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ベッセル関数の仲間たち

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ベッセル関数の分類

関数名	ベッセル関数	変形ベッセル関数	球ベッセル関数	変形球ベッセル関数
座標系	円筒座標（動径）	円筒座標（動径）	球座標（動径）	球座標（動径）
状態	散乱状態 $E > V_{0}$	束縛状態 $E < V_{0}$	散乱状態 $E > V_{0}$	束縛状態 $E < V_{0}$
第1種	$J_{l} (ρ)$	$I_{l} (ρ)$	$j_{l} (ρ)$	$i_{l} (ρ)$
第2種	$N_{l} (ρ)$	$K_{l} (ρ)$	$n_{l} (ρ)$	$k_{l} (ρ)$
Hankel型	$H_{l} (ρ) = J_{l} (ρ) + i N_{l} (ρ)$	-	$h_{l} (ρ) = j_{l} (ρ) + i n_{l} (ρ)$	-
Hankel型*	$H_{l}^{*} (ρ) = J_{l} (ρ) - i N_{l} (ρ)$	-	$h_{l}^{*} (ρ) = j_{l} (ρ) - i n_{l} (ρ)$	-

　ラプラシアンを含む偏微分方程式の角度成分を変数分離すると、動径成分にベッセル関数が登場します。ベッセル関数の種類は多岐に及びますが、

円筒座標はベッセル関数、球座標は球ベッセル関数
散乱状態はベッセル関数、束縛状態は変形ベッセル関数

と覚えておくと良いでしょう。テストに出てくるので覚えましょう。

本当にテストに登場するので、覚えておきましょう。

ベッセルの微分方程式一覧

ベッセルの微分方程式

$\frac{d^{2} u}{d z^{2}} + \frac{1}{z} \frac{d u}{d z} - [- 1 + \frac{l^{2}}{z^{2}}] u = 0$

散乱状態を円筒座標で変数分離すると登場します。

変形ベッセルの微分方程式

$\frac{d^{2} u}{d z^{2}} + \frac{1}{z} \frac{d u}{d z} - [1 + \frac{l^{2}}{z^{2}}] u = 0$

束縛状態を円筒座標で変数分離すると登場します。

球ベッセルの微分方程式

$\frac{d^{2} u}{d z^{2}} + \frac{2}{z} \frac{d u}{d z} - [- 1 + \frac{l (l + 1)}{z^{2}}] u = 0$

散乱状態を球座標で変数分離すると登場します。

変形球ベッセルの微分方程式

$\frac{d^{2} u}{d z^{2}} + \frac{2}{z} \frac{d u}{d z} - [1 + \frac{l (l + 1)}{z^{2}}] u = 0$

束縛状態を球座標で変数分離すると登場します。

ベッセル関数

第1種ベッセル関数

$\begin{matrix} (1) & J_{l} (z) = {(\frac{z}{2})}^{l} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n! Γ (l + n + 1)} {(\frac{z}{2})}^{2 n} \end{matrix}$

原点付近で $z^{l}$ 程度に収束します

第2種ベッセル関数(Neumann関数)

$\begin{matrix} (2) & N_{l} (z) = \frac{1}{\sin (l π)} [\cos (l π) J_{l} (z) - J_{- l} (z)] (l \neq Z) \end{matrix}$

原点付近で発散します

$\begin{matrix} (3) & N_{n} (z) = \frac{1}{π} {[\frac{\partial J_{l} (z)}{\partial l} - (- 1)^{n} \frac{\partial J_{- l} (z)}{\partial l}]}_{l = n} (n = Z) \end{matrix}$

原点で対数分岐します

第1種Hankel関数

$\begin{matrix} (4) & H_{l} (z) = J_{l} (z) + i N_{l} (z) \end{matrix}$

$J_{l}$ が $\sin z / z$ 、 $N_{l}$ が $\cos z / z$ らしく振る舞うので、重ね合わせたら $e^{i z} / z$ になるだろうという発想です。結構有用な関数です。

第2種Hankel関数

$\begin{matrix} (5) & H_{l}^{*} (z) = J_{l} (z) - i N_{l} (z) \end{matrix}$

第2種と呼び分けられますが、ただの複素共役です

変形ベッセル関数

第1種変形ベッセル関数

$\begin{matrix} (6) & I_{l} (z) = e^{- l π i / 2} J_{l} (i z) = {(\frac{z}{2})}^{l} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n! Γ (l + n + 1)} {(\frac{z}{2})}^{2 n} (実軸の負の部分は除く) \end{matrix}$

J_l(z)の変数を $z \to i z$ にすると、 $(z / 2)^{l}$ の因子が $e^{l π i / 2}$ 倍されます。虚数部分を打ち消す因子をかけることで、変形ベッセル関数は実関数になります。

第2種変形ベッセル関数

$\begin{matrix} (7) & K_{l} (z) = \frac{π}{2 \sin (l π)} [I_{- l} (z) - I_{l} (z)] (l \neq Z) \end{matrix}$

定義がNeumann関数と若干違うのが腹立ちます

$\begin{matrix} (8) & K_{n} (z) = \frac{(- 1)^{n}}{2} {[\frac{\partial I_{- l} (z)}{\partial l} - \frac{\partial I_{l} (z)}{\partial l}]}_{l = n} (n = Z) \end{matrix}$

