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ラングランズ予想の正確なステートメントを知る

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はじめに

この記事では「よくラングランズ予想(ラングランズ対応,ラングランズ・プログラム)という言葉を耳にするけれど正確な主張をみんな誤魔化してばかりで誰も教えてくれない!」という人のためにラングランズ予想の正確な主張を呈示するための記事になっています.ただ,それだけの記事です.解説などは筆者の力量を完全に超えていますので到底できません(それを期待されて開かれた方にはごめんなさい).元々筆者の調べ物学習のまとめの意味でとりあえず書いているということをご了承の上読み勧めてください.

ちなみにラングランズ予想は類体論の一般化なのですがそれについて知らない方は先日書いたこちらの記事の最後に少し繋がり書いたのでもしよければどうぞ.

https://period-mathematics.hatenablog.com/entry/2023/04/07/210234

以下でよく引用する主な参考文献:

[三枝] GL(n)の局所ラングランズ対応

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~mieda/pdf/GL_n-LLC.pdf

[吉田1] 保型表現とGalois表現

http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/Yoshida_SummerSchool-1.pdf

[吉田2] GLn の大域・局所 Langlands対応

http://www.mathsoc.jp/assets/file/sections/algebra/algsympo/algsymp05/YoshidaTeruyoshi.pdf

[伊藤] 局所 Langlands 対応の幾何的構成

https://padicgrprep.files.wordpress.com/2018/10/e4bc8ae897a4-e5b180e68980-langlands-e5afbee5bf9ce381aee5b9bee4bd95e79a84e6a78be68890.pdf

ラングランズ予想

まず通常,モジュラー形式と言ったらΓ=SL2(Z)(の合同部分群)に対してある種の対称性(保型性とか(弱)モジュラー性などと呼ばれる)を満たす上半平面h上の複素正則関数のことを指すのはよく知られたことだろう.

対してラングランズ予想で使われる「保型形式」というものは簡単にはよくΓをより一般の群(実際には簡約代数群というクラスの群)に一般化したモジュラー形式のことだ,というように説明される.しかし実際にその正確な定義を目の当たりにするとそれはもはやモジュラー形式のそれとは見かけが大きく異なっており初めてみたとき困惑を隠せない人が大半なのではないかと思う.例えば筆者はラングランズ予想に出てくる保型形式というものはモジュラー形式の別名だと最初勘違いしていたので保型形式の定義からこうも壁が立ちはだかるのは大変困ったりしたものである.

ひとまず次に保型形式の定義を設けるが詳細は[三枝, 1.38]に譲ることにする.

大域ラングランズ予想

Fを大域体とする.

保型形式

FのアデールAFを係数環に持つn次一般線形群上の複素数値関数φ:GLn(AF)CGLn(AF)上の保型形式であるとは「保型性」,「K有限性」,「Z有限性」,「緩増加性」の4条件を満たすときを言う([三枝, 1.38]).

指標ωをヘッケ指標とし,φが更にωにまつわる対称性を満たすときφωを中心指標とする保型形式という.

ωを中心指標とする保型形式全体の集合をAω(GLn(AF))とかく.これは(無限次元)Cベクトル空間をなす.

GLn(AF)上の保型形式が「カスプ条件」を満たすときGLn(AF)上のカスプ形式という.カスプ形式がωを中心指標とする保型形式のときωを中心指標とするカスプ形式という.

ωを中心指標とするカスプ形式全体の集合をAω0(GLn(AF))とかく.これも(無限次元)Cベクトル空間をなす.

L2空間による表示Lω2(GLn(F)GLn(AF))で定義する場合もある.

これが古典的なモジュラー形式としっかり関連していることが期待されるがそれについては([三枝, 1.4.3])を見てもらうことにしよう.

さて,保型形式が定義出来ると保型表現はあっけなく定義できてしまう:

保型表現

(無限次元)Cベクトル空間Aω(GLn(AF))にはFのアデールAF上の一般線形群GLn(AF)が右移動で作用する.即ちϕAω(GLn(AF))に対し(Φ(g)(ϕ))(x):=ϕ(xg)によって作用Φが定まる.これは線形な群作用であるから群の表現Φ:GLn(AF)GL(Aω(GLn(AF)))と見れる.このΦの部分商をn次元の保型表現といい,よく記号Πまたはπを使う.

同様にカスプ形式の空間Aω0(GLn(AF))に右作用で定まるGLn(AF)の表現の部分商をn次元のカスプ表現という.

[n次元大域ラングランズ予想[三枝, 予想3.9.]]

nを正整数とする.素数と体同型ι:Q¯Cを固定するごとに全単射

{Π:GLn(AF)GL(V/W)|WVAω(GLn(AF))は部分表現,Πは「代数的」}/{R:Gal(F¯/F)GLn(Q¯)|Rは半単純で「代数的」}/;ΠR,ι(Π)

が存在する(/は同型類の集合であることを表す).

またΠがカスプ表現のときR,ι(Π)は既約表現([吉田1, 予想4.7.]でのステートメントではこの場合しか扱っていない).

