結婚数について ― 符号付き約数和から生まれる新しい数の関係

数学には、互いに影響し合う数の関係があります。
代表的なものに友愛数があります。 友愛数とは、異なる2つの自然数 (a,b) があり、真の約数の和を (s(n)) とすると、
[ s(a)=b,\qquad s(b)=a ]
を満たす組のことです。
今回紹介する「結婚数」は、この考え方を符号付き約数和へ拡張したものです。
まず、
[ T(n)=\sum_{\substack{d|n\d<n}}(-1)^d d ]
を定義します。
つまり、真の約数について
偶数の約数 → 正の値
奇数の約数 → 負の値
として加え合わせます。
そして、
[ T(a)=b,\qquad T(b)=a,\qquad a\neq b ]
を満たす2つの自然数の組を「結婚数」と呼びます。
現在確認できている最初の例は、
[ 168\leftrightarrow248 ]
[ 920\leftrightarrow952 ]
[ 5720\leftrightarrow7384 ]
[ 8272\leftrightarrow8432 ]
です。
例えば、
[ T(168)=248 ]
であり、逆に
[ T(248)=168 ]
となるため、この2数は互いに結びついています。
これらは数学的には、写像
[ n\mapsto T(n) ]
における2周期軌道として見ることができます。
私は当初、この数を「交互婚約数」と考えていました。しかし、互いの数が互いを導き、一つの関係を形成していることから、「結婚数」という名前をつけました。
完全数が「自分自身で完成する数」なら、結婚数は「相手と共に関係を完成させる数」と見ることができます。
今後、さらに探索範囲を広げることで、新たな結婚数の発見につながる可能性があります。