Rogers-Ramanujan型の等式その2, Heineの和公式

前回の記事 でHeineの和公式の特別な場合
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{\frac{n^2-n}2}(a;q)_n}{(c,q;q)_n}\left(\frac ca\right)^n&=\frac{(c/a;q)_n}{(c;q)_n} \end{align}
を用いて, 様々なRogers-Ramanujan型の等式を導出した. 上の等式において, $a\mapsto \infty$とすることによって以下を得る.

定理1において, $c=q$とすると以下を得る.

次に, 定理1において, $c=q^{\frac 12}$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2-\frac n2}}{(q^{\frac 12};q^{\frac 12})_{2n}}&=\frac 1{(q^{\frac 12};q)_{\infty}} \end{align}
ここで, $q\mapsto q^2$とすると
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{2n^2-n}}{(q;q)_{2n}}&=\frac 1{(q;q^2)_{\infty}} \end{align}
を得る. また, 定理1において, $c=q^{\frac 32}$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2+\frac n2}}{(q^{\frac 32},q;q)_n}&=\frac 1{(q^{\frac 32};q)_{\infty}} \end{align}
ここで, 両辺を$1-q^{\frac 12}$で割って, $q\mapsto q^2$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{2n^2+n}}{(q;q)_{2n+1}}&=\frac 1{(q;q^2)_{\infty}} \end{align}
を得る.

次に, 定理1において, $c=-q^{\frac 12}$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{n^2-\frac n2}}{(-q^{\frac 12},q;q)_n}&=\frac 1{(-q^{\frac 12};q)_{\infty}} \end{align}
$q\mapsto q^2$として,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{2n^2-n}}{(-q,q^2;q^2)_n}&=\frac 1{(-q;q^2)_{\infty}} \end{align}
を得る. 次に, 定理1において, $c=-q^{\frac 32}$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{n^2+\frac n2}}{(-q^{\frac 32},q;q)_n}&=\frac 1{(-q^{\frac 32};q)_{\infty}} \end{align}
両辺を$1+q^{\frac 12}$で割って$q\mapsto q^2$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{2n^2+n}}{(q^2;q^2)_n(-q;q^2)_{n+1}}&=\frac 1{(-q;q^2)_{\infty}} \end{align}
を得る.