スピノル場を物質として持つEinstein系の作用を定義して、変分して場の方程式を導きます。
convention
リーマンスピン多様体
のリーマン接続およびスピン接続
のスカラー曲率
スピン束
のSpin不変ファイバー内積
Dirac作用素
Einstein-Dirac系
Einstein-Dirac系
をリーマンスピン多様体とし、をスピノル場とする。に対して、作用汎関数
の停留点として与えられるはEinstein-Dirac系を成すという。
擬リーマンでも同様なのですが符号の取り扱いが少し面倒なのでこの記事ではリーマン多様体で行います。
を変分して得られるDirac方程式は
であり、を変分して得られるEinstein方程式は
で与えられます。はスピノルのエネルギー運動量テンソルと呼ばれます。
場の方程式の導出
作用汎関数を
と分解しておきます。
Dirac方程式
として変分を行います。Dirac作用素の形式的自己随伴性を使うと
となります。よって任意のに対してが停留点を与えるためには
となります。
Einstein方程式
計量で変分します。のでの変分は
一般相対性理論概説
で計算しているので参照してください。ここではをで変分してのエネルギー運動量テンソルを導きます。計量を摂動すると、それに伴ってフレーム場とスピン接続が摂動されます。
に伴って、フレーム場は
が満たされるように摂動するので、となっているとすれば、
を満たします。このためには
となっていればよいことが分かります。以下ではなどと書きます。
変分は
となります。第一項は
となります。
第二項の変分は消えるのですが計算は少し長いです。まず
より、と書くとき、
となります。を点を中心とする測地座標とし、においてとなるようにします。さらにとなるので、となり、
となります。接続の係数のLie微分の公式と同様に
が成り立つので、
となります。だったので
を使うと、
となり、
が得られます。よって
となり、点は任意に選べるので第二項目の変分は消えることが分かりました。
以上より
となり、
が得られました。