東大数理院試過去問解答例(2023B06)

659

2023B06

$R^{3}$ の部分空間 $X$ を
$\begin{aligned} X & = S_{1} \cup S_{2} \cup S_{3} \\ S_{1} & = {(x, y, z) \in R^{3} | (x - 2)^{2} + y^{2} + z^{2} = 4} \\ S_{2} & = {(x, y, z) \in R^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4} \\ S_{3} & = {(x, y, z) \in R^{3} | (x + 2)^{2} + y^{2} + z^{2} = 4} \end{aligned}$
で定める。また $X ∖ {(0, 0, 0)}$ を ${\pm 1}$ による作用で同一視した商空間を $Y$ とおく。
(1) 整係数ホモロジー群 $H_{*} (X, Z)$ を求めなさい。また $H_{1} (X, Z)$ の生成元を図ないし式を用いて表せ。
(2)整係数ホモロジー群 $H_{*} (Y, Z)$ を求めなさい。

$S = S_{1} \cup S_{3}$ とおく。このとき
$H_{*} (S, Z) = {\begin{array}{cc} Z & (* = 0) \\ Z^{2} & (* = 2) \\ 0 & (if else) \end{array}$
である。以上からMayer-Vietoris完全列
$\begin{matrix} \dots & \to & 0 & \to \\ 0 & \to & Z^{3} & \to & H_{2} (X, Z) & \to \\ Z^{2} & \to & 0 & \to & H_{1} (X, Z) & \to \\ Z^{2} & \to & Z^{2} & \to & H_{0} (X, Z) & \to & 0 \end{matrix}$
が得られる。以上から
$H_{*} (X, Z) = {\begin{array}{cc} Z & (* = 0, 1) \\ Z^{5} & (* = 2) \\ 0 & (if else) \end{array}$
である。
まず
$\begin{aligned} T & := (S ∖ {(0, 0, 0)}) / {\pm 1} \approx {p t} \\ U & := S^{2} / {\pm 1} = R P^{2} \end{aligned}$
とおく。このとき $T \cap U = S^{1}$ であることを考慮すると、Mayer-Vietoris完全列
$\begin{matrix} \dots & \to & 0 & \to \\ 0 & \to & 0 & \to & H_{2} (Y, Z) & \to \\ Z & \to & Z / 2 Z & \to & H_{1} (Y, Z) & \to \\ Z & \to & Z^{2} & \to & H_{0} (Y, Z) & \to & 0 \end{matrix}$
が得られる。まず $H_{0} (Y, Z) = Z$ である。また $1$ 次から $0$ 次への境界準同型は $0$ である。また $R P^{2}$ 上の閉路で自然な全射 $S^{2} \to R P^{2}$ に関して $S^{2}$ 上の閉路に持ち上がるものは一点にホモトープであるから、 $1$ 次の列の準同型 $Z \to Z / 2 Z$ は $0$ である。以上から
$H_{*} (Y, Z) = {\begin{array}{cc} Z & (* = 0, 2) \\ Z / 2 Z & (* = 1) \\ 0 & (if else) \end{array}$
がわかる。

投稿日：2023年10月30日

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藍色日和

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