文献あり

線形代数学の基礎概念の整頓

この記事においては、大学初年次にならうベクトルや行列といった具体的で形式的なものを、線形代数の理論的な枠組みですっきりと記述したものをまとめておきます。

線形代数で扱う’対象’は（体の上の）「線形空間」です。

線形空間

$\normalsize{K}$を体,$(V,+)$をAbel群とする。作用・：$\normalsize{K}$$\times$$\normalsize{V}$$\longrightarrow$$\normalsize{V}$が定まり、次を満たすとき、$\normalsize{V}$を$\normalsize{K}$線形空間という：
$\forall$$a,b \in K,\forall x,y \in V,$
(1)$a(x+y)=ax+ay$
(2)$(ab)x=a(bx) $
(3)$(a+b)x=ax+ay$
(4)$1x=x$

線形空間を扱うときに考える’射’は、線形空間の構造を保つ「線形写像」です。

線形写像

$V,W$を$K$線形空間、$f:V\to W$を写像とする。$f$は次の条件を満たすとき、$K$線形写像または準同形といい、その全体を$\hom (V,W)$と表す：
$\forall$$a\in K,\forall x,y \in V,$
(1)$f(x+y)=f(x)+f(y)$
(2)$f(ax)=af(x)$

同型

可逆すなわち全単射な線形写像$f:V\to W$を同型という。このとき$V,W$は同型であるといい$V\cong W$と表す。

同型な線形空間は、線形空間として同じものと考えられます。

直積と直和

$K$線形空間の族$\{V_ \lambda\}_{\lambda\in\Lambda} $に対し
$ \prod_{{\lambda\in\Lambda}}V_\lambda=\{(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}\,|\forall\lambda \in \Lambda, x_\lambda\in V_\lambda\}$,
$\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}V_\lambda=\{(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}\in\prod_{\lambda\in\Lambda}V_\lambda,|有限個の \lambda \in \Lambdaを除き x_\lambda=0\}$
と定義し、それぞれに自然な線形空間の構造を入れたものをそれぞれ$\{V_ \lambda\}_{\lambda\in\Lambda} $の直積、直和という。とくに、$\forall\lambda \in \Lambda $に対して$ V_\lambda=V$のときは、$\prod_{{\lambda\in\Lambda}}V_\lambda=V^\Lambda$,$ \bigoplus_{\lambda\in\Lambda}V_\lambda=V^{\oplus \Lambda}$と書く。特に、有限集合$\Lambda=\{1,\cdots,n\}$のときは両者は一致し、それを$V^n$と表す。

一般の線形空間と、具体的なベクトルの空間をつなぐのが基底です。

基底

$V$を$K$線形空間とする。$V$の元の族$\{x_ \lambda\}_{\lambda\in\Lambda} $が$V$の基底であるとは、well-definedな線形写像
$\phi: K^{\oplus \Lambda}\to V ; (a_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}\mapsto \sum a_\lambda x_\lambda $
が同型なときにいう。

一次独立、生成系

上の記号のもとで、
（1）$\{x_ \lambda\}_{\lambda\in\Lambda} $は一次独立$\Leftrightarrow$$\phi $は単射
（2）$\{x_ \lambda\}_{\lambda\in\Lambda} $は$V$の生成系$\Leftrightarrow$$\phi $は全射
と定義する。（2）で、特に$\Lambda$が有限集合のとき、$V$は有限生成であるという。

線形空間は「体の上で定義されるために」次の重要な事実があります。

線形代数学の基本定理

$V$を$K$線形空間とする。
1．$V$には基底が存在する。
2．$B,B'$が$V$の基底ならば、その濃度は等しい。

この証明にはZornの補題を用いますが、その形式的な使い方以上に、体の上で定義されていることが次の形で使われることを意識すべきです。

$V \neq 0$を$K$線形空間とすれば、$0\neq x\in V$一点よりなる集合$\{x\}$は一次独立である。

$c\in K, cx=0$とする。$c\neq 0$とすると、$K$は体ゆえ、$c^{-1}$を両辺に乗ずれば$c^{-1}(cx)=(c^{-1}c)x=1x=x=0$となり矛盾。よって$c=0$となり、$\{x\}$は一次独立である。

（定理1.1）

$V = 0$のときは、$ \varnothing $を基底と考えれば良い。$V \neq 0$とする。$\Sigma=\{B\subset V| Bは一次独立\}$とおくと、補題2より$\Sigma\neq \varnothing$.$\Sigma$の任意の昇鎖$\{B_ \lambda\}_{\lambda\in\Lambda} $に対し、$B= \bigcup_{\lambda\in\Lambda} B_\lambda$とおけば、$B\in \Sigma$であり$B$は$\{B_ \lambda\}_{\lambda\in\Lambda} $の上界であることが容易に確かめられ、Zornの補題から極大元$B_0$を得る。これが基底であることを示そう。もし$B_0$の一次結合で書けない元$y\in \Sigma$があるなら、$B_1=B_0\cup \{y\}\in \Sigma$かつ$B_0\subsetneq B_1$となり極大性に反するから、$B_0$は$V$を生成する。

なお、定理1.2の証明はここでは省略しますが、定理1より次の定義がwell-definedです。

次元

$K$線形空間$V$の基底$B$に対し、$B$の濃度を$V$の次元といい、$\dim V$と表す。特に$\dim V \lt \infty$のとき、$V$は有限次元であるという。

次の命題の証明は略しますが、線形空間が次元という不変量一つで完全に分類されるという著しい性質です。

$V,W$を線形空間とする。
1.$V$が有限生成$\Leftrightarrow V$が有限次元.
2.$\dim V=\dim W \Leftrightarrow V\cong W$.

