「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、代数の練習問題その4

「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、代数の練習問題その4

問題

解答（本には載ってません）

代数学の基本定理より
（この後もこの定理を前提にする）
題意が成り立たないなら

$\begin{array}{rcl}& & (x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)+1\\ & =& (x-b_1)(x-b_2)\cdots (x-b_n)\end{array}$

解の和は2次式の$\alpha$に相当する部分だ。$n-1$次の$x$の項に対応する。（この「対応」は数学的な対応ではない。）
$n-1$次の$x$を因数に持つ項なので、$1$を加えても変わらない。
$$\therefore \sum _{n=1}^n{a}_n=\sum _{n=1}^n{b}_n\dots \mathrm{①}$$
また、左辺と右辺の対応する定数項の関係より
$$\prod _{n=1}^n{a}_n+1=\prod _{n=1}^n{b}_n\dots \mathrm{②}$$

説明

どれかの$a_i$が$+1$されると（$\dots$ (a)）、①が成り立たなくなる。
従って別の$a_i$を$-1$する（$\dots$ (b)）ことになる。

補足

正方形の面積で考えると分かるが、$2$以上足したり引いたりすると、全体に足す数が$1$では全体に足す数が小さすぎて成り立たない。しかも、長方形では差が$1$にならないので、殆ど常に成り立たないことが分かる。

説明の続き

そうすると
$\prod a_n$は大きくなる。
②が成り立つ為には、$a_n$に足したり引いたりしたものを新しい$a_n$とした時に、新しい$a_n$において$\prod a_n$は小さくならないといけない。
（この書き方が一番分かりやすい。新しい$a_n$を$c_n$などとすると難しくなる。殆ど変化していないので、どうしても気になる人は$a^{\prime }n$などに頭の中で置き換えるように。）

立式すると

(a)で小さくなる量は
$-1\ast (x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_{i-1})(x-a_{i+1})\cdots (x-a_n)\dots \mathrm{③}$
変形した式全体は
$(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_{i-1})(x-a_i-1)(x-a_{i+1})\cdots (x-a_n)$
最終的な式は
$(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_{i-1})(x-a_i-1)(x-a_{i+1})\cdots (x-a_j+1)(x-a_{j+1})\cdots (x-a_n)$
(b)で大きくなる量は
$(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_{i-1})(x-a_i-1)(x-a_{i+1})\cdots (x-a_{j-1})(x-a_{j+1})\cdots (x-a_n)$
$\dots \mathrm{④}$

たまねぎくんの解説

(x-a_i-1)
が③に追加され、④は
(x-a_j)
がなくなってるんだよ。

説明の続き

$\mathrm{③}+\mathrm{④}=1$より
$\begin{array}{rcl}& & (x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_{i-1})(x-a_{i+1})(x-a_{j-1})(x-j+1)\cdots (x-a_n)\\ & \ast & \{-(x-a_j+1)+x-a_i-1\}\\ & =& T\ast (a_j-a_i-2)\\ & =& 1\end{array}$
$\therefore T=1,a_j-a_i=2またはT=-1,a_j-a_i=-2$
この式が常に成り立つ訳がないので、これは馬鹿げている。
Q. E. D.
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こんなもんだと思うが、式が簡単なようで難しい。
本気で間違いを訂正してくれる方がいらっしゃると助かります。
何度も直したんだけどな。