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Gegenbauer多項式の積の公式2

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結構前の記事 において, 以下を示した.

l+m+n=2Nが偶数のとき,
11Cl(a)(x)Cm(a)(x)Cn(a)(x)(1x2)a12dx=(a)Nl(a)Nm(a)Nn(Nl)!(Nm)!(Nn)!(a)N+1212aπΓ(N+2a)Γ(a)2

今回はこれに関して直接展開して項別積分するとどうなるのかについて考えてみたいと思う.
Cn(a)(x)=(2a)nn!2F1[n,2a+na+12;1x2]
であるから, x12xと変換すると,
22a(2a)l(2a)m(2a)nl!m!n!012F1[l,2a+la+12;x]2F1[m,2a+ma+12;x]2F1[n,2a+na+12;x](x(1x))a12dx=(a)Nl(a)Nm(a)Nn(Nl)!(Nm)!(Nn)!(a)N+1212aπΓ(N+2a)Γ(a)2
となるから,
012F1[l,2a+la+12;x]2F1[m,2a+ma+12;x]2F1[n,2a+na+12;x](x(1x))a12dx=(a)Nl(a)Nm(a)Nnl!m!n!(Nl)!(Nm)!(Nn)!(a)N+1(2a)l(2a)m(2a)n214aπΓ(N+2a)Γ(a)2
である. 超幾何級数を展開して項別積分すると,
0i(l,2a+l)ii!(a+12)i(m,2a+m)jj!(a+12)j(n,2a+n)kk!(a+12)k(a+12)i+j+k(2a+1)i+j+k=(a)Nl(a)Nm(a)Nnl!m!n!(Nl)!(Nm)!(Nn)!(a)N+1(2a)l(2a)m(2a)n214aπΓ(N+2a)Γ(a)2Γ(2a+1)Γ(a+12)2=(a)Nl(a)Nm(a)Nnl!m!n!(2a)N(Nl)!(Nm)!(Nn)!(a+1)N(2a)l(2a)m(2a)n
となる. つまり, 以下の三重超幾何級数の和公式が成り立つことになる.

l+m+n=2Nが偶数のとき,
0i(l,2a+l)ii!(a+12)i(m,2a+m)jj!(a+12)j(n,2a+n)kk!(a+12)k(a+12)i+j+k(2a+1)i+j+k=(a)Nl(a)Nm(a)Nnl!m!n!(2a)N(Nl)!(Nm)!(Nn)!(a+1)N(2a)l(2a)m(2a)n
が成り立つ.

しかし, 上の和公式を直接示すのもそれほど簡単ではなさそうである. 積分の別の展開の仕方を考えてみる.
012F1[l,2a+la+12;x]2F1[m,2a+ma+12;x]2F1[n,2a+na+12;x](x(1x))a12dx=0i,j(l,2a+l)ii!(a+12)i(m,2a+m)jj!(a+12)j01xi+j2F1[n,2a+na+12;x](x(1x))a12dx
ここで,
01xM2F1[n,2a+na+12;x](x(1x))a12dx=Γ(a+12)2Γ(2a+1)0k(n,2a+n)kk!(a+12)k(a+12+M)k(2a+1+M)k
であり, Saalschützの和公式より,
0k(n,2a+n)kk!(a+12)k(a+12+M)k(2a+1+M)k=(a+12,1+Mn)n(2a+1+M,12an)n=(M)n(2a+1+M)n
であるから, これを用いて,
0i,j(l,2a+l)ii!(a+12)i(m,2a+m)jj!(a+12)j01xi+j2F1[n,2a+na+12;x](x(1x))a12dx=Γ(a+12)2Γ(2a+1)0i,j(l,2a+l)ii!(a+12)i(m,2a+m)jj!(a+12)j(ij)n(2a+1+i+j)n=(1)nΓ(a+12)2Γ(2a+1+n)0i,j(l,2a+l)ii!(a+12)i(m,2a+m)jj!(a+12)j(2a+1)i+j(i+j)!(2a+1+n)i+j(i+jn)!
つまり, 以下を得る.

l+m+n=2Nが偶数のとき,
0i,j(l,2a+l)ii!(a+12)i(m,2a+m)jj!(a+12)j(2a+1)i+j(i+j)!(2a+1+n)i+j(i+jn)!=(1)n(a)Nl(a)Nm(a)Nnl!m!n!(2a)N(2a+1)n(Nl)!(Nm)!(Nn)!(a+1)N(2a)l(2a)m(2a)n
が成り立つ.

これは二重超幾何級数の和公式であるが, 直接的に示す方法は少なくともすぐには思いつかない. 個人的に, このような二重以上の超幾何級数の和公式がどこまで一般化できるかどうかはかなり気になっている問題である.

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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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