次のことも明記しておきます。

$V$を有限次線形空間とする。
1.$\dim V$は、$V$内の一次独立な集合の元数の最大値である。とくに、次元個の一次独立な元は基底である。
2.$\dim V$は、$V$内の生成系の元数の最小値である。とくに、次元個の生成系は基底である。

代数では、考えている代数系の部分系をよく考えます。

部分空間

線形空間$V$の部分集合$W$が、$V$と同じ演算で線形空間を成すとき、$V$の部分空間という。

生成された部分空間

$V$を$K$線形空間、$S\subset V$を部分集合とするとき、$S$を含む最小の部分空間を$\langle S \rangle$と書き、$S$で生成された部分空間という。$S=\{x_1,\cdots x_n\}$のときは、$\langle S \rangle=\langle x_1,\cdots x_n \rangle$と表す。

1.$\langle S \rangle=\bigcap_{S\subset W, 部分空間}W.$
2.$\langle S \rangle=\{\sum_{有限和}a_is_i |a_i\in K, s_i\in S\}.$
3.$S$は$V$の生成系$\Leftrightarrow V=\langle S \rangle.$

$W\subset V$を部分空間とする。
1.$\dim W \leq \dim V.$
2.$\dim W=\dim V \Leftrightarrow W=V.$
3.$W$の基底を含む$V$の基底が存在する(基底の延長)。
4.ある部分空間$W'$が存在して$V=W\oplus W'.$

上の命題の証明にもZornの補題を使います（詳細略）。
さて、続いて線形写像の本質の一つを、次の形で捉えましょう。

$V,W$を有限次$K$線形空間とし、$\dim V=n, \{x_1,\cdots x_n\}$を$V$の基底とする。このとき、次の写像は全単射である。
$\phi: \hom(V,W)\to W^n\;;f\mapsto (f(x_1),\cdots ,f(x_n)).$

逆写像は
$\psi: W^n\to\hom(V,W), $
$(y_1,\cdots, y_n)\mapsto f:V\to W; \sum a_ix_i\mapsto \sum a_iy_i$
で与えられる（確認は機械的）。

命題6

$e_1,\cdots,e_n$を$K^n$の標準基底とすると、写像
$\phi: \hom(K^n,K^m)\to (K^m)^n\;;f\mapsto (f(e_1),\cdots ,f(e_n)).$
は全単射である。

行列

上の$(K^m)^n $の元を$mn$型行列といい、その全体を改めて$M_{mn}(K) $と表す。

$f\in \hom(K^n,K^m),g\in \hom(K^m,K^l)$と前系で対応する行列をそれぞれ$A\in M_{mn}(K),B\in M_{lm}(K)$とする。
1.$x\in K^n$の像$f(x)\in K^m$を、$A$と$x$の積$Ax$という。
2.合成$g\circ f\in \hom(K^n,K^l)$と前系で対応する行列を、$B$と$A$の積$BA\in M_{ln}(K)$という。

1.$A=(a_1,\cdots,a_n),x= \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$なら、$Ax=a_1x_1+\cdots +a_nx_n.$
2.$A=(a_1,\cdots,a_n) $なら、$BA=(Ba_1,\cdots,Ba_n).$

次に、一般の線形写像も行列と対応させます。

表現行列

$f\in \hom(V,W), \{x_1,\cdots x_n\}\subset V, \{y_1,\cdots y_m\}\subset W$を基底、$\phi: K^n\to V, \psi: K^m\to W$を、その基底で定まる同型とする。下の図式を可換にする行列$A$を、基底$\phi,\psi$に関する$f$の表現行列という。
$$ \begin{CD} K^n @>A>> K^m \\ @V \phi VV @VV \psi V \\ V @>f>> W \end{CD} $$

$f(x_i)=a_{1i}y_1+\cdots +a_{mi}y_m　(a_{ji}\in K)$と書けたとして、$A$を求めよ。

基底の変換行列

$V$を有限次$K$線形空間、$\phi,\phi': K^n\to V$をその二つの基底とする。下の図式を可換にする（正則）行列$P$を、$\phi$から $\phi'$への変換行列という。
$$ \begin{CD} K^n @>P>> K^n \\ @V \phi' VV @VV \phi V \\ V @>id_V >> V \end{CD} $$

基底の変換行列を使うと、基底の取り替えに対して表現行列の変わり方を次のようにして追跡できます。

基底の変換公式

$V,W$を有限次$K$線形空間、$\phi,\phi':K^n\to V,\psi,\psi': K^m\to W$を基底、$\phi,\psi$および$\phi',\psi'$に関する$f$の表現行列をそれぞれ$A,A'$,$\phi$から$\phi'$,$\psi$から$\psi'$への基底の変換行列をそれぞれ$P,Q$とすれば、$A'=Q^{-1}AP.$

以下の図式を見るに、$QA'=AP\;(=\psi^{-1} \circ f \circ \phi').$

この記事では、ベクトルや行列といった、下手をすると形式的な計算で理解した気になってしまうものについて、線形空間や線形写像といったより理論的抽象的な視点からまとめました。とくに、基底というものを通じてベクトルが線形空間の元として、行列が線形写像として自然に現れるものであることを整理しました。なお、内部直和や次元公式、商空間といった基礎的な話題や、双線形形式や自己準同形の標準化理論などのすこし進んだ理論、本稿で省略した証明について詳しくは、教科書［1］に美しく書かれています。本稿が、一度線形代数を学習した方や、現在学習しているが全体像が見えにくいと感じる方の、参考になれば幸いです。