_m$に対して成立することを示せば十分である. 式\eqref{eq:10}の両辺に$\theta_m$をかけて$m=K$まで和をとる. このとき, $t_0 \in (0,T)$を固定し, mollifier$\eta_{\e}(t-t_0)$を両辺にかけて$0$から$T$まで積分すると,
\begin{multline}
\int_0^T\eta_{\e}(t-t_0)\int_{\om}\dt I^{1-\a}[u_{n_k}(x,\cdot)-u_{n_k,0}(x)](t)w(x)\ dxdt + \sum_{i,j=1}^N\int_0^T\eta_{\e}(t-t_0)\int_{\om}a_{i,j}(x)\partial_ju_{n_k}(x,t)\partial_iw(x)\ dxdt \\
= \sum_{j=1}^N\int_0^T\eta_{\e}(t-t_0)\int_{\om}b_j(x)\partial_ju_{n_k}(x,t)w(x)\ dxdt + \int_0^T\eta_{\e}(t-t_0)\int_{\om}c(x)u_{n_k}(x,t)w(x)\ dxdt \\
+ \int_0^T\eta_{\e}(t-t_0)\int_{\om}f_n(x,t)w(x)\ dxdt
\end{multline}
となる. それぞれの項において$k\to\infty, \e\to0$の極限を考える. 左辺第1項は
\begin{align}
\int_0^T\eta_{\e}(t-t_0)\int_{\om}\dt I^{1-\a}[u_{n_k}(x,\cdot)-u_{n_k,0}(x)](t)w(x)\ dxdt
& = -\int_0^T\eta_{\e}'(t-t_0)\int_{\om}I^{1-\a}[u_{n_k}(x,\cdot)-u_{n_k,0}(x)](t)w(x)\ dxdt \\
& \xrightarrow[k\to\infty]{} -\int_0^T\eta_{\e}'(t-t_0)\int_{\om}I^{1-\a}[u(x,\cdot)-u_{0}(x)](t)w(x)\ dxdt \\
& = \int_0^T\eta_{\e}(t-t_0)\int_{\om}\dt I^{1-\a}[u(x,\cdot)-u_{0}(x)](t)w(x)\ dxdt \\
& \xrightarrow[\e\to0]{}\int_{\om}\dt I^{1-\a}[u(x,\cdot)-u_{0}(x)](t_0)w(x)\ dx\ \ {\rm for\ a.e.}\ \ t_0 \in (0,T)
\end{align}
となる. 以下, 同様に計算にする. $\partial_iw(x)\eta_{\e}(t-t_0)$は$Q_T$上で滑らかなので,
\begin{align}
\int_0^T\eta_{\e}(t-t_0)\int_{\om}a_{i,j}(x)\partial_ju_{n_k}(x,t)\partial_iw(x)\ dxdt
& \xrightarrow[k\to\infty]{}\int_0^T\eta_{\e}(t-t_0)\int_{\om}a_{i,j}(x)\partial_ju(x,t)\partial_iw(x)\ dxdt \\
& \xrightarrow[\e\to0]{}\int_{\om}a_{i,j}(x)\partial_ju(x,t_0)\partial_iw(x)\ dx\ \ {\rm for\ a.e.}\ \ t_0 \in (0,T)
\end{align}
となる. 右辺は各項,
\begin{equation}
\int_0^T\eta_{\e}(t-t_0)\int_{\om}b_j(x)\partial_ju_{n_k}(x,t)w(x)\ dxdt \xrightarrow[k\to\infty,\ \e\to0]{} \int_{\om}b_j(x)\partial_ju(x,t_0)w(x)\ dx\ \ {\rm for\ a.e.}\ \ t_0 \in (0,T),
\end{equation}
\begin{equation}
\int_0^T\eta_{\e}(t-t_0)\int_{\om}c(x)u_{n_k}(x,t)w(x)\ dxdt \xrightarrow[k\to\infty,\ \e\to0]{} \int_{\om}c(x)u(x,t_0)w(x)\ dx\ \ {\rm for\ a.e.}\ \ t_0 \in (0,T),
\end{equation}
\begin{equation}
\int_0^T\eta_{\e}(t-t_0)\int_{\om}f_{n_k}(x,t)w(x)\ dxdt \xrightarrow[k\to\infty,\ \e\to0]{} \int_{\om}f(x,t_0)w(x)\ dx\ \ {\rm for\ a.e.}\ \ t_0 \in (0,T)
\end{equation}
が得られる. したがって, 得られた$u$が等式\eqref{eq:3}をみたすことが確かめられた. 一意性は, $\tilde{u} = u_1 - u_2$とおき, 初期値境界値問題
\begin{equation}
\begin{cases}
\caputo \tilde{u} = L\tilde{u} & {\rm in}\ \ Q_T,\\
\tilde{u} = 0 & {\rm on}\ \ \Sigma_T,\\
\tilde{u}_0 = 0 & {\rm on}\ \ \om\times\{t=0\}
\end{cases}
\end{equation}
を考え, 同様の議論をすれば$u_1 = u_2$ a.e. が得られる. 最後に, $u$の$H^{-1}(\om)$連続性を示す.
