有理関数をリーマン球面上へと拡張しよう！複素解析を使った有理関数の部分分数分解まで

立体射影は次のように計算出来る。
$P(x_1,x_2,x_3),Q(X,Y,0)$とおくと、点$Q$は球面上の点$P$の$(X,Y)$-平面への射影なので、$\overrightarrow{NP}/\!/\overrightarrow{NQ}$である。
よって、ある実数$\lambda\neq0$が存在し、$(x_1,x_2,x_3-1)=\lambda(X,Y,-1)$となる。これを計算して、$Z,Z^{-1}$の定義を得る。(check!)これらの写像の連続性は、各成分の連続性から従う。よって、$Z$は同相写像である。

定義より、$\widehat{Z}$は全単射である。次に、連続写像であることを示す。$U$を$\widehat{\mathbb{C}}$内の開集合とする。$U$が$\mathbb{C}$内の開集合なら、$Z$の連続性より、$\widehat{Z}^{-1}(U)=Z^{-1}(U)$は$S^2\setminus{\lbrace N \rbrace}$の開集合である。$S^2\setminus{\lbrace N \rbrace}$は$S^2$の開部分空間なので、$\widehat{Z}^{-1}(U)$は$S^2$の開集合でもある。
次に、$\infty\in{U}$が、$\mathbb{C}$内のあるコンパクト集合$K\subset{\mathbb{C}}$の補集合であるとする。$S^2\setminus{\widehat{Z}^{-1}(U)}=Z^{-1}(K)$であり、これはコンパクト集合の連続写像$Z^{-1}$による像なのでコンパクトである。よって、これは$S^2$の閉集合であるから、このときも$\widehat{Z}^{-1}(U)$は$S^2$の開集合である。したがって、$Z$は連続である。また、$Z$はコンパクト空間$S^2$からハウスドルフ空間$\widehat{\mathbb{C}}$への連続写像なので、閉写像である。以上より、$\widehat{Z}$は同相写像である。

証明は簡単なので省略する。(check!)

補題3より、$d(z,w)=\parallel\widehat{Z}^{-1}(z)-\widehat{Z}^{-1}(w)\parallel$なので、あとは命題1の$\widehat{Z}^{-1}$の定義に沿って、少し大変だが計算するだけである。$\widehat{Z}^{-1}(\infty)=(0,0,1)$に注意。詳細は省略する。(check!)

簡単なので大体は省略するが、次のことだけ示しておく。
$U\subset{\riemann}$を、$\infty\in{U},\riemann\setminus{U}\subset{\mathbb{C}}$がコンパクトなる開集合とする。$\mathbb{C}\setminus(U\cap{\mathbb{C}})=\mathbb{C}\setminus(U\setminus\lbrace \infty \rbrace)=\riemann\setminus{U}\subset{\mathbb{C}}$はコンパクトなので、$\mathbb{C}$内の閉集合である。よって、$U\cap\mathbb{C}\subset\mathbb{C}$は$\mathbb{C}$内の開集合である。

$z_n\rightarrow{\infty}\in{\riemann}\Longleftrightarrow{d(z_n,\infty)=\frac{2}{\sqrt{|z_n|^2+1}}\rightarrow{0}}\Longleftrightarrow{|z_n|\rightarrow{+\infty}}$

