有理関数をリーマン球面上へと拡張しよう！複素解析を使った有理関数の部分分数分解まで

立体射影は次のように計算出来る。
$P(x_1,x_2,x_3),Q(X,Y,0)$とおくと、点$Q$は球面上の点$P$の$(X,Y)$-平面への射影なので、$\overrightarrow{NP}//\overrightarrow{NQ}$である。
よって、ある実数$\lambda \ne 0$が存在し、$(x_1,x_2,x_3-1)=\lambda (X,Y,-1)$となる。これを計算して、$Z,Z^{-1}$の定義を得る。(check!)これらの写像の連続性は、各成分の連続性から従う。よって、$Z$は同相写像である。

定義より、$\hat{Z}$は全単射である。次に、連続写像であることを示す。$U$を$\hat{\mathbb{C}}$内の開集合とする。$U$が$\mathbb{C}$内の開集合なら、$Z$の連続性より、${\hat{Z}}^{-1}(U)=Z^{-1}(U)$は$S^2\setminus \{N\}$の開集合である。$S^2\setminus \{N\}$は$S^2$の開部分空間なので、${\hat{Z}}^{-1}(U)$は$S^2$の開集合でもある。
次に、$\mathrm{\infty }\in U$が、$\mathbb{C}$内のあるコンパクト集合$K\subset \mathbb{C}$の補集合であるとする。$S^2\setminus {\hat{Z}}^{-1}(U)=Z^{-1}(K)$であり、これはコンパクト集合の連続写像$Z^{-1}$による像なのでコンパクトである。よって、これは$S^2$の閉集合であるから、このときも${\hat{Z}}^{-1}(U)$は$S^2$の開集合である。したがって、$Z$は連続である。また、$Z$はコンパクト空間$S^2$からハウスドルフ空間$\hat{\mathbb{C}}$への連続写像なので、閉写像である。以上より、$\hat{Z}$は同相写像である。

証明は簡単なので省略する。(check!)

補題3より、$d(z,w)=\parallel {\hat{Z}}^{-1}(z)-{\hat{Z}}^{-1}(w)\parallel$なので、あとは命題1の${\hat{Z}}^{-1}$の定義に沿って、少し大変だが計算するだけである。${\hat{Z}}^{-1}(\mathrm{\infty })=(0,0,1)$に注意。詳細は省略する。(check!)

簡単なので大体は省略するが、次のことだけ示しておく。
$U\subset \hat{\mathbb{C}}$を、$\mathrm{\infty }\in U,\hat{\mathbb{C}}\setminus U\subset \mathbb{C}$がコンパクトなる開集合とする。$\mathbb{C}\setminus (U\cap \mathbb{C})=\mathbb{C}\setminus (U\setminus \{\mathrm{\infty }\})=\hat{\mathbb{C}}\setminus U\subset \mathbb{C}$はコンパクトなので、$\mathbb{C}$内の閉集合である。よって、$U\cap \mathbb{C}\subset \mathbb{C}$は$\mathbb{C}$内の開集合である。

$z_n\to \mathrm{\infty }\in \hat{\mathbb{C}}⟺d(z_n,\mathrm{\infty })=\frac{2}{\sqrt{|z_n{|}^2+1}}\to 0⟺|z_n|\to +\mathrm{\infty }$

まず、極での連続性を示す。
極$\beta$の$\beta$を除く十分小さな近傍上に$R(z)$を制限してよい。したがって、極の集合を$S$とおくと、任意の$z_n\in \mathbb{C}\setminus S,z_n\to \beta$に対し、$R(z_n)(\in \mathbb{C})\to \mathrm{\infty }$を示せばよい。$z_n\to \beta$のとき、$|R(z_n)|\to +\mathrm{\infty }$であることは明らか(check!)だから、補題6よりこれは成り立つ。
次に、極限$\underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}R(z)$が$\hat{\mathbb{C}}$内に存在することを示す。任意の$z_n\in \mathbb{C}\setminus S,z_n\to \mathrm{\infty }$に対し、$R(z_n)(\in \mathbb{C})$が$\hat{\mathbb{C}}$内で極限を持つことを言えばよい。まず、補題6より$|z_n|\to +\mathrm{\infty }$である。$P(z),Q(z)$の次数をそれぞれ$m,n$とすれば、$R(z)\sim z^{n-m}(|z|\to +\mathrm{\infty })$である(check!)。
これより、$n>m$のとき、$|R(z_n)|\to +\mathrm{\infty }$なので、$R(z_n)\to \mathrm{\infty }$である。$n=m$のとき、$R(z_n)$は$\mathbb{C}\setminus \{0\}$の元に収束する。$n<m$のとき、$|R(z_n)|\to 0$である。よって、いずれの場合も$\hat{\mathbb{C}}$内に収束する。