\begin{equation}
u_n \to u\ \ {\rm strongly\ in}\ \ L^2(0,T; H_0^1(\om))\ \ {\rm as}\ \ n \to \infty,
\end{equation}
\begin{equation}
I^{1-\a}[u_n - u_{n,0}] \to I^{1-\a}[u - u_{0}]\ \ {\rm strongly\ in}\ \ L^2(0,T; H^{-1}(\om))\ \ {\rm as}\ \ n \to \infty
\end{equation}
なる滑らかな近似列$\{u_n\}$をとると, $I^{1-\a}[u_n-u_{n,0}] \in AC[0,T]$であるので
\begin{equation}
I^{\a}\dt I^{1-\a}[u_n-u_{n,0}](t) = u_n(t)-u_{n,0}
\end{equation}
となる. よって, Holderの不等式より
\begin{align}
\|u_n(t)-u_{n,0}\|_{H^{-1}(\om)}
& = \left\|I^{\a}\dt I^{1-\a}[u_n-u_{n,0}](t)\right\|_{H^{-1}(\om)} \\
& \leqslant I^{\a}\left\|\dt I^{1-\a}[u_n-u_{n,0}](t)\right\|_{H^{-1}(\om)} \\
& = \frac{1}{\Gamma(\a)}\int_0^t(t-s)^{\a-1}\left\|\dt I^{1-\a}[u_n-u_{n,0}](s)\right\|_{H^{-1}(\om)}\ ds \\
& \leqslant \frac{1}{\Gamma(\a)}\left(\int_0^t(t-s)^{2\alpha-2}\ ds\right)^{\frac{1}{2}}\left\|\dt I^{1-\a}[u_n-u_{n,0}]\right\|_{L^2(0,T;H^{-1}(\om))} \\
& = C_{\alpha}t^{\a-\frac{1}{2}}\left\|\dt I^{1-\a}[u_n-u_{n,0}]\right\|_{L^2(0,T;H^{-1}(\om))}
\end{align}
と評価できる. よって,
\begin{equation}
\|u_n-u_{n,0}\|_{C([0,T];H^{-1}(\om))} = \max_{t\in[0,T]}\|u_n(t)-u_{n,0}\|_{H^{-1}(\om)} \leqslant C_{\alpha,T}\left\|\dt I^{1-\a}[u_n-u_{n,0}]\right\|_{L^2(0,T;H^{-1}(\om))}
\end{equation}
が得られる. これより,
\begin{align}
\|(u_n-u_{n,0}) - (u_m-u_{m,0})\|_{C([0,T];H^{-1}(\om))}
& \leqslant C_{\alpha,T}\left\|\dt I^{1-\a}[u_n-u_{n,0}] - \dt I^{1-\a}[u_m-u_{m,0}]\right\|_{L^2(0,T;H^{-1}(\om))} \\
& \to 0\ \ {\rm as}\ \ n,m\to\infty
\end{align}
となるので, $\{u_n-u_{n,0}\}$は$C([0,T]; H^{-1}(\om))$上のCauchy列となる. 故に, $u(0)$はwell-definedになる. したがって, 先程の評価より
\begin{equation}
\max_{s\in[0,t]}\|u(t)-u_{0}\|_{H^{-1}(\om)} \leqslant C_{\alpha}t^{\alpha-\frac{1}{2}}\left\|\dt I^{1-\a}[u-u_{0}]\right\|_{L^2(0,T;H^{-1}(\om))} \to 0\ \ {\rm as}\ \ t \to 0
\end{equation}
となるので, $u(0) = u_0$である. 以上で定理1の証明が完了した.
