べき乗のフーリエ級数展開を求める

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皆さんこんにちは。お久しぶりです。
今回は、 $x^{n}$ のフーリエ級数展開を求めてみます。
以下それを求めるために、最も重要な次の問題を考えてみます。
1.証明はしません！
2.間違いがあるかもしれません。

$I_{n} = \int_{- π}^{π} x^{m} \exp λ x d x (m \in N \cup {0})$ を求めよ。

この問題を解く前に、いくつか具体例を見てみよう。

$n = 0$ の場合
$\begin{array}{rcl} I_{0} & = & \int_{- π}^{π} \exp λ x d x \\ = & \frac{2}{λ} \sinh λ π \end{array}$

$n = 1$ の場合
$\begin{array}{rcl} I_{1} & = & \int_{- π}^{π} x \exp λ x d x \\ = & [\frac{1}{λ} x \exp λ x]_{- π}^{π} - \frac{1}{λ} \int_{- π}^{π} \exp λ x d x \\ = & \frac{2 π}{λ} \cosh λ π - \frac{2}{λ} \sinh λ π \end{array}$

$n = 2$ の場合
$\begin{array}{rcl} I_{2} & = & \int_{- π}^{π} x^{2} \exp λ x d x \\ = & \frac{2 π^{2}}{λ} \sinh λ π - \frac{4 π}{λ^{2}} \cosh λ π + \frac{4}{λ^{3}} \sinh λ π \\ = & (\frac{2 π^{2}}{λ} + \frac{4}{λ^{3}}) \sinh λ π - \frac{4 π}{λ^{2}} \cosh λ π \\ = & 2 {(\frac{2! π^{2}}{2! λ} + \frac{2!}{0! λ^{3}}) \sinh λ π - \frac{2! π}{1! λ^{2}} \cosh λ π} \end{array}$

$n = 3$ の場合
$\begin{array}{rcl} I_{3} & = & \int_{- π}^{π} x^{3} \exp λ x d x \\ = & (\frac{12 π}{λ^{3}} + \frac{2 π^{3}}{λ}) \cosh λ π - (\frac{12}{λ^{4}} + \frac{6 π^{2}}{λ^{2}}) \sinh λ π \\ = & 2 {(\frac{3! π}{1! λ^{3}} + \frac{3! π^{3}}{3! λ}) \cosh λ π - (\frac{3!}{0! λ^{4}} + \frac{3! π^{2}}{2! λ^{2}})} \sinh λ π \end{array}$

【回答】
上記の例を参照すれば下記の結果が得られる。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} I_{2 m - 1} = 2 (2 m - 1)! {\frac{π}{λ^{2 m - 1}} \cosh λ π \sum_{k = 1}^{m} \frac{π^{2 (k - 1)} λ^{2 (k - 1)}}{(2 k - 1)!} - \frac{1}{λ^{2 m}} \sinh λ π \sum_{k = 1}^{m} \frac{π^{2 (k - 1) λ^{2 (k - 1)}}}{(2 k - 2)!}} \\ I_{2 m} = 2 (2 m)! {\frac{1}{λ^{2 m + 1}} \sinh λ π \sum_{k = 1}^{m + 1} \frac{π^{2 (k - 1)} λ^{2 (k - 1)}}{(2 k - 2)!} - \frac{π}{λ^{2 m}} \cosh λ π \sum_{k = 1}^{m} \frac{π^{2 (k - 1)} λ^{2 (k - 1)}}{(2 k - 1)!}} \end{cases} \end{array}$

では問題1の結果を用いて今回目的とした問題を考えてみよう。

次の $I_{k}, J_{k}$ を求めよ。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} I_{k, n} = \int_{- π}^{π} x^{k} \cos n x d x \\ J_{k, n} = \int_{- π}^{π} x^{k} \sin n x d x \end{cases} \end{array}$

【回答】
$λ = i n$ とおく。すると次の結果を得る。
$k = 2 m - 1$ の場合
$\begin{array}{r} {\begin{cases} I_{2 m - 1, n} = 0 \\ J_{2 m - 1, n} = 2 (2 m - 1)! {(- 1)^{m} \frac{π}{n^{2 m - 1}} \cos n π \sum_{k = 1}^{m} \frac{(- 1)^{k - 1} π^{2 (k - 1)}}{(2 k - 1)!} - \frac{(- 1)^{m}}{n^{2 m}} \sin n π \sum_{k = 1}^{m} \frac{(- 1)^{k - 1} π^{k - 1}}{(2 k - 2)!}} \end{cases} \end{array}$
$k = 2 m$ の場合
$\begin{array}{r} {\begin{cases} I_{2 m, n} = 2 (2 m)! {\frac{(- 1)^{m}}{n^{2 m + 1}} \sin n π \sum_{k = 1}^{m + 1} \frac{(- 1)^{k - 1} π^{2 (k - 1)}}{(2 k - 2)!} - (- 1)^{m} \frac{π}{n^{2 m}} \cos n π \sum_{k = 1}^{m} \frac{(- 1)^{k - 1} π^{2 (k - 1)}}{(2 k - 1)!}} \\ J_{2 m, n} = 0 \end{cases} \end{array}$
$\sin n π = 0, \cos n π = (- 1)^{n}$ である事に注意すると
$n = 2 m - 1$ の場合
$\begin{array}{r} {\begin{cases} I_{2 m - 1, n} = 0 \\ J_{2 m - 1, n} = (- 1)^{m + n} 2 (2 m - 1)! \frac{π}{n^{2 m - 1}} \sum_{k = 1}^{m} \frac{(- 1)^{k - 1} π^{2 (k - 1)}}{(2 k - 1)!} \end{cases} \end{array}$
$n = 2 m$ の場合は
$\begin{array}{r} {\begin{cases} I_{2 m, n} = - (- 1)^{m + n} 2 (2 m)! \frac{π}{n^{2 m}} \sum_{k = 1}^{m} \frac{(- 1)^{k - 1} π^{2 (k - 1)}}{(2 k - 1)!} \\ J_{2 m, n} = 0 \end{cases} \end{array}$