令和4年度神戸大理学部数学科3年次編入第3問

問題は, 神戸大数学科のウェブサイトの令和 4 年度編入試（PDF-file）を参照してください。

令和4年度神戸大理学部数学科3年次編入第3問の解答

$(1)$ $A^{m} = E$ となる $m \in N$ が存在すると仮定する。このとき, $| A^{m} | = | E | = 1 > 0.$ ゆえに $| A | \neq 0$ となり $A$ は正則行列。

$(2)$ $A^{m} = O$ となる $m \in N$ が存在すると仮定する。このとき, $| A^{m} | = | O |,$ つまり, $| A | = 0$ となり $A$ は非正則行列。

$(3)$ $A^{m} = O$ となる $m \in N$ が存在すると仮定する。以下 $m$ はそのような正の整数で最小のものとする。
$\begin{array}{r} E x = A x \end{array}$
を満たす $x \in R^{n}$ は両辺 $A^{m - 1}$ を掛けた
$\begin{array}{r} A^{m - 1} x = A^{m} x, \end{array}$
つまり
$\begin{array}{r} A^{m - 1} x = 0 (∵ A^{m} = O) \end{array}$
を満たさなければならない。そして $A^{m - 1} \neq 0$ なので, $x = 0$ でなければならない。ゆえに $E - A$ は正則。

$\begin{aligned} E & = E^{m} - A^{m} = (E - A) (E + A + \dots + A^{m - 1}) \end{aligned}$
であるから
$\begin{array}{r} (E - A)^{- 1} = \sum_{k = 1}^{m} A^{k - 1} . \end{array}$