(1)から(2)は明らかであるから、(2)から(1)を示す。
$\mu \in A,\nu \in B$とする。${\varphi }_{\nu }^{\prime }\circ f\circ {\varphi }_{\mu }^{-1}:{\varphi }_{\mu }(U_{\mu }\cap f^{-1}(U_{\nu }^{\prime }))\to V_{\nu }^{\prime }$が正則関数であることを示す。関数の正則性は局所的な性質である。すなわち、任意の$z\in U_{\mu }\cap f^{-1}(U_{\nu }^{\prime })$に対し、${\varphi }_{\mu }(z)$のある近傍上で${\varphi }_{\nu }^{\prime }\circ f\circ {\varphi }_{\mu }^{-1}$が正則関数であることを示せばよい。そこで、$z$に条件(2)を適用すると、ある$\alpha \in A,\beta \in B$が存在し、$z\in U_{\alpha },f(z)\in U_{\beta }^{\prime }$かつ${\varphi }_{\beta }^{\prime }\circ f\circ {\varphi }_{\alpha }^{-1}:{\varphi }_{\alpha }(U_{\alpha }\cap f^{-1}(U_{\beta }^{\prime }))\to V_{\beta }^{\prime }$は${\varphi }_{\alpha }(z)$のある近傍$O$で正則である。ここで、${\varphi }_{\mu }(z)$の十分小さな近傍$O^{\prime }$が存在して、$O^{\prime }$上で${\varphi }_{\nu }^{\prime }\circ f\circ {\varphi }_{\mu }^{-1}=({\varphi }_{\nu }^{\prime }\circ {\varphi }_{\beta }^{\prime -1})\circ ({\varphi }_{\beta }^{\prime }\circ f\circ {\varphi }_{\alpha }^{-1}){|}_O\circ ({\varphi }_{\alpha }\circ {\varphi }_{\mu }^{-1})$なる合成写像で表せる。$M,M^{\prime }$はリーマン面より、座標変換${\varphi }_{\nu }^{\prime }\circ {\varphi }_{\beta }^{\prime -1},{\varphi }_{\alpha }\circ {\varphi }_{\mu }^{-1}$はそれぞれ正則関数である。よって、${\varphi }_{\nu }^{\prime }\circ f\circ {\varphi }_{\mu }^{-1}$は$O^{\prime }$上で正則関数の合成なので正則である。

補題8による(check!)。

定理7より、$R(z)$は連続関数である。$p\in \hat{\mathbb{C}}$とする。$p$が極でも$\mathrm{\infty }$でもないとき、$p$の近傍で$R(z)$は通常の有理関数として正則である。$p\ne \mathrm{\infty }$が極であるとき、$R(z)$の連続性より、$p$の$\mathbb{C}$内の十分小さな近傍が存在し、$R(z)\ne 0$かつ$1/R(z)$は通常の有理関数となるので正則である。$p=\mathrm{\infty }$であるときを考える。$R(\mathrm{\infty })\ne \mathrm{\infty }$ならば、$R(z)$の連続性より、$0$の十分小さな近傍が存在し、$R(1/z)\ne \mathrm{\infty }$かつ$R(1/z)$は通常の有理関数となるので正則である。$R(\mathrm{\infty })=\mathrm{\infty }$ならば、同じく$R(z)$の連続性より、$0$の十分小さな近傍で、$R(1/z)\ne 0$かつ$1/R(1/z)$は通常の有理関数となるので正則である。以上より、有理関数は$\hat{\mathbb{C}}$上の$\hat{\mathbb{C}}$値正則関数である。

$R(z)$の$p=\mathrm{\infty }$での零点または極の位数を考える。
$R(1/z)=\frac{b_n(1/z{)}^n+\cdots b_1(1/z)+b_0}{a_m(1/z{)}^m+\cdots a_1(1/z)+a_0}=z^{m-n}\frac{b_0{z}^n+b_1{z}^{n-1}+\cdots b_n}{a_0{z}^m+a_1{z}^{m-1}+\cdots a_m}$であるから、$a_m\ne 0,b_n\ne 0$に注意すると、$R(z)$の$\mathrm{\infty }$での位数は、$m>n$ならば$m-n$位の零点であり、$m<n$ならば$n-m$位の極である。
よって、$R(z)$の零点の位数の総和は、$n+\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}m-n(m>n)\\ 0(m\le n)\end{array}\end{array}=max\{m,n\}$となる。
同様に、極の位数の総和も、$m+\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}0(m\ge n)\\ n-m(m<n)\end{array}\end{array}=max\{m,n\}$となる。

• $a=\mathrm{\infty }$のとき、「$R(z)=\mathrm{\infty }$の根の個数」＝「$R(z)$の極の位数の和」＝「$R(z)$の位数」＝$m$となる。
• $a\in \mathbb{C}$のとき、まず「$R(z)=a$の根の個数」＝「$R(z)-a$の零点の位数の和」＝「$R(z)-a$の極の位数の和」である。ここで、$a\in \mathbb{C}$なので、さらに「$R(z)-a$の極の位数の和」＝「$R(z)$の極の位数の和」＝「$R(z)$の位数」＝$m$となる。

前半は定理12から明らか。有理関数の位数は、分母分子の次数のうち大きい方となるので、後半も従う。ただし、定数関数は位数$0$なので、$R(z)$が約分されて定数にならない条件が必要である。そのためには、$a:b\ne c:d⟺ad-bc\ne 0$であればよい。

