東大数理院試過去問解答例(2016B01)

$N$の生成元を$x$、$G/N$の生成元の$G$への持ち上げのひとつを$a$とおく。このとき問題の条件から$G$はある整数$s,t$について表示$$G=⟨a,x|ax{a}^{-1}=x^s,a^n=x^t⟩$$を持つ群である(ただしこれに加えて$x$の位数は無限であるという条件がついている)。ここで$x^t=a^n=a{x}^t{a}^{-1}=x^{st}$であるから、$a,x$は$$x^{(s-1)t}=1$$を満たしている。ここで$x$の位数は有限ではないから、$s=1$または$t=0$のいずれかが満たされていなければならない。

まず後者が満たされている場合を考える。このとき$1+n\mathbb{Z}\mapsto a$で定義される単射群準同型$G/N\hookrightarrow G$が射影の切断になっていることから、群の同型$$G\simeq N⋊G/N$$が成り立っている。ここで左辺の群構造は群準同型$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\simeq G/N\to \mathrm{Aut}(N)\simeq \{\pm 1\}$がどのように定まっているかで決定される。もし$n$が奇数であれば、このような群準同型は自明なもの以外しかあり得ないので$G\simeq \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$である。一方$n$が偶数であれば生成元を$-1$に送るような準同型が構成できる。

次に前者が満たされている場合を考える。このとき$G$はアーべル群であり、$(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z})/(n,-t)\mathbb{Z}$に同型である。ここで整数$k,\ell$を$-nk+\ell t=d:=\gcd (n,t)$となるようにとる。このとき群同型
$$\begin{array}{rl}\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}& \to \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\\ (\frac{n}{d},\frac{-t}{d})& \mapsto (0,1)\\ (-\ell ,k)& \mapsto (1,0)\end{array}$$
を考えることで$G\simeq \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$であることがわかる。そして実際$$G=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$$$$N=(\frac{n}{d},1+d\mathbb{Z})\mathbb{Z}$$
とすれば、これは所望の条件を満たしている。

以上の議論から$G$の同型類としてあり得るのは、$n$が奇数のときは$G=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$(ここで$d$は$n$の任意の約数)で尽くされていて、$n$が偶数のときは上記の$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$及び非自明な群準同型$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to \mathrm{Aut}(\mathbb{Z})=\{\pm 1\}$から誘導される半直積$\mathbb{Z}⋊\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$で尽くされている。