皆さんこんにちは。お久しぶりです。
今回は、$x^{n}$のフーリエ級数展開を求めてみます。
以下それを求めるために、最も重要な次の問題を考えてみます。
1.証明はしません！
2.間違いがあるかもしれません。
$I_{n}=\int_{-\pi}^{\pi}x^{m}\exp{\lambda x}dx \hspace{ 10pt } (m \in \mathbb{N}\cup \{0\})$を求めよ。
この問題を解く前に、いくつか具体例を見てみよう。
$n=0$の場合
\begin{eqnarray}
I_{0}&=&\int_{-\pi}^{\pi}\exp{\lambda x}dx \\
&=& \frac{2}{\lambda}\sinh{\lambda \pi}
\end{eqnarray}
$n=1$の場合
\begin{eqnarray}
I_{1}&=& \int_{-\pi}^{\pi}x \exp{\lambda x}dx \\
&=& [\frac{1}{\lambda}x \exp{\lambda x}]_{-\pi}^{\pi}
-\frac{1}{\lambda}\int_{-\pi}^{\pi}\exp{\lambda x}dx \\
&=& \frac{2\pi}{\lambda}\cosh{\lambda \pi}-\frac{2}{\lambda}\sinh{\lambda \pi}
\end{eqnarray}
$n=2$の場合
\begin{eqnarray}
I_{2}&=&\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}\exp{\lambda x}dx \\
&=& \frac{2\pi^{2}}{\lambda}\sinh{\lambda \pi}
-\frac{4\pi}{\lambda^2}\cosh{\lambda \pi}
+\frac{4}{\lambda^3}\sinh{\lambda \pi} \\
&=&
(\frac{2\pi^ {2}}{\lambda}+\frac{4}{\lambda^{3}})\sinh{\lambda \pi}
-\frac{4 \pi}{\lambda^{2}}\cosh{\lambda \pi} \\
&=&
2\{(\frac{2! \pi^{2}}{2!\lambda}+\frac{2!}{0!\lambda^{3}})\sinh{\lambda \pi}
-\frac{2!\pi}{1!\lambda^{2}}\cosh{\lambda \pi}
\}
\end{eqnarray}
$n=3$の場合
\begin{eqnarray}
I_{3}&=& \int_{-\pi}^{\pi}x^{3}\exp{\lambda x}dx \\
&=& (\frac{12\pi}{\lambda^{3}}+\frac{2\pi^{3}}{\lambda})\cosh{\lambda \pi}
-(\frac{12}{\lambda^{4}}+\frac{6\pi^{2}}{\lambda^{2}})\sinh{\lambda \pi} \\
&=&
2\{(\frac{3! \pi}{1!\lambda^{3}}+\frac{3!\pi^{3}}{3!\lambda})\cosh{\lambda \pi}
-(\frac{3!}{0!\lambda^{4}}+\frac{3!\pi^{2}}{2!\lambda^{2}})\}\sinh{\lambda \pi}
\end{eqnarray}
【回答】
上記の例を参照すれば下記の結果が得られる。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
I_{2m-1}=2(2m-1)!\{\frac{\pi}{\lambda^{2m-1}}\cosh{\lambda \pi}\sum_{k=1}^{m}\frac{\pi^{2(k-1)}\lambda^{2(k-1)}}{(2k-1)!}
-\frac{1}{\lambda^{2m}}\sinh{\lambda \pi} \sum_{k=1}^{m}\frac{\pi^{2(k-1)\lambda^{2(k-1)}}}{(2k-2)!} \} \\
I_{2m}=2(2m)!\{\frac{1}{\lambda^{2m+1}}\sinh{\lambda \pi}\sum_{k=1}^{m+1}
\frac{\pi^{2(k-1)}\lambda^{2(k-1)}}{(2k-2)!}
-\frac{\pi}{\lambda^{2m}}\cosh{\lambda \pi}
\sum_{k=1}^{m}\frac{\pi^{2(k-1)}\lambda^{2(k-1)}}{(2k-1)!}
\}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
では問題1の結果を用いて今回目的とした問題を考えてみよう。
次の$I_{k},J_{k}$を求めよ。
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
I_{k,n}=\int_{-\pi}^{\pi}x^{k}\cos{nx}dx\\
J_{k,n}=\int_{-\pi}^{\pi}x^{k}\sin{nx}dx
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
【回答】
$\lambda=in$とおく。すると次の結果を得る。
$k=2m-1$の場合
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
I_{2m-1,n}=0\\
J_{2m-1,n}=2(2m-1)!\{(-1)^{m}\frac{\pi}{n^{2m-1}}\cos{n \pi}
\sum_{k=1}^{m}\frac{(-1)^{k-1}\pi^{2(k-1)}}{(2k-1)!}
-\frac{(-1)^{m}}{n^{2m}}\sin{n\pi}\sum_{k=1}^{m}\frac{(-1)^{k-1}\pi^{k-1}}{(2k-2)!}\}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
$k=2m$の場合
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
I_{2m,n}=2(2m)!\{\frac{(-1)^{m}}{n^{2m+1}}\sin{n\pi}\sum_{k=1}^{m+1}
\frac{(-1)^{k-1}\pi^{2(k-1)}}{(2k-2)!}
-(-1)^{m}\frac{\pi}{n^{2m}}\cos{n \pi}
\sum_{k=1}^{m}\frac{(-1)^{k-1}\pi^{2(k-1)}}{(2k-1)!}\} \\
J_{2m,n}=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$\sin{n\pi}=0,\cos{n\pi}=(-1)^{n}$である事に注意すると
$n=2m-1$の場合
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
I_{2m-1,n}=0\\
J_{2m-1,n}=(-1)^{m+n}2(2m-1)!\frac{\pi}{n^{2m-1}}
\sum_{k=1}^{m}\frac{(-1)^{k-1}\pi^{2(k-1)}}{(2k-1)!}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$n=2m$の場合は
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
I_{2m,n}=-(-1)^{m+n}2(2m)!
\frac{\pi}{n^{2m}}
\sum_{k=1}^{m}\frac{(-1)^{k-1}\pi^{2(k-1)}}{(2k-1)!} \\
J_{2m,n}=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
以上です。
どうだったかな？
すっごく簡単な事かもだけど、これ応用できそうじゃない？
応用方法を思いついたら、また記事を書くね！