京大数学科院試過去問解答例(2024専門02)

初めに
$$A=\mathbb{C}[[X^n,\cdots ,X^{2n-1}]]$$
とおく。このとき$\mathbb{C}[[X]]/A$の元は$X,X^2,\cdots ,X^{n-1}$で生成されるから(i)が満たされている。また$A$の整閉包を$B$としたとき、$X$は$T^n-X^n\in A[T]$の根であり、$\mathbb{C}[[X]]$は整閉であるから、$B=\mathbb{C}[[X]]$である。よって(ii)が満たされている。次に
$$m=(X^n,\cdots ,X^{2n-1})$$
とおくと、任意の$nk+\ell$(但し$k\ge 2$かつ$\ell =0,\cdots ,n-1$)に対して
$$X^{2n+k}=X^{n(k-1)}{X}^{n+\ell }\in m^2$$
である一方、$X^{n+\ell }$は最低次数$\ge n$の$\mathbb{C}[[X]]$の元の積の有限和としては表せないから$X^{n+\ell }\notin m^2$である。以上から
$${\dim }_{\mathbb{C}}m/m^2=n$$
つまり条件(iii)が従う。以上から$(A,m)$が所望の例になっている。