同じく原点で対数分岐します

また、Hankel関数との関数等式は特に重要です。

$K_{l} (z) = \frac{π i}{2} e^{l π i / 2} H_{l} (i z) (l \neq Z)$

球ベッセル関数

第1種球ベッセル関数

$\begin{matrix} (9) & j_{l} (z) = \sqrt{\frac{π}{2 z}} J_{l + 1 / 2} (z) = (2 z)^{l} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (n + l)!}{n! (2 n + 2 l + 1)!} z^{2 n} \end{matrix}$

漸近形は以下の通りです。原点で収束しています。

$j_{l} (z) = \frac{z^{l}}{(2 l + 1)!!} (z \to 0)$
$j_{l} (z) = \frac{\sin (z - \frac{l π}{2})}{z} (z \to \infty)$

無限遠方では $l π / 2$ 分だけphase-shiftしているのが非常に重要です。

第2種球ベッセル関数(球Neumann関数)

$\begin{matrix} (10) & n_{l} (z) = \sqrt{\frac{π}{2 z}} N_{l + 1 / 2} (z) = - \frac{1}{2^{l} z^{l + 1}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{Γ (2 l - 2 n + l)}{n! Γ (l - n + 1)} z^{2 n} \end{matrix}$

漸近形は以下の通りです。原点で発散しています。

$n_{l} (z) = - \frac{(2 l - 1)!!}{z^{l + 1}} (z \to 0)$
$n_{l} (z) = - \frac{\cos (z - \frac{l π}{2})}{z} (z \to \infty)$

無限遠方ではphase-shiftが起きてるのが非常に重要です。

第1種球Hankel関数

$\begin{matrix} (11) & h_{l} (z) = j_{l} (z) + i n_{l} (z) \end{matrix}$

量子力学において、外向きに散乱される波を表したりします。

第2種Hankel関数

$\begin{matrix} (12) & h_{l}^{*} (z) = j_{l} (z) - i n_{l} (z) \end{matrix}$

量子力学において、内向きに進行する波を表したりします。

変形球ベッセル関数

第1種変形球ベッセル関数

$\begin{matrix} (13) & i_{l} (z) = \sqrt{\frac{π}{2 z}} I_{l + 1 / 2} (z) \end{matrix}$

第2種変形球ベッセル関数

$\begin{matrix} (14) & k_{l} (z) = \sqrt{\frac{π}{2 z}} K_{l + 1 / 2} (z) \end{matrix}$

あくまで類似物を書くことができるだけで、実用上そこまで登場しません。

まとめ

関数名	ベッセル関数	変形ベッセル関数
座標系	円筒座標（動径）	円筒座標（動径）
状態	散乱状態 $E > V_{0}$	束縛状態 $E < V_{0}$
第1種	$J_{l} (z)$	$I_{l} (z) = e^{- l π i / 2} J_{l} (i z)$
第2種	$N_{l} (z) = \frac{1}{\sin (l π)} [\cos (l π) J_{l} (z) - J_{- l} (z)]$	$K_{l} (z) = \frac{π}{2 \sin (l π)} [I_{- l} (z) - I_{l} (z)]$
Hankel型	$H_{l} (z) = J_{l} (z) + i N_{l} (z)$	-
Hankel型*	$H_{l}^{*} (z) = J_{l} (z) - i N_{l} (z)$	-
微分方程式	$\frac{d^{2} u}{d z^{2}} + \frac{1}{z} \frac{d u}{d z} - [- 1 + \frac{l^{2}}{z^{2}}] u = 0$	$\frac{d^{2} u}{d z^{2}} + \frac{1}{z} \frac{d u}{d z} - [1 + \frac{l^{2}}{z^{2}}] u = 0$

関数名	球ベッセル関数	変形球ベッセル関数
座標系	球座標（動径）	球座標（動径）
状態	散乱状態 $E > V_{0}$	束縛状態 $E < V_{0}$
第1種	$j_{l} (z) = \sqrt{\frac{π}{2 z}} J_{l + 1 / 2} (z)$	$i_{l} (z) = \sqrt{\frac{π}{2 z}} I_{l + 1 / 2} (z)$
第2種	$n_{l} (z) = \sqrt{\frac{π}{2 z}} N_{l + 1 / 2} (z)$	$k_{l} (z) = \sqrt{\frac{π}{2 z}} K_{l + 1 / 2} (z)$
Hankel型	$h_{l} (z) = j_{l} (z) + i n_{l} (z) = \sqrt{\frac{π}{2 z}} H_{l + 1 / 2} (z)$	-
Hankel型*	$h_{l}^{} (z) = j_{l} (z) - i n_{l} (z) = \sqrt{\frac{π}{2 z}} H_{l + 1 / 2}^{} (z)$	-
微分方程式	$\frac{d^{2} u}{d z^{2}} + \frac{2}{z} \frac{d u}{d z} - [- 1 + \frac{l (l + 1)}{z^{2}}] u = 0$	$\frac{d^{2} u}{d z^{2}} + \frac{2}{z} \frac{d u}{d z} - [1 + \frac{l (l + 1)}{z^{2}}] u = 0$