まず、極での連続性を示す。
極$\beta$の$\beta$を除く十分小さな近傍上に$R(z)$を制限してよい。したがって、極の集合を$S$とおくと、任意の$z_n\in{\complex\setminus{S}},z_n\rightarrow\beta$に対し、$R(z_n)(\in{\complex})\rightarrow\infty$を示せばよい。$z_n\rightarrow\beta$のとき、$|R(z_n)|\rightarrow+\infty$であることは明らか(check!)だから、補題6よりこれは成り立つ。
次に、極限$\lim_{z\to\infty}R(z)$が$\riemann$内に存在することを示す。任意の$z_n\in{\complex\setminus{S}},z_n\rightarrow\infty$に対し、$R(z_n)(\in{\complex})$が$\riemann$内で極限を持つことを言えばよい。まず、補題6より$|z_n|\rightarrow+\infty$である。$P(z),Q(z)$の次数をそれぞれ$m,n$とすれば、$R(z)\sim{z^{n-m}}(|z|\rightarrow +\infty)$である(check!)。
これより、$n\gt{m}$のとき、$|R(z_n)|\rightarrow+\infty$なので、$R(z_n)\rightarrow\infty$である。$n=m$のとき、$R(z_n)$は$\complex\setminus\lbrace {0} \rbrace$の元に収束する。$n\lt{m}$のとき、$|R(z_n)|\rightarrow{0}$である。よって、いずれの場合も$\riemann$内に収束する。

(1)から(2)は明らかであるから、(2)から(1)を示す。
$\mu\in{A},\nu\in{B}$とする。$\phi_\nu' \circ f \circ \phi_\mu^{-1}:\phi_\mu(U_\mu\cap f^{-1}(U_\nu'))\rightarrow V_\nu'$が正則関数であることを示す。関数の正則性は局所的な性質である。すなわち、任意の$z\in{U_\mu\cap f^{-1}(U_\nu')}$に対し、$\phi_\mu(z)$のある近傍上で$\phi_\nu' \circ f \circ \phi_\mu^{-1}$が正則関数であることを示せばよい。そこで、$z$に条件(2)を適用すると、ある$\alpha\in{A},\beta\in{B}$が存在し、$z\in{U_\alpha},f(z)\in{U_\beta'}$かつ$\phi_\beta' \circ f \circ \phi_\alpha^{-1}:\phi_\alpha(U_\alpha\cap f^{-1}(U_\beta'))\rightarrow V_\beta'$は$\phi_\alpha(z)$のある近傍$O$で正則である。ここで、$\phi_\mu(z)$の十分小さな近傍$O'$が存在して、$O'$上で$\phi_\nu' \circ f \circ \phi_\mu^{-1}=(\phi_\nu' \circ \phi_\beta'^{-1})\circ (\phi_\beta' \circ f \circ \phi_\alpha^{-1})|_O \circ (\phi_\alpha\circ\phi_\mu^{-1})$なる合成写像で表せる。$M,M'$はリーマン面より、座標変換$\phi_\nu' \circ \phi_\beta'^{-1},\phi_\alpha \circ \phi_\mu^{-1}$はそれぞれ正則関数である。よって、$\phi_\nu' \circ f \circ \phi_\mu^{-1}$は$O'$上で正則関数の合成なので正則である。

補題8による(check!)。

定理7より、$R(z)$は連続関数である。$p\in{\riemann}$とする。$p$が極でも$\infty$でもないとき、$p$の近傍で$R(z)$は通常の有理関数として正則である。$p\neq\infty$が極であるとき、$R(z)$の連続性より、$p$の$\complex$内の十分小さな近傍が存在し、$R(z)\neq{0}$かつ$1/R(z)$は通常の有理関数となるので正則である。$p=\infty$であるときを考える。$R(\infty)\neq\infty$ならば、$R(z)$の連続性より、$0$の十分小さな近傍が存在し、$R(1/z)\neq\infty$かつ$R(1/z)$は通常の有理関数となるので正則である。$R(\infty)=\infty$ならば、同じく$R(z)$の連続性より、$0$の十分小さな近傍で、$R(1/z)\neq{0}$かつ$1/R(1/z)$は通常の有理関数となるので正則である。以上より、有理関数は$\riemann$上の$\riemann$値正則関数である。