(ここで「代数的」というのは一般用語っぽく聞こえるがれっきとした専門用語であり,Πが「代数的」とは,ほとんどすべての素点でRは不分岐, ある素点λRは「ド・ラーム(de Rham)」(「潜在的半安定(potentially semistable)」)という二条件を満たすこと,Rが「代数的」とは「等圧的」, 「F代数的」という二条件を満たすこと([三枝])という定義である.とりあえずこの記事では深入りしない方が良い気がする.気になる読者は参考文献を見てもらうことにする.)

とにかく基礎体Fの情報であるGLn(AF)の(良い)表現からFの代数拡大体の情報に繋げることが出来るのは類体論のとき同様に凄いところである.

予想の主な進展状況は

F=(大域関数体)のときラフォルグが解決(2002, これによりフィールズ賞受賞)

だけで代数体の場合はn2では残念ながら未解決とのことである(n=1は大域類体論そのもの).

局所ラングランズ予想

こちらはガロア群をちょっと修正しなければならず複雜である.

以下Fを局所体としその剰余(体の)標数をpとする.

絶対ガロア群Gal(F¯/F)の部分群でヴェイユ群WF([三枝, 定義2.1])という概念をまず定めなければならない.これは稠密部分群であることが知られている.

(もとより局所類体論自体,ヴェイユ群を用いて定式化し直したほうが表現の対応が綺麗になり局所ラングランズ予想に向かうには良いようだ.)

[n次元局所ラングランズ予想[吉田1, 定理4.5.],[三枝, 定理3.1.]]

nを正整数とする.素数pと体同型ι:Q¯Cを固定するごとに全単射

{π:GLn(F)GL(V)|VCベクトル空間,πは既約で「スムーズ」}/{r:WFGLn(Q¯)|rは「フロベニウス半単純」}/;πrecF(π)

が存在する(/は同型類の集合であることを表す).

・「πは既約で「スムーズ」」が「πは既約で「許容的」」となっているケースもある.しかし「既約で「スムーズ」「許容的」」が知られており(吉田敬之『保型形式論』,定理3.8.),また(定義から)「許容的」「スムーズ」なので両者は同値である.

rはヴェイユ・ドリーニュ表現でないといけないという説明があることがあるがグロタンディークのモノドロミー定理というものによって実はそれはいらないことが知られている.

こちらは今や定理であるがF=R,Cの場合はラングランズ自身によって示されており,非アルキメデスの場合はハリス・テイラーが解決した(2001).

一般化されたラングランズ予想

上では一般線形群G=GLnという(代数)群のAF有理点を取ったりF有理点を取ったりしました.大抵入門で解説される定式化は上のものなのですが実はラングランズ 対応は(G=GLnの場合で十分複雜・高度・難解なのにも関わらず)Gをもっと一般の(代数)群に拡張してAF有理点を取ったりF有理点を取ったりしたバージョンを考えてみようという試みが結構昔からあります.それを本稿では"一般化されたラングランズ予想"と呼んでみましたが専門家の間ではこの場合も含めて単にラングランズ予想と呼んでいるようです.以下これについてまず局所ラングランズ予想から述べてみたいと思います.

以下Fを局所体,Gを簡約代数群とする.

(簡約代数群の例としてGLn,SLn,On,SOn,Spnや代数トーラスGmがあります)

[([伊藤, p.3])]

Gに対し双対群G^と呼ばれる群が定まる.これはヴェイユ群WFに作用しており従って半直積LG:=G^WFが定まる.これをGL(,ラングランズ双対群)という.またLF:=WF×SL2(C)局所ラングランズ群([三枝]ではヴェイユ・ドリーニュ群)という.

Lパラメーター(,ラングランズパラメーター)とは連続群準同型ϕ:LFLGでしかるべき条件を満たすものを言う.Φ(G)LパラメーターのG^共役類全体の集合を表す.

GLn(F)Lパラメーターはヴェイユ・ドリーニュ表現の言い換えになっている([三枝, 命題2.15.])ことが知られており,従って次の主張は上の局所ラングランズ予想をちゃんと含んでいることが確認できる:

[一般化された局所ラングランズ予想([伊藤,予想2.1.])]

Π(G(F))G(F)の既約スムーズ表現の同型類全体の集合とする.全射

LLCG:Π(G(F))Φ(G)

が存在する.ここでϕΦ(G)の逆像Π(ϕ):=LLCG1(ϕ)ϕLパケットという.ここで各Lパケットは有限集合であり,直和分解

Π(G(F))=ϕΦ(G)Π(ϕ)

がある.

ここで注目すべきことは主張が「全単射」ではなく「全射」なことです.G=GLnのときは各Lパケットは一点集合になって全単射になるのですが一般の簡約代数群に対してはどうやらそうではないようです.

でもこれで終わりではなく,内視論(endoscopy)というLパケットを調べる理論があり,それを使って上の主張をより精密化する動きがあるようです.全単射の綺麗な主張が得られているのかどうかなど,この辺になってくると調査が及んでいません.[伊藤, p.4~]にこのあたりのことが書いてあります.

次に一般化された大域ラングランズ予想についてですがこれについては調べてもちょっと何がどこまでわかっているのかはっきりとわかりませんでした.分かり次第追記します.

投稿日:202352
更新日:2024523
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