Rogers-Ramanujan型の等式その2, Heineの和公式

前回の記事 でHeineの和公式の特別な場合
$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le n}\frac{(-1{)}^n{q}^{\frac{n^2-n}{2}}(a;q{)}_n}{(c,q;q{)}_n}{\left(\frac{c}{a}\right)}^n& =\frac{(c/a;q{)}_n}{(c;q{)}_n}\end{array}$$
を用いて, 様々なRogers-Ramanujan型の等式を導出した. 上の等式において, $a\mapsto \mathrm{\infty }$とすることによって以下を得る.

定理1において, $c=q$とすると以下を得る.

次に, 定理1において, $c=q^{\frac{1}{2}}$とすると,
$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le n}\frac{q^{n^2-\frac{n}{2}}}{(q^{\frac{1}{2}};q^{\frac{1}{2}}{)}_{2n}}& =\frac{1}{(q^{\frac{1}{2}};q{)}_{\mathrm{\infty }}}\end{array}$$
ここで, $q\mapsto q^2$とすると
$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le n}\frac{q^{2n^2-n}}{(q;q{)}_{2n}}& =\frac{1}{(q;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}}\end{array}$$
を得る. また, 定理1において, $c=q^{\frac{3}{2}}$とすると,
$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le n}\frac{q^{n^2+\frac{n}{2}}}{(q^{\frac{3}{2}},q;q{)}_n}& =\frac{1}{(q^{\frac{3}{2}};q{)}_{\mathrm{\infty }}}\end{array}$$
ここで, 両辺を$1-q^{\frac{1}{2}}$で割って, $q\mapsto q^2$とすると,
$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le n}\frac{q^{2n^2+n}}{(q;q{)}_{2n+1}}& =\frac{1}{(q;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}}\end{array}$$
を得る.

次に, 定理1において, $c=-q^{\frac{1}{2}}$とすると,
$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le n}\frac{(-1{)}^n{q}^{n^2-\frac{n}{2}}}{(-q^{\frac{1}{2}},q;q{)}_n}& =\frac{1}{(-q^{\frac{1}{2}};q{)}_{\mathrm{\infty }}}\end{array}$$
$q\mapsto q^2$として,
$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le n}\frac{(-1{)}^n{q}^{2n^2-n}}{(-q,q^2;q^2{)}_n}& =\frac{1}{(-q;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}}\end{array}$$
を得る. 次に, 定理1において, $c=-q^{\frac{3}{2}}$とすると,
$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le n}\frac{(-1{)}^n{q}^{n^2+\frac{n}{2}}}{(-q^{\frac{3}{2}},q;q{)}_n}& =\frac{1}{(-q^{\frac{3}{2}};q{)}_{\mathrm{\infty }}}\end{array}$$
両辺を$1+q^{\frac{1}{2}}$で割って$q\mapsto q^2$とすると,
$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le n}\frac{(-1{)}^n{q}^{2n^2+n}}{(q^2;q^2{)}_n(-q;q^2{)}_{n+1}}& =\frac{1}{(-q;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}}\end{array}$$
を得る.