Regular solutions
本章では, 次の定理を証明することを目的とする.
$u_0 \in H_0^1(\om)$, $f \in L^2(0,T; L^2(\om))$, $b,c \in L^\infty(\om)$とし, $\displaystyle \max_{i,j}\|\nabla a_{i,j}\|_{L^\infty(\om)} < \infty$と仮定する. このとき, $I^{1-\a}[u-u_0] \in {_0H^{1}}(0,T; L^2(\om))$となる問題\eqref{eq:1}の弱解$u \in L^2(0,T; H^2(\om)) \cap H^{\frac{\alpha}{2}}(0,T; H_0^1(\om))$が一意に存在する. さらに,
\begin{equation}\label{22}\tag{22}
\left\|I^{1-\a}[u-u_0]\right\|_{H^1(0,T; L^2(\om)} + \|u\|_{L^2(0,T; H^2(\om))} + \|u\|_{H^{\frac{\alpha}{2}}(0,T; H_0^1(\om))} \leqslant C(\|u_0\|_{H_0^1(\om)} + \|f\|_{L^2(0,T; L^2(\om))})
\end{equation}
が成立する. ここで, $C$は$\a, \mu, \lambda, T, N, \|b\|_{L^\infty(\om)}, \|c\|_{L^\infty(\om)}, \displaystyle \max_{i,j}\|\nabla a_{i,j}\|_{L^\infty(\om)}$, ポアンカレ定数, $\partial\om$の$C^2$ノルムに依存する定数である. さらに, $\alpha \in \left(\dfrac{1}{2},1\right)$のとき, $u \in C([0,T]; L^2(\om))$である.
定理5を示すため, 次の補題を証明する.
$u_0 \in H_0^1(\om)$, $f \in L^2(0,T; L^2(\om))$, $b,c \in L^\infty(\om)$とし, $\displaystyle \max_{i,j}\|\nabla a_{i,j}\|_{L^\infty(\om)} < \infty$と仮定する. このとき, 各$t\in[0,T]$と$n\in\N$に対して, 近似解$u_n$は
\begin{multline}\label{eq:23}\tag{23}
I^{1-\a}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\a}{\Gamma(1-\a)}\int_0^t\int_0^s\frac{\|\nabla u_n(s)-u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2}{(s-\tau)^{\a+1}}\ d\tau ds \\
+ \int_0^tg_{\a}(s)\|u_n(s) - u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2\ ds + \lambda\int_0^t\|\nabla u_n(s)\|_{L^2(\om)}^2\ ds \\
\leqslant \frac{t^{1-\a}}{\Gamma(2-\a)}\|\nabla u_0\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{4}{\lambda}\int_0^t\|f_n(s)\|_{L^2(\om)}^2\ ds + C_1\left(\int_0^t\|\nabla u_n(s)\|_{L^2(\om)}^2\ ds + \int_0^t\|u_n(s)\|_{L^2(\om)}^2\ ds\right)
\end{multline}
をみたす. ここで, $C_1$は$\a, \lambda, \|b\|_{L^\infty(\om)}, \|c\|_{L^\infty(\om)}, \displaystyle \max_{i,j}\|\nabla a_{i,j}\|_{L^\infty(\om)}$, $\partial\om$の$C^2$ノルムに依存する定数である.
