シルヴァーマン・テプリッツの定理

はじめに

　この記事ではCesàro(チェザロ)平均
$$\lim_{n\to\infty}a_n=\a \quad\Rightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum^n_{k=1}a_k=\a$$
やStolz-Cesàroの定理
$$\lim_{n\to\infty}a_n=\a \quad\Rightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\frac{\sum^n_{k=1}a_kb_k}{\sum^n_{k=1}b_k}=\a$$
の一般化であるSilverman–Toeplitzの定理
$$\lim_{n\to\infty}a_n=\a \quad\Rightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\sum^\infty_{k=1}c_{n,k}a_k=\a$$
について簡単にまとめていきます。

主張と証明

　やることはCesàro平均の場合とほとんど同じなのでちゃっちゃと主張と証明を見ていきましょう。

Silverman–Toeplitzの定理

　数列$\{c_{n,k}\}$を
\begin{align} (\mathrm{i})&\quad\lim_{n\to\infty}c_{n,k}=0\\ (\mathrm{ii})&\quad\lim_{n\to\infty}\sum^\infty_{k=1}c_{n,k}=1\\ (\mathrm{iii})&\quad\sup_n\sum^\infty_{k=1}|c_{n,k}|<\infty \end{align}
を満たすように取ったとき
$$\lim_{n\to\infty}a_n=\a$$
なる数列$\{a_n\}$に対し、$\sum^\infty_{k=1}c_{n,k}a_k$は絶対収束し
$$\lim_{n\to\infty}\sum^\infty_{k=1}c_{n,k}a_k=\a$$
が成り立つ。

　以下簡単のため
$$A_n=\sup_{k\leq n}|a_k|,\quad M=\sup_n\sum^\infty_{k=1}|c_{n,k}|$$
とおく。
　$\sum^\infty_{k=1}c_{n,k}a_k$の絶対収束性については$\sum^\infty_{k=1}|c_{n,k}a_k|\leq MA_\infty$と評価できることから明らか。
　いま
\begin{align} \lim_{n\to\infty}\l(\sum^\infty_{k=1}c_{n,k}a_k-\a\r) &=\lim_{n\to\infty}\sum^\infty_{k=1}c_{n,k}(a_k-\a)+\a\lim_{n\to\infty}\l(\sum^\infty_{k=1}c_{n,k}-1\r)\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum^\infty_{k=1}c_{n,k}(a_k-\a) \end{align}
に注意し、$a_n-\a$を改めて$a_n$と置くことで$\a=0$としてよい。
　このとき任意の$\e>0$に対し
$$|a_k|<\frac{\e}{2M}\quad(\forall k>K)$$
を満たすような自然数$K$を取り、これに対し
$$|c_{n,k}|<\frac{\e}{2A_K}\quad(1\leq k\leq K, \forall n>N)$$
を満たすような自然数$N$を取ったとき
\begin{align} \l|\sum^\infty_{k=1}c_{n,k}a_k\r| &\leq \sum^K_{k=1}\frac{\e}{2A_K}\c|a_k|+\sum^\infty_{k=K+1}|c_{n,k}|\c\frac{\e}{2M}\\ &\leq\frac\e2+\frac\e2=\e \end{align}
と評価できるので
$$\lim_{n\to\infty}\sum^\infty_{k=1}c_{n,k}a_k=0$$
を得る。

応用例

Stolz-Cesàroの定理とか

　例えば
$$c_{n,k}=\l\{\begin{array}{cl} 1/n&(k\leq n)\\ 0&(k>n) \end{array}\r.$$
とおくとCesàro平均の有名性質が得られます。

Cesàro平均の収束定理

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\a$$
なる数列$\{a_n\}$に対し
$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum^n_{k=1}a_k=\a$$
が成り立つ。

　また例えば適当な数列$\{b_n\}$に対し
$$c_{n,k}=\l\{\begin{array}{cl} b_k/\sum^n_{m=1}b_m&(k\leq n)\\ 0&(k>n) \end{array}\r.$$
とおくことでStolz-Cesàroの定理(の同値な言い換え)も出てきます。

Stolz-Cesàroの定理

$$b_n>0,\quad\sum^\infty_{n=1}b_n=\infty,\quad\lim_{n\to\infty}a_n=\a$$
なる数列$\{a_n\},\{b_n\}$に対し
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\sum^n_{k=1}a_kb_k}{\sum^n_{k=1}b_k}=\a$$
が成り立つ。

