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大学数学基礎解説
東大数理院試過去問解答例(2023B06)
557
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$$$$
2023B06
$\mathbb{R}^3$の部分空間$X$を
$$
\begin{split}
X&=S_1\cup S_2\cup S_3\\
S_1&=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|(x-2)^2+y^2+z^2=4\}\\
S_2&=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|x^2+y^2+z^2=4\}\\
S_3&=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|(x+2)^2+y^2+z^2=4\}\\
\end{split}
$$
で定める。また$X\backslash\{(0,0,0)\}$を$\{\pm1\}$による作用で同一視した商空間を$Y$とおく。
(1) 整係数ホモロジー群$H_\ast(X,\mathbb{Z})$を求めなさい。また$H_1(X,\mathbb{Z})$の生成元を図ないし式を用いて表せ。
(2)整係数ホモロジー群$H_\ast(Y,\mathbb{Z})$を求めなさい。
- $S=S_1\cup S_3$とおく。このとき
$$ H_\ast(S,\mathbb{Z})=\left\{\begin{array}{cc} \mathbb{Z}&(\ast=0)\\ \mathbb{Z}^2&(\ast=2)\\ 0&(\textsf{if else}) \end{array}\right. $$
である。以上からMayer-Vietoris完全列
$$ \begin{array} &&&\cdots&\to&0&\to\\ 0&\to&\mathbb{Z}^3&\to &H_2(X,\mathbb{Z})&\to\\ \mathbb{Z}^2&\to &0&\to &H_1(X,\mathbb{Z})&\to\\ \mathbb{Z}^2&\to &\mathbb{Z}^2&\to &H_0(X,\mathbb{Z})&\to& 0 \end{array} $$
が得られる。以上から
$$ {\color{red}H_\ast(X,\mathbb{Z})=\left\{\begin{array}{cc} \mathbb{Z}&(\ast=0,1)\\ \mathbb{Z}^5&(\ast=2)\\ 0&(\textsf{if else}) \end{array}\right.} $$
である。 - まず
$$ \begin{split} T&:=(S\backslash\{(0,0,0)\})/\{\pm1\}\approx\{pt\}\\ U&:=S^2/\{\pm1\}=\mathbb{R}P^2\\ \end{split} $$
とおく。このとき$T\cap U=S^1$であることを考慮すると、Mayer-Vietoris完全列
$$ \begin{array} &&&\cdots&\to&0&\to\\ 0&\to&0&\to &H_2(Y,\mathbb{Z})&\to\\ \mathbb{Z}&\to &\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\to &H_1(Y,\mathbb{Z})&\to\\ \mathbb{Z}&\to &\mathbb{Z}^2&\to &H_0(Y,\mathbb{Z})&\to& 0 \end{array} $$
が得られる。まず$H_0(Y,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$である。また$1$次から$0$次への境界準同型は$0$である。また$\mathbb{R}P^2$上の閉路で自然な全射$S^2\to\mathbb{R}P^2$に関して$S^2$上の閉路に持ち上がるものは一点にホモトープであるから、$1$次の列の準同型$\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$は$0$である。以上から
$$ {\color{red}H_\ast(Y,\mathbb{Z})=\left\{\begin{array}{cc} \mathbb{Z}&(\ast=0,2)\\ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&(\ast=1)\\ 0&(\textsf{if else}) \end{array}\right.} $$
がわかる。
投稿日：2023年10月30日
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