式\eqref{eq:10}の両辺に$\lambda_md_{n,m}$をかけて$m=1$から$n$まで和をとると,
\begin{multline}
-\int_{\om}\caputo u_n(x,t)\Delta u_n(x,t)\ dx - \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j}(x)\partial_ju_n(x,t)\partial_i\Delta u_n(x,t)\ dx \\
= -\sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j}(x)\partial_ju_n(x,t)\Delta u_n(x,t)\ dx - \int_{\om}c_n(x)u_n(x,t)\Delta u_n(x,t)\ dx - \int_{\om}f_n(x,t)\Delta u_n(x,t)\ dx
\end{multline}
となる. 左辺第1項は, $\Delta u_n = 0$, $\caputo u_n = 0$ on $\partial\om$と$\nabla u_n(x,\cdot) \in AC[0,T]$より
\begin{align}
-\int_{\om}\caputo u_n(x,t)\Delta u_n(x,t)\ dx
& = \int_{\om}\caputo \nabla u_n(x,t)\cdot\nabla u_n(x,t)\ dx \\
& = \frac{1}{2}\caputo\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\alpha}{2\Gamma(1-\a)}\int_0^t\frac{\|\nabla u_n(t)-\nabla u_n(s)\|_{L^2(\om)}^2}{(t-s)^{\alpha+1}}\ ds + \frac{1}{2}g_{\alpha}(t)\|\nabla u_n(t)-\nabla u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2
\end{align}
となる. 左辺第2項は, 3のProposition 9より
\begin{align}
- \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j}(x)\partial_ju_n(x,t)\partial_i\Delta u_n(x,t)\ dx
& = \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}\partial_i(a_{i,j}(x)\partial_ju_n(x,t))\Delta u_n(x,t)\ dx \\
& \geqslant \frac{\lambda}{4}\|\nabla^2u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 - C\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2
\end{align}
という評価が得られる. ここで, $C$は$\displaystyle \max_{i,j}\|\nabla a_{i,j}\|_{L^\infty(\om)}$と$\partial\om$の$C^2$ノルムに依存する定数である. 一方右辺は補題4と同様にして
\begin{multline}
-\sum_{j=1}^N\int_{\om}b_{j}(x)\partial_ju_n(x,t)\Delta u_n(x,t)\ dx - \int_{\om}c_n(x)u_n(x,t)\Delta u_n(x,t)\ dx - \int_{\om}f_n(x,t)\Delta u_n(x,t)\ dx \\
\leqslant \frac{2}{\lambda}\|b\|_{L^\infty(\om)}^2\|\nabla u_n(t)\|_{L^\infty(\om)}^2 + \frac{2}{\lambda}\|c\|_{L^\infty(\om)}^2\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \\
+ \frac{2}{\lambda}\|f_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{3\lambda}{16}\|\nabla^2u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2
\end{multline}
と評価できるので, 以上をまとめると
\begin{multline}
\caputo\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\alpha}{\Gamma(1-\a)}\int_0^t\frac{\|\nabla u_n(t)-\nabla u_n(s)\|_{L^2(\om)}^2}{(t-s)^{\alpha+1}}\ ds \\
+ g_{\alpha}(t)\|\nabla u_n(t)-\nabla u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\lambda}{8}\|\nabla^2u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \\
\leqslant \frac{4}{\lambda}\|f_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + C\left(\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2\right)
\end{multline}
である. よって, 両辺を$0$から$t$まで積分すると, 式\eqref{eq:23}が得られる.
定理1と同様の議論をすることで
\begin{equation}
\left\|\dt I^{1-\a}[u-u_0]\right\|_{L^2(0,T; L^2(\om))} \leqslant C\left(\|u_0\|_{H_0^1(\om)}+\|f\|_{L^2(0,T; L^2(\om))}\right)
\end{equation}
と評価できる. したがって, 弱コンパクト性定理より
\begin{equation}
u_{n_k} \to u\ \ {\rm weakly\ in}\ \ L^2(0,T; H^2(\om))\ \ {\rm as}\ \ k \to \infty,
\end{equation}
\begin{equation}
I^{1-\a}[u_{n_k}-u_{n_k,0}] \to w\ \ {\rm weakly\ in}\ \ H^1(0,T; L^2(\om))\ \ {\rm as}\ \ k \to \infty
\end{equation}
となる部分列$\{u_{n_k}\}$と$u \in L^2(0,T; H^2(\om)) \cap H^{\frac{\alpha}{2}}(0,T; H_0^1(\om))$と$w \in {_0H^1}(0,T; L^2(\om))$が存在する. 再度定理1と同様の議論をすることで得られた$u$が等式\eqref{eq:3}をみたしていること, 一意性と$L^2$連続性が示せる. 以上で定理の証明が完了した.