$R(z)$の$p=\infty$での零点または極の位数を考える。
$R(1/z)=\frac{b_n(1/z)^n+\cdots b_1(1/z)+b_0}{a_m(1/z)^m+\cdots a_1(1/z)+a_0}=z^{m-n}\frac{b_0z^n+b_1z^{n-1}+\cdots b_n}{a_0z^m+a_1z^{m-1}+\cdots a_m}$であるから、$a_m\neq{0},b_n\neq{0}$に注意すると、$R(z)$の$\infty$での位数は、$m\gt{n}$ならば$m-n$位の零点であり、$m\lt{n}$ならば$n-m$位の極である。
よって、$R(z)$の零点の位数の総和は、$n+\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} m-n \space\space(m\gt{n}) \\ 0 \quad\quad\space\space\space(m\leq{n}) \end{array} \right. \end{eqnarray} =\max {\lbrace m,n \rbrace}$となる。
同様に、極の位数の総和も、$m+\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 0 \quad\quad\space\space\space(m\geq{n}) \\ n-m \space\space(m\lt{n}) \end{array} \right. \end{eqnarray} =\max {\lbrace m,n \rbrace}$となる。

• $a=\infty$のとき、「$R(z)=\infty$の根の個数」＝「$R(z)$の極の位数の和」＝「$R(z)$の位数」＝$m$となる。
• $a\in\complex$のとき、まず「$R(z)=a$の根の個数」＝「$R(z)-a$の零点の位数の和」＝「$R(z)-a$の極の位数の和」である。ここで、$a\in\complex$なので、さらに「$R(z)-a$の極の位数の和」＝「$R(z)$の極の位数の和」＝「$R(z)$の位数」＝$m$となる。

前半は定理12から明らか。有理関数の位数は、分母分子の次数のうち大きい方となるので、後半も従う。ただし、定数関数は位数$0$なので、$R(z)$が約分されて定数にならない条件が必要である。そのためには、$a:b\neq c:d\Longleftrightarrow ad-bc\neq 0$であればよい。

$\supset$は明らかである(check!)。逆の包含を示す。$z\in{{\rm{Cl}}_D(S)}$とする。$z$が集積点でないとすると、ある$\epsilon\gt{0}$が存在し、$D\cap D(z,\epsilon)\subset{(D\setminus{S})\cup \lbrace {z} \rbrace}$となる。$z\in{{\rm{Cl}}_D(S)}$より、$w\in D\cap D(z,\epsilon)\cap S\neq \varnothing$を取ると、$w\in (D\setminus{S})\cup \lbrace {z} \rbrace$となるので、$w=z$である。よって、$\lbrace z \rbrace=D\cap D(z,\epsilon)\cap S$となるので、$z$は孤立点である。

$E=f^{-1}(\infty),D'=D\setminus{E}$とおく。

$f$が有理型関数とする。$f$が恒等的に$\infty$とすると、$E=D$となるが、これは$E$が離散集合であることに矛盾する。また、$f$は$D'$上正則である。各点$p\in{E}$に対し、$f$の連続性より、$f$は$p$の十分小さな近傍で連続で、$p$を除いて正則である。よって、正則関数の連続な一点拡張は正則である(check!Cauchyの積分定理とMoreraの定理を使う)から、$f$は$p$の近傍で正則。よって、$f$は$\riemann$値正則である。

次に、$f$が$\riemann$値正則とする。このとき、$f$は$D'$上で正則である。よって、$E$が離散集合とすると、$f$は有理型関数である。あとは、$E$が離散集合でないとき、$f$が恒等的に$\infty$となることを示せばよい。つまり、$E=D$となることを示せばよい。これには、$D$の連結性を使い、$E$が$D$内の空でない開かつ閉集合であることを示せばよい。
任意の$p\in{E}$に対し、$g(z)=1/f(z)$は、$p$のある近傍上で正則であり、$g(p)=0$である。領域で正則なら無限回微分可能であることを使うと、この$p$の近傍で$g(z)$は無限回微分可能なので、任意の次数の導関数$g^{(n)}(z)$が定義され連続である。特に、$E$の各点$p$で、その$n$階微分係数$g^{(n)}(p)$が定義される。そこで、次の集合を考える：
$E_{\infty}=\lbrace p\in{E}|\space $任意の$n\in{\mathbb{N}}$に対し$g^{(n)}(p)=0 \rbrace$
$E$の代わりに、$E_{\infty}$が$D$内の空でない開かつ閉集合であることを示しても、$D=E_{\infty}\subset{E}$となるので問題ない。

