平方剰余記号の小さな問題

問題:$ p = 4n + 1 $型の素数について,$-n$から順に$2,4,6,\ldots$を加えて行った数は$p$で割れるか$p$の平方剰余であることを示せ.また$p$の平方剰余はこの列ですべて尽くされることを示せ.

例:$p = 13 = 4 \cdot 3 + 1$とする.
$-3$
$ -3 + 2= -1$
$ -1 + 4 = 3$
$ 3 + 6 = 9$
$ 9 + 8 \equiv 4 \pmod{13}$
$4 + 10 \equiv 1 \pmod{13} $
$ 1 + 12 \equiv 0 \pmod{13}$
から得られる数列$-3,-1,3,9,4,1$で$13$の平方剰余は尽くされている.最後は$13$で割り切れる.

ヒント:$-n + k^2 + k$に$4$を掛けて$p$の剰余を考える.