$\supset$は明らかである(check!)。逆の包含を示す。$z\in {\mathrm{C}\mathrm{l}}_D(S)$とする。$z$が集積点でないとすると、ある$ϵ>0$が存在し、$D\cap D(z,ϵ)\subset (D\setminus S)\cup \{z\}$となる。$z\in {\mathrm{C}\mathrm{l}}_D(S)$より、$w\in D\cap D(z,ϵ)\cap S\ne \varnothing$を取ると、$w\in (D\setminus S)\cup \{z\}$となるので、$w=z$である。よって、$\{z\}=D\cap D(z,ϵ)\cap S$となるので、$z$は孤立点である。

$E=f^{-1}(\mathrm{\infty }),D^{\prime }=D\setminus E$とおく。

$f$が有理型関数とする。$f$が恒等的に$\mathrm{\infty }$とすると、$E=D$となるが、これは$E$が離散集合であることに矛盾する。また、$f$は$D^{\prime }$上正則である。各点$p\in E$に対し、$f$の連続性より、$f$は$p$の十分小さな近傍で連続で、$p$を除いて正則である。よって、正則関数の連続な一点拡張は正則である(check!Cauchyの積分定理とMoreraの定理を使う)から、$f$は$p$の近傍で正則。よって、$f$は$\hat{\mathbb{C}}$値正則である。

次に、$f$が$\hat{\mathbb{C}}$値正則とする。このとき、$f$は$D^{\prime }$上で正則である。よって、$E$が離散集合とすると、$f$は有理型関数である。あとは、$E$が離散集合でないとき、$f$が恒等的に$\mathrm{\infty }$となることを示せばよい。つまり、$E=D$となることを示せばよい。これには、$D$の連結性を使い、$E$が$D$内の空でない開かつ閉集合であることを示せばよい。
任意の$p\in E$に対し、$g(z)=1/f(z)$は、$p$のある近傍上で正則であり、$g(p)=0$である。領域で正則なら無限回微分可能であることを使うと、この$p$の近傍で$g(z)$は無限回微分可能なので、任意の次数の導関数$g^{(n)}(z)$が定義され連続である。特に、$E$の各点$p$で、その$n$階微分係数$g^{(n)}(p)$が定義される。そこで、次の集合を考える：
$E_{\mathrm{\infty }}=\{p\in E|$任意の$n\in \mathbb{N}$に対し$g^{(n)}(p)=0\}$
$E$の代わりに、$E_{\mathrm{\infty }}$が$D$内の空でない開かつ閉集合であることを示しても、$D=E_{\mathrm{\infty }}\subset E$となるので問題ない。

$E_{\mathrm{\infty }}$が$D$内の開集合であること：$p\in E_{\mathrm{\infty }}$とすると、$g(z)=1/f(z)$の$p$を中心としたテイラー展開は、$p$における全ての微分係数が$0$であることから、恒等的に$0$である。よって、このテイラー展開の$p$を中心とする$D$での近傍は、その近傍の各点を中心とたテイラー展開を考えれば、$E_{\mathrm{\infty }}$に含まれることが分かる(check!)ので、$E_{\mathrm{\infty }}$は$D$内の開集合である。

$E_{\mathrm{\infty }}$が$D$内の閉集合であること：まず、$E$内の閉集合であることを示す。$p_j\in E_{\mathrm{\infty }},p_j\to p\in E$とする。任意の$n$に対し、$g^{(n)}(z)$は点$p$の近傍で連続なので、$g^{(n)}(p)=\underset{j\to \mathrm{\infty }}{lim}{g}^{(n)}(p_j)=\underset{j\to \mathrm{\infty }}{lim}0=0$となる。よって、$p\in E_{\mathrm{\infty }}$であるから、$E_{\mathrm{\infty }}$は$E$内の閉集合である。さらに、$E=f^{-1}(\mathrm{\infty })$は$D$内の閉集合でもあるので、$E_{\mathrm{\infty }}$は$D$内の閉集合である。

$E_{\mathrm{\infty }}$が空でないこと：$E$は離散集合でないので、$D$に集積点を持つ。それを$z^{\prime }\in D$とする。$E$は$D$内の閉集合なので、$z^{\prime }\in E$である。よって、$z^{\prime }$の$D$でのある近傍$U=D\cap D(z^{\prime },r)$で、$g(z)=1/f(z)$が定義され、正則である。すると、$E\cap U=E\cap D(z^{\prime }.r)$上で、$g\equiv 0$であり、$E\cap U$は$U$内の集積点$z^{\prime }$を持つので、一致の定理より、$U$全体で$g\equiv 0$である。特に、テイラー展開を考えれば、$z^{\prime }\in U\subset E_{\mathrm{\infty }}$が分かるので、$E_{\mathrm{\infty }}\ne \varnothing$である。

以上より、$D$の連結性から、$D=E_{\mathrm{\infty }}\subset E$である。すなわち、$D=E$である。