$E_{\infty}$が$D$内の開集合であること：$p\in{E_{\infty}}$とすると、$g(z)=1/f(z)$の$p$を中心としたテイラー展開は、$p$における全ての微分係数が$0$であることから、恒等的に$0$である。よって、このテイラー展開の$p$を中心とする$D$での近傍は、その近傍の各点を中心とたテイラー展開を考えれば、$E_{\infty}$に含まれることが分かる(check!)ので、$E_{\infty}$は$D$内の開集合である。

$E_{\infty}$が$D$内の閉集合であること：まず、$E$内の閉集合であることを示す。$p_j\in{E_{\infty}},p_j\rightarrow p\in{E}$とする。任意の$n$に対し、$g^{(n)}(z)$は点$p$の近傍で連続なので、$g^{(n)}(p)=\lim_{j\to \infty} g^{(n)}(p_j)=\lim_{j\to \infty} 0=0$となる。よって、$p\in{E_{\infty}}$であるから、$E_{\infty}$は$E$内の閉集合である。さらに、$E=f^{-1}(\infty)$は$D$内の閉集合でもあるので、$E_{\infty}$は$D$内の閉集合である。

$E_{\infty}$が空でないこと：$E$は離散集合でないので、$D$に集積点を持つ。それを$z'\in{D}$とする。$E$は$D$内の閉集合なので、$z'\in{E}$である。よって、$z'$の$D$でのある近傍$U=D\cap D(z',r)$で、$g(z)=1/f(z)$が定義され、正則である。すると、$E\cap U=E\cap D(z'.r)$上で、$g\equiv 0$であり、$E\cap U$は$U$内の集積点$z'$を持つので、一致の定理より、$U$全体で$g\equiv 0$である。特に、テイラー展開を考えれば、$z'\in{U}\subset E_{\infty}$が分かるので、$E_{\infty}\neq \varnothing$である。

以上より、$D$の連結性から、$D=E_{\infty}\subset {E}$である。すなわち、$D=E$である。

$\riemann$上の有理関数が有理型関数であることは、今までの示してきたことから既に明らかである(check!)。

$f:\riemann\rightarrow\riemann$が有理型関数であるとする。$E=f^{-1}(\infty)$は、コンパクト空間$\riemann$内の閉集合なので、コンパクトである。よって、コンパクトな離散集合は有限集合である(check!)から、$E$は有限集合である。そこで、$f$の$\riemann$上の極を$p_1,\cdots p_n$とおく。

$p_j\in{\complex}$のとき：$f(z)$の極$z=p_j$での主要部を、$P_j(z)$とおく。

$p_j=\infty$のとき：$g(z)=f(1/z)$の極$z=0$での主要部を、$Q(z)=\frac{a_{j,1}}{z^{m_j}}+\cdots +\frac{a_{j,m_j}}{z}$とおき、$P_j(z)=Q(1/z)=a_{j,1}z^{m_j}+\cdots +a_{j,m_j}z$を$f(z)$の$z=\infty$での主要部と定義する。

$F(z)=f(z)-\sum_{j=1}^{n}P_j(z)$とおくと、$F(z)$は$\riemann$上の（$\complex$値）正則関数であることを示す。$F(z)$は$\riemann\setminus{E}$では正則であるから、$f(z)$の各極の近傍での正則性が問題となる。