$L^\infty$-Boundness of $L^2(\om)$-solutions
本章では, 次の定理を証明する.
$u_0 \in L^2(\om)$, $f \in L^\infty(0,T; H^{-1}(\om))$, $b,c\in L^\infty(\om)$とし, 式\eqref{eq:2}が成立すると仮定する. このとき, 問題\eqref{eq:1}の弱解
\begin{equation}
u \in L^\infty(0,T; L^2(\om)) \cap L^2(0,T; H_0^1(\om)) \cap H^{\frac{\alpha}{2}}(0,T; L^2(\om))
\end{equation}
が一意に存在し,
\begin{multline}\label{eq:24}\tag{24}
\left\|I^{1-\a}[u-u_0]\right\|_{H^1(0,T; H^{-1}(\om))} + \|u\|_{L^\infty(0,T; L^2(\om))} + \|u\|_{L^2(0,T; H_0^1(\om))} + \|u\|_{H^{\frac{\alpha}{2}}(0,T; L^2(\om))} \\
\leqslant C\left(\|u_0\|_{L^2(\om)} + \|f\|_{L^\infty(0,T; H^{-1}(\om))}\right)
\end{multline}
が成立する.
さらに, $u_0 \in H_0^1(\om)$, $f \in L^\infty(0,T; L^2(\om))$のとき, $I^{1-\a}[u-u_0] \in W^{1,\infty}(0,T; H^{-1}(\om))$となる弱解
\begin{equation}
u \in L^\infty(0,T; H_0^1(\om)) \cap L^2(0,T; H^2(\om)) \cap H^{\frac{\alpha}{2}}(0,T; H_0^1(\om))
\end{equation}
が一意に存在し,
\begin{multline}\label{eq:25}\tag{25}
\left\|I^{1-\a}[u-u_0]\right\|_{W^{1,\infty}(0,T; H^{-1}(\om))} + \|u\|_{L^\infty(0,T; H_0^1(\om))} + \|u\|_{L^2(0,T; H^2(\om))} + \|u\|_{H^{\frac{\alpha}{2}}(0,T; H_0^1(\om))} \\
\leqslant C\left(\|u_0\|_{H_0^1(\om)} + \|f\|_{L^\infty(0,T; L^2(\om))}\right)
\end{multline}
が成立する.
まず式\eqref{eq:24}を示す. 式\eqref{eq:15}の両辺を$0$から$t$まで$\a$階Riemann-Liouville積分すると,
\begin{multline}
\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\alpha}{\Gamma(\a)\Gamma(1-\a)}\int_0^t(t-s)^{\a-1}\int_0^s\frac{\|u_n(s)-u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2}{(s-\tau)^{\a+1}}\ d\tau ds \\
+ \frac{1}{\Gamma(\a)}\int_0^t(t-s)^{\a-1}g_{\a}(s)\|u_n(s)-u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2\ ds + \frac{1}{\Gamma(\a)}\int_0^t(t-s)^{\a-1}\|\nabla u_n(s)\|_{L^2(\om)}^2\ ds \\
\leqslant \|u_0\|_{L^2(\om)}^2 + CI^{\a}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{1}{\lambda}I^{\a}\|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2
\end{multline}
となる. よって,
\begin{align}
CI^{\a}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2
& \leqslant \|u_0\|_{L^2(\om)}^2\sum_{k=0}^\infty C^{k+1}I^{\a}\left(\frac{t^{\alpha k}}{\Gamma(\alpha k
+1)}\right) + \frac{1}{\lambda}\sum_{k=0}^\infty C^{k+1}I^{\alpha(k+2)}\|f_n(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2 \\
& \leqslant \|u_0\|_{L^2(\om)}^2\sum_{k=0}^\infty\frac{C^{k+1}t^{\alpha(k+1)}}{\Gamma(\alpha(k
+1)+2)} + \frac{1}{\lambda}\|f_n(t)\|_{L^\infty(0,t; H^{-1}(\om))}^2\sum_{k=0}^\infty\frac{C^{k+1}t^{\alpha(k+2)}}{\Gamma(\alpha(k+2)+1)} \\
