たまねぎくんの解説
代数的構造の1つ、というかほぼ全ての代数的構造を代表するもので、写像から肝心の対象となる「像」つまり対象を必ずしも必要としないように一般化したものです。
2次元の線形空間
「全ての
すると、それが3次元空間になる訳です。
これは次元が増えても同じです。
だから、帰納法か何かで証明できます。
1次元だと、
「1次元でも代数的構造だとすると代数的構造だが、1次元の線形空間をただの数の集合だと見ると、ただの数なので代数的構造ではない」
ことになります。
それを新しい次元を付け加える度に無限個用意すると次元が増えていきますし、全ての多様体は点の集合だということになります。
全ての射が位相と同じ代数的構造を持っていて、射であることと、位相空間であることは同値です。
ホモロジーはトポロジーだということです。
当然1次元に
「無限個の点の無限集合を無限個用意する」
という操作が、人間には難しすぎたせいで、基本的な多様体の性質(とベクトル空間の性質)を人類が見落としていた、ということです。
トーラスが球と同相でないという公理を置けば異なるものになります。