平方剰余記号の小さな問題

問題:$p=4n+1$型の素数について,$-n$から順に$2,4,6,\dots$を加えて行った数は$p$で割れるか$p$の平方剰余であることを示せ.また$p$の平方剰余はこの列ですべて尽くされることを示せ.

例:$p=13=4\cdot 3+1$とする.
$-3$
$-3+2=-1$
$-1+4=3$
$3+6=9$
$9+8\equiv 4(\mathrm{mod}13)$
$4+10\equiv 1(\mathrm{mod}13)$
$1+12\equiv 0(\mathrm{mod}13)$
から得られる数列$-3,-1,3,9,4,1$で$13$の平方剰余は尽くされている.最後は$13$で割り切れる.

ヒント:$-n+k^2+k$に$4$を掛けて$p$の剰余を考える.