& = \|u_0\|_{L^2(\om)}^2Ct^{\a}E_{\a,\a+2}(Ct^{\a}) + \frac{C}{\lambda}\|f_n(t)\|_{L^\infty(0,t; H^{-1}(\om))}^2t^{2\a}E_{\a,2\a+1}(Ct^{\a})
\end{align}
と評価できるので,
\begin{multline}\label{eq:26}\tag{26}
\sup_{t\in[0,T]}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\alpha T^{\a-1}}{\Gamma(\a)\Gamma(1-\a)}\int_0^t\int_0^s\frac{\|u_n(s)-u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2}{(s-\tau)^{\a+1}}\ d\tau ds \\
+ \frac{1}{\Gamma(\a)}\int_0^t(t-s)^{\a-1}g_{\a}(s)\|u_n(s)-u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2\ ds + \frac{T^{\a-1}}{\Gamma(\a)}\int_0^t\|\nabla u_n(s)\|_{L^2(\om)}^2\ ds \\
\leqslant C_3\left(\|u_0\|_{L^2(\om)}^2 + \|f\|_{L^\infty(0,T; H^{-1}(\om))}^2\right)
\end{multline}
が得られる. よって, $n_k \to \infty$とすれば, $u \in L^\infty(0,T; L^2(\om)) \cap L^2(0,T; H_0^1(\om)) \cap H^{\frac{\a}{2}}(0,T; L^2(\om))$が得られる.
次に, 式\eqref{eq:25}を示す. 補題6の最後の不等式を$0$から$t$まで$\alpha$階Riemann-Liouville積分すると,
\begin{multline}
\|\nabla u_n(t)\|_{H_0^1(\om)}^2 + \frac{\a T^{\a-1}}{\Gamma(\a)\Gamma(1-\a)}\int_0^t\int_0^s\frac{\|\nabla u_n(s)-\nabla u_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2}{(s-\tau)^{\a+1}}\ d\tau ds \\
+ \frac{1}{\Gamma(\a)}\int_0^t(t-s)^{\a-1}g_{\a}(s)\|\nabla u_n(t) - \nabla u_{n,0}\|_{L^2(\om)}^2\ ds + \frac{1}{\a}\int_0^t(t-s)^{\a-1}\|\nabla^2u_n(s)\|_{L^2(\om)}^2\ ds\\
\leqslant C\left(\|\nabla u_0\|_{L^2(\om)}^2 + \int_0^t(t-s)^{\a-1}\|\nabla u_n(s)\|_{L^2(\om)}^2\ ds + \int_0^t(t-s)^{\a-1}\|u_n(s)\|_{L^2(\om)}^2\ ds + \int_0^t(t-s)^{\a-1}\|f_n(s)\|_{L^2(\om)}^2\ ds\right)
\end{multline}
と評価でき, 右辺は式\eqref{eq:26}より有界となる. したがって, $n_k \to \infty$とすれば$u \in L^\infty(0,T; H_0^1(\om)) \cap L^2(0,T; H^2(\om)) \cap H^{\frac{\a}{2}}(0,T; H_0^1(\om))$が得られる. 次に$\caputo u_n$の評価を行う. 定理1と同様にすると,
\begin{multline}\label{eq:27}\tag{27}
\left|\int_{\om}\caputo u_n(x,t)w_n(x)\ dx\right| \leqslant \mu N^2\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}\|\nabla w_n(x)\|_{L^2(\om)} + \|b\|_{L^\infty(\om)}\|\nabla u_n(t)\|_{L^2(\om)}\|w_n\|_{L^2(\om)} \\
+ \|c\|_{L^\infty(\om)}\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}\|w_n\|_{L^2(\om)} + \|f_n(t)\|_{L^2(\om)}\|w_n\|_{H_0^1(\om)}
\end{multline}
となる. この右辺は, $L^\infty(0,T)$の意味で一様有界である. よって,
\begin{equation}
\left\|\dt I^{1-\a}[u-u_0]\right\|_{L^\infty(0,T; H^{-1}(\om))} \leqslant C\left(\|u_0\|_{H_0^1(\om)}^2 + \|f\|_{L^\infty(0,T; L^2(\om))}\right)
\end{equation}
が得られる. 以上で定理の証明が完了した.