$p_j\in{\complex}$のとき：$p_j$の近傍で、$P_k(z),k\neq j$は正則かつ$f(z)-P_j(z)$も正則である。

$p_j=\infty$のとき：まず、$k\neq j$に対しては、$|P_k(z)|\rightarrow 0 (|z|\rightarrow +\infty)$であるから、$P_k(z)\rightarrow 0 (z\rightarrow\infty)$である。
$f(z)-P_j(z)=g(1/z)-Q(1/z)$を考えると、$\lim_{z\to 0}(g(z)-Q(z))$が$\complex$内に収束することから、$\lim_{z\to \infty}(g(1/z)-Q(1/z))$もその値に収束する。
よって、このときは$\lim_{z\to \infty}F(z)$が$\complex$内に収束する。

以上より、$F(z)$は$\complex$上正則で、$\infty$の近傍で$\complex$値連続関数なので、正則関数の連続な一点拡張は正則関数であることから、$F(z)$は$\riemann$上の（$\complex$値）正則関数である。

ここで、$\riemann$はコンパクトであるから、コンパクトの連続像はコンパクトより、$|F(z)|$は有界である。特に、$F(z)$は$\complex$上で有界な$\complex$値正則関数なので、リュービルの定理より、$F(z)$は$\complex$上で定数関数である。よって、$F(z)$の連続性から、$F(z)$は$\riemann$上で定数である。これを$c\in{\complex}$とすると、$c=f(z)-\sum_{j=1}^{n}P_j(z)$であるから、$\riemann$上で$f(z)=\sum_{j=1}^{n}P_j(z)+c$となる。これは、有理関数である。

$f(z)$の極は、$z=i,-i,\infty$が一位の極、$z=1$が二位の極である。

$z=i,-i$での$f(z)$の主要部は、留数の公式を直接用いてやれば、それぞれ$\frac{i}{4}\frac{1}{z-i},-\frac{i}{4}\frac{1}{z+i}$となる(check!)。

$z=\infty$での主要部を求める。$f(1/z)=1/[z(1-z)^2(1+z^2)]$の$z=0$での主要部を求めればよい。これは、$1/[(1-z)^2(1+z^2)]=(1+2z+[z^2])(1+[z^2])=1+2z+[z^2]$より、$1/z$である。よって、求める主要部は$z$である。

$z=1$での主要部を求める。$z^5=1+5(z-1)+[(z-1)^2],z^2+1=2+2(z-1)+[(z-1)^2]$より、
$\frac{1}{z^2+1}=\frac{1}{2}\frac{2}{z^2+1}=\frac{1}{2}[1+(z-1)+[(z-1)^2]]^{-1}=\frac{1}{2}[1-(z-1)+[(z-1)^2]]=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}(z-1)+[(z-1)^2]$であるから、$\frac{z^5}{z^2+1}=\frac{1}{2}+2(z-1)+[(z-1)^2]$となる。よって、求める主要部は、$\frac{1}{2}\frac{1}{(z-1)^2}+\frac{2}{z-1}$である。

以上より、$F(z)=f(z)-[\frac{1}{2}\frac{1}{(z-1)^2}+\frac{2}{z-1}+\frac{i}{4}\frac{1}{z-i}-\frac{i}{4}\frac{1}{z+i}+z]$とおくと、定理15の証明と同様に、$F(z)$は$\riemann$上で定数である。$z=0$を代入して計算すると、$F(0)=2$となるので、$F(z)\equiv 2$である。
したがって、求める$f(z)$の部分分数分解は、次のようになる：
$f(z)=2+z+\frac{1}{2}\frac{1}{(z-1)^2}+\frac{2}{z-1}+\frac{i}{4}\frac{1}{z-i}-\frac{i}{4}\frac{1}{z+i}$
実数の範囲では、$\frac{i}{4}\frac{1}{z-i}-\frac{i}{4}\frac{1}{z+i}=-\frac{1}{2}\frac{1}{z^2+1}$として、$z$を実数に制限してやれば次を得る：
$x^5/[(x-1)^2(x^2+1)]=2+x+\frac{1}{2}\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{2}{x-1}-\frac{1}{2}\frac{1}{x^2+1}$