自作問題

すべての自然数$n$において、$\frac{(n+1)^{n^{2026}}-1}{n^{2026}}$が整数となることを証明せよ。

$f(x)$を区間$(0,\infty)$で連続微分可能（導関数が連続かつ微分可能）な関数とする。
$f(1)=2$であり、任意の$x>0$に対して
$\lim_{t \to x} \frac{t^{2027}f(x)-x^{2027}f(t)}{t^{2026}-x^{2026}} =1$
が成り立つとき、$f(x)$を求めよ。

以下の等式を証明せよ。
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2k}}= \frac{(-1)^{k+1}(2\pi)^{2k}}{2 \cdot (2k)!} \sum_{m=0}^{2k} \frac{1}{m+1} \sum_{j=0}^{m} (-1)^{j} { m \choose j } j^{2k}$

次の式の値を求めよ。
$\prod_{p}^{\infty}( \frac{p^{2}+1}{p^{2}-1} )$

正の実数$x,y,z$に対し、
$\frac{1+xy+xz}{(1+y+z)^{2}}+ \frac{1+yz+yx}{(1+z+x)^{2}}+ \frac{1+zx+zy}{(1+x+y)^{2}} \geq 1 $
が成り立つことを示せ。

正の実数$x,y,z$が$x+y+z=1$を満たしているとき、
$x \sqrt[3]{1+y-z} +y \sqrt[3]{1+z-x} +z \sqrt[3]{1+x-y} \leq 1$
を示せ。

実数$x,y,z,w$は$x \geq y \geq z \geq w \gt 0$および$x+y+z+w=1$を満たしている。このとき、
$(x+2y+3z+4w)x^{x}y^{y}z^{z}w^{w} \lt 1$
であることを示せ。

$x+y+z=1$を満たす正の実数$x,y,z$に対して
$\frac{1+x}{1-x}+ \frac{1+y}{1-y}+ \frac{1+z}{1-z} \leq 2( \frac{y}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z} )$
が成立することを示せ。

正の実数$x,y,z$が$x+y+z=1$を満たしている。このとき、
$\sqrt{x+yz}+ \sqrt{y+zx}+ \sqrt{z+xy} \leq 2$
であることを示せ。

正の実数$x,y,z$が$xyz=1$を満たしている。このとき、
$(x-1+ \frac{1}{y} )(y-1+ \frac{1}{z} )(z-1+ \frac{1}{x} ) \leq 1$
であることを示せ。

実数$x,y,z$が$x,y,z \geq 0$および$x+y+z=1$を満たしている。このとき、
$0 \leq xy+yz+zx-2xyz \leq \frac{7}{27} $
であることを示せ。

$n$を自然数、$p_{k} $を$k$番目の素数とする。このとき、
$\prod_{i=1}^{n}(1+ \frac{1}{ \sqrt{ p_{i} } } )^{2} \gt p_{n+1} -1$
を示せ。

正の実数$x,y,z$に対し、
$\frac{x}{ \sqrt{x^{2}+8yz} }+\frac{y}{ \sqrt{y^{2}+8zx} }+\frac{z}{ \sqrt{z^{2}+8xy} } \geq 1$
であることを示せ。

正の実数$x,y,z$に対し、
$(a^{5}-a^{2}+3)(b^{5}-b^{2}+3)(c^{5}-c^{2}+3) \geq (a+b+c)^{3}$
であることを示せ。

$1$本の棒を、無作為な位置で$2$本に切る。このとき、$2$本のうち短い方の棒の長さを長い方の棒の長さで割った値の期待値を求めよ。

区別できないボールが$n$個ある。これらを、区別できない箱に分けて入れる。ここで、ボールが$n$個のときの分け方の数を$p(n)$とする。このとき、$p(n)$を求めよ。