Improved regularity
$u_0 \in H_0^1(\om) \cap H^2(\om)$, $f \in H^1(0,T; L^2(\om))$, $b,c \in L^\infty(\om)$とし, 式\eqref{eq:2}, $\displaystyle \max_{i,j}\|\nabla a_{i,j}\|_{L^\infty(\om)} < \infty$が成立すると仮定する. このとき, $I^{1-\a}[u-u_0] \in W^{1,\infty}(0,T; L^2(\om)) \cap {_0H^1}(0,T; H_0^1(\om))$, $\partial_t^{\a}(u-u_0) \in H^{\frac{\a}{2}}(0,T; L^2(\om))$, $\caputo\left(\partial_t^{\a}(u-u_0)\right) \in L^2(0,T; H^{-1}(\om))$となる問題\eqref{eq:1}の弱解$u \in L^\infty(0,T; H^2(\om))$が一意に存在する. さらに
\begin{multline}
\left\|I^{1-\a}[u-u_0]\right\|_{W^{1,\infty}(0,T; L^2(\om))} + \left\|\caputo u\right\|_{L^2(0,T; H_0^1(\om))} + \left\|\caputo u\right\|_{H^{\frac{\a}{2}}(0,T; L^2(\om))} \\
+ \left\|\caputo(\partial_t^{\a}(u-u_0))\right\|_{L^2(0,T; H^{-1}(\om))} + \|u\|_{L^\infty(0,T; H^2(\om))} \\
\leqslant C\left(\|u_0\|_{H^2(\om)} + \|f\|_{H^1(0,T; L^2(\om))}\right)
\end{multline}
が成立する. ここで, $C$は$\a, T, \lambda, \mu, N, \|b\|_{L^\infty(\om)}, \|b\|_{L^\infty(\om)}$に依存する定数である. また, $\a \in \left(\dfrac{1}{2},1\right)$のとき$I^{1-\a}[u-u_0] \in C^1([0,T]; H^{-1}(\om))$である.
$\caputo u= \tilde{u}$とする. 式\eqref{eq:10}の両辺を$\alpha$階Caputo微分し, $\caputo d_{n,m}$をかけて$m=1$から$n$まで和をとると,
\begin{multline}
\int_{\om}\caputo\tilde{u}_n(x,t)\tilde{u}_n(x,t)\ dx + \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j}(x)\partial_i\tilde{u}_n(x,t)\partial_i{u}_n(x,t)\ dx \\
= \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_j(x)\partial_j\tilde{u}_n(x,t)\tilde{u}_n(x,t)\ dx + \int_{\om}c(x)|\tilde{u}_n(x,t)|^2\ dx + \int_{\om}\tilde{f_n}(x,t)\tilde{u_n}(x,t)
\end{multline}
となるので, 補題3より
\begin{equation}\label{eq:28}\tag{28}
\caputo\|\tilde{u}_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\a}{\Gamma(1-\a)}\int_0^t\frac{\|\tilde{u}_n(t)-\tilde{u}_n(s)\|_{L^2(\om)}^2}{(t-s)^{\a+1}}\ ds + \lambda\|\nabla\tilde{u}_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \leqslant C\|\tilde{u}_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \|\tilde{f}_n(t)\|_{L^2(\om)}^2
\end{equation}
となる.
