線形空間の射

線形空間の射

問題

$V,W$を線型空間とする時、$Hom(V,W)$が「自然に」線型空間になることを示せ。

たまねぎくんの解説

射とは？

代数的構造の1つ、というかほぼ全ての代数的構造を代表するもので、写像から肝心の対象となる「像」つまり対象を必ずしも必要としないように一般化したものです。

解法

2次元の線形空間
$(x, y)$に対して、直交する$z$というベクトルを用意して
「全ての$z$の値に対して、1つ1つ線形空間$(x, y)$を用意し、その3つの値の組$(x, y, z)$を新たな空間と見なす」
すると、それが3次元空間になる訳です。
これは次元が増えても同じです。
だから、帰納法か何かで証明できます。

発展

1次元だと、
「1次元でも代数的構造だとすると代数的構造だが、1次元の線形空間をただの数の集合だと見ると、ただの数なので代数的構造ではない」
ことになります。
それを新しい次元を付け加える度に無限個用意すると次元が増えていきますし、全ての多様体は点の集合だということになります。

位相と射

全ての射が位相と同じ代数的構造を持っていて、射であることと、位相空間であることは同値です。
ホモロジーはトポロジーだということです。

ポアンカレ予想

当然1次元に$N$次元多様体を写したり1次元で表したりできます。つまり自明です。
「無限個の点の無限集合を無限個用意する」
という操作が、人間には難しすぎたせいで、基本的な多様体の性質（とベクトル空間の性質）を人類が見落としていた、ということです。

トーラスは？

トーラスが球と同相でないという公理を置けば異なるものになります。