　なお
$$a_n=\frac{A_{n+1}-A_n}{B_{n+1}-B_n},\quad b_n=B_{n+1}-B_n$$
とおくことで巷で有名な形の主張
$$\lim_{n\to\infty}\frac{A_{n+1}-A_n}{B_{n+1}-B_n}=\a \quad\Rightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\frac{A_n}{B_n}=\a$$
が得られます。
　次の主張は確率論とかで使われるらしいです。

Kroneckerの補題

　非有界な単調増加数列$\{b_n\}$と$\sum^\infty_{n=1}x_n$が収束するような数列$\{x_n\}$に対し
$$\lim_{n\to\infty}\frac1{b_n}\sum^n_{k=1}b_kx_k=0$$
が成り立つ。

$$a_n=\sum^n_{k=1}x_k,\quad c_{n,k}=\l\{\begin{array}{cl} (b_{k+1}-b_k)/b_n&(k< n)\\ 0&(k\geq n) \end{array}\r.$$
に対しSilverman–Toeplitzの定理を適用することで
$$\lim_{n\to\infty}\frac1{b_n}\sum^{n-1}_{k=1}(b_{k+1}-b_k)a_k=\lim_{n\to\infty}a_n$$
が成り立つ。ここでこの左辺は
\begin{align} \frac1{b_n}\sum^{n-1}_{k=1}(b_{k+1}-b_k)a_k &=\frac1{b_n}\l(b_na_n+\sum^n_{k=1}b_k(a_{k-1}-a_k)\r)\\ &=a_n-\frac1{b_n}\sum^n_{k=1}b_kx_k \end{align}
と変形できることに注意すると主張を得る。

色々な収束定理

和公式の利用

　ところで上の主張程度ならStolz-Cesàroの定理で十分だったわけですが、もっとSilverman–Toeplitzの定理の強みが感じられるような収束定理は無いかと思ったところ、二項係数の和公式を使えば色々できそうなことに気付いたので色々やってみましょう。
　例えば二項定理
$$\sum^n_{k=0}\binom nkx^k=(1+x)^n$$
を使うと次の主張が得られます。ここで$k$を固定したとき
$$\binom nk=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}=O(n^k)$$
と評価できることに注意しましょう。

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\a$$
なる数列$\{a_n\}$と複素数$x\neq -1$に対し
$$\lim_{n\to\infty}\frac1{(1+x)^n}\sum^n_{k=0}\binom nkx^ka_k=\a$$
が成り立つ。

　他にも
$$\sum^n_{k=0}\binom nk^2=\binom{2n}n$$
を用いると

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\a \quad\Rightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\frac1{\binom{2n}n}\sum^n_{k=0}\binom nk^2a_k=\a$$

が得られます。
　ただしDixonの恒等公式
$$\sum^{2n}_{k=0}(-1)^k\binom{2n}k^3=(-1)^n\frac{(3n)!}{(n!)^3}$$
のような交代和だと
$$\frac{(n!)^3}{(3n)!}\sum^{2n}_{k=0}\binom{2n}k^3 =\l(\frac{64}{27}\r)^{n+o(n)}$$
と一様有界性(条件(iii))が成り立たないため上のような収束定理は得られないことに注意しましょう。

区分求積の利用

　また区分求積を利用することで
$$\lim_{n\to\infty}a_n=\a \quad\Rightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{pn\leq k\leq qn}f\l(\frac kn\r)a_k=\l(\int^q_pf(x)dx\r)\a$$
という形の収束定理が構成できることにも気づいたので色々やってみましょう。

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\a$$
なる数列$\{a_n\}$に対し
\begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac1{n^{s+1}}\sum^n_{k=0}k^sa_k&=\frac{\a}{s+1}\\ \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum^n_{k=0}x^{\frac kn}a_k&=\frac{x-1}{\log x}\a\\ \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum^n_{k=0}\sin\l(\frac{k\t}n\r)a_k&=\frac{1-\cos\t}{\t}\a\\ \end{align}
が成り立つ。

　ふ～～～～ん。
　みなさんもこのように色々な収束定理を構成して遊んでみてはいかがでしょうか。

投稿日：2日前

更新日：2日前