ここで, Holderの不等式より,
\begin{align}
\|\caputo f_n(t)\|_{L^2(\om)}^2
& \leqslant \left(I^{1-\a}\|f_n'(t)\|_{L^2(\om)}\right)^2 \\
& = \left(\int_0^tg_{\a}^{\frac{1}{2}}(t-s)g_{\a}^{\frac{1}{2}}(t-s)\|f_n'(t)\|_{L^2(\om)}\ ds\right)^2 \\
& \leqslant \left(\int_0^tg_{\a}(t-s)\ ds\right)\left(\int_0^tg_{\a}(t-s)\|f_n'(s)\|_{L^2(\om)}^2\ ds\right) \\
& \leqslant \frac{t^{1-\a}}{\Gamma(2-\a)}I^{1-\a}\|f_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2
\end{align}
と評価できる. よって,
\begin{equation}
\caputo\|\tilde{u}_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \leqslant C\|\tilde{u}_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{t^{1-\a}}{\Gamma(2-\a)}I^{1-\a}\|f_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2
\end{equation}
より両辺を$0$から$t$まで$\a$階Riemann-Liouville積分すると, $I^{\a}I^{1-\a} = I$から
\begin{equation}
\|\tilde{u}_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \leqslant \|\tilde{u}_n(0)\|_{L^2(\om)} + CI^{\a}\|\tilde{u}_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + q(t)I\|f_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2
\end{equation}
であるので, Gronwallの不等式より
\begin{equation}
\|\tilde{u}_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 \leqslant \|\tilde{u}_n(0)\|_{L^2(\om)}\sum_{k=0}^\infty\frac{C^kt^{\a k}}{\Gamma(\a k+1)} + q(t)\sum_{k=0}^\infty C^kI^{\a k+1}\|f_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2
\end{equation}
が得られる. したがって, 式\eqref{eq:28}の両辺を$0$から$t$まで$\a$階Riemann-Liouville積分すると,
\begin{multline}
\|\tilde{u}_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\a}{\Gamma(\a)\Gamma(1-\a)}\int_0^t(t-s)^{\a-1}\int_0^s\frac{\|\tilde{u}_n(s)-\tilde{u}_n(\tau)\|_{L^2(\om)}^2}{(s-\tau)^{\a+1}}\ ds + \frac{1}{\Gamma(\a)}\int_0^t(t-s)^{\a-1}\|\nabla\tilde{u}_n(s)\|_{L^2(\om)}^2 \\
\leqslant \|\tilde{u}_0\|_{L^2(\om)}^2 + CI^{\a}\|\tilde{u}_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + q(t)I\|f_n'(t)\|_{L^2(\om)}^2
\end{multline}
となる.
\begin{equation}
\|\tilde{u}_n(0)\|_{L^2(\om)} \leqslant C\|u_0\|_{H^2(\om)}
\end{equation}
であり, 定理7と同様の議論をすれば, $n_k\to\infty$より
\begin{equation}
\caputo u \in L^\infty(0,T; L^2(\om)) \cap L^2(0,T; H_0^1(\om)) \cap H^{\frac{\a}{2}}(0,T; L^2(\om))
\end{equation}
が得られる. 次に$u \in L^\infty(0,T; H^2(\om))$を示す.
\eqref{eq:10}の両辺に$\lambda_md_{n,m}$をかけて$m=1$から$n$まで和をとり, $\Delta u_n = 0$ on $\partial\om$より
\begin{equation}
-\int_{\om}Lu_n(x,t)\Delta u_n(x,t)\ dx = \int_{\om}\caputo u_n(x,t)\Delta u_n(x,t)\ dx - \int_{\om}f_n(x,t)\Delta u_n(x,t)\ dx
\end{equation}
となる. よって, elliptic regularityより
\begin{equation}
\|u_n(t)\|_{H^2(\om)}^2 \leqslant -\int_{\om}Lu_n(x,t)\Delta u_n(x,t)\ dx + C\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2
\end{equation}
となるので,
\begin{equation}
\|u_n(t)\|_{H^2(\om)}^2 \leqslant C\left(\|f_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \|\tilde{u}_n(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \|u_n(t)\|_{L^2(\om)}\right)
\end{equation}
が得られる. 右辺は$L^\infty(0,T)$の意味で有界であるので, $n_k\to\infty$とすれば$u \in L^\infty(0,T; H^2(\om))$を得る. さらに, 式\eqref{eq:10}の両辺を$\a$階caputo微分し, $\theta_m$をかけて$m=1$から$n$まで和をとると,
\begin{equation}
\caputo\caputo u \in L^2(0,T; H^{-1}(\om))
\end{equation}
を得る. 以上で定理の証明が完了した.
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