忠実な作用と忠実な関手って同じ名前だよね
この記事で考えること
最近圏論の勉強を始めました. その中で充実な関手という概念が出てきました. 以下に定義を提示しておきます.
$F\colon \mathscr{C}\to \mathscr{C}'$を(共変)関手とする. $\Hom_{\mathscr{C}}(X,Y)\to \Hom_{\mathscr{C}}(F(X),F(Y))$が単射であるとき, 関手$F$は忠実(faithful)であるという.
ところでこの忠実という用語をどこかで見かけた気がするんですよね...
群$G$が集合$X$に作用しているとする. この作用が忠実(faithful)であるとは次が成り立つことである.
\begin{align}
\forall g,h\in G,\,[\forall x\in X,\,g.x=h.x]\Longrightarrow g=h
\end{align}
これだ. 確かに似ている概念だと思うので群の作用が忠実であることは, 関手の言葉でちゃんと書けることを確かめてみましょう.
なお本はmatsudaを使って勉強しているので記号はその本のものをそのまま用いています.
やってみる
まず上で定義した群の作用を言い換えることで群の作用が忠実であることを単射の言葉を用いて表してみます. $\Sym(X)$を$X$から$X$への全単射全体の集合とします(これは写像の合成により群をなし, $X$上の対称群といいます).
群作用の定義から, 次の写像$\rho$が準同型写像であることが分かります.
\begin{align}
\rho\colon G\longrightarrow \Sym(X),\quad \rho(g)(x):=g.x
\end{align}
逆に準同型写像$\rho\colon G\longrightarrow \Sym(X)$が与えられることで上の対応によって群作用を定めることができます. 準同型写像$\rho\colon G\longrightarrow \Sym(X)$を$G$の$X$上の置換表現(permutation representation)と呼びます. 例えば自明な作用の置換表現は任意の$g\in G$に対して$X$上の恒等写像を対応させる準同型です. このようにして作用を置換表現とみると, 群の作用が忠実であることはその置換表現が単射であることと言えます.
続いてこの$\rho$を関手とみるために二つの圏を設定しましょう. 圏$\mathscr{C}_G$を対象を一点$*$, 射を$G$とする圏とします. 射の合成は群の演算とします. さらに圏$\mathscr{C}_X$を対象を$X$のみとして, 射の集合を$\Sym(X)$とする圏とします. このとき置換表現$\rho$を関手$\rho\colon \mathscr{C}_G\to\mathscr{C}_X$と見なします. 具体的には$\rho(*)=X$で, $\mathscr{C}_G$の射$g$に対して$\rho(g)$を対応させるものです. $\rho(gh)=\rho(g)\rho(h)$であることは置換表現が群準同型写像であったことを思い出せばいいです. この設定の下で$\Hom_{\mathscr{C}_G}(*,*)=G$, $\Hom_{\mathscr{C}_X}(X,X)=\Sym{X}$なので, 群の作用が忠実であることはその置換表現$\rho$を上のように関手と見たときに関手として忠実であることと言えました.
おわりに
今回は"忠実"という用語を用いる例として群の作用を取り上げましたが忠実な表現や忠実な加群というのもありますね. ただこれらも今回の群の作用とほぼ同じように考えることができると思います.
私はこういう具体例を考えないと圏論の勉強が進まないというか, ピンとこないのでこれからもぽつぽつと具体例をメモとしてMathlogにあげていくかもしれません. 稚拙かつ短い記事ですが, 最後まで読んでいただきありがとうございました.
