大学数学基礎解説

相加相乗平均の不等式を使ってはさみうち

相加相乗平均の不等式,極限,用途不明

この記事では、下の式を一般化して解きます。
タイトルの通り、上下から不等式評価する際にそれぞれ相加相乗平均の不等式を用います.

具体例1

実数 $t$ をパラメータとし、 $x \in (0, 2 π]$ を定義域とする関数 $F_{t} (x)$ を
$F_{t} (x) = \frac{1 - (1 - t^{2}) \cos x}{x}$ と定義する。

$lim_{t \to 0} \frac{min_{x} F_{t} (x)}{| t |} = \sqrt{2}$

$min_{x}$ は（ $t$ を固定して） $x$ のみを動かした場合の最小値を表します。

ちなみに、今回とほぼ同様のやり方で↓の具体例2も証明できます.
しかし、具体例2も含むように一般化しようとすると流石に煩雑すぎるので、省かれています.

具体例2

$F_{t} (x) = \tan (t \sin x) \tan (t \cos x)$ とする.

$lim_{t \to \frac{π}{2} - 0} \sqrt{\frac{π}{2} - t} \cdot max_{x} F_{t} (x) = \frac{\sqrt{π}}{2}$

まず、 $F_{t} (x)$ の定義などを一般化します。

$f_{1} (x)$ , $f_{2} (x)$ は $0 \leq x \leq x_{0}$ で定義された連続関数.
$g_{1} (t)$ , $g_{2} (t)$ は $R$ 上の連続関数.
$m$ は2以上の整数. $A$ , $B$ , $C$ は正の実数.
これらは以下の条件を満たすとする.
・任意の $0 < x \leq x_{0}$ で $f_{1} (x) > f_{2} (x)$
・ $A = f_{1} (0) = f_{2} (0)$
・ $B = lim_{x \to + 0} \frac{f_{1} (x) - f_{2} (x)}{x^{m}}$
・ $C = g_{1} (0) = g_{2} (0)$
・ $t \neq 0 ⟹ g_{1} (t) > g_{2} (t)$

$n$ は $m$ より小さい正の整数.
$F_{t} (x) : = \frac{g_{1} (t) f_{1} (x) - g_{2} (t) f_{2} (x)}{x^{n}}$
$h (t) : = {g_{1} (t) - g_{2} (t)}^{(m - n) / m}$
ただし, $F_{t} (x)$ は $t$ によって定まる $x$ の関数で,定義域は $0 < x \leq x_{0}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{min_{x} F_{t} (x)}{h (t)} = m \sqrt[m]{\frac{A^{m - n} B^{n} C^{n}}{n^{n} (m - n)^{m - n}}}$

この命題を示します。（これは例1の一般化になってます）

解答を3ステップに分けます.

$min_{x} F_{t} (x)$ が存在することを示す.
$F_{t} (x)$ を最小にする $x$ は $t \to 0$ で0に収束することを示す.
極限値を求める.

ステップ1 最小値の存在

$t \neq 0$ のとき, $x$ の関数 $F_{t} (x)$ には最小値が存在する.

$lim_{x \to + 0} F_{t} (x) = \infty$ より, ある $0 < ε < x_{0}$ が存在して,
$x < ε \Rightarrow F_{t} (x) > F_{t} (x_{0})$
$[ε, x_{0}]$ は閉区間なので,
$min_{x \in [ε, x_{0}]} F_{t} (x)$ は存在する.
よって, $min_{x} F_{t} (x)$ は存在する.

ステップ２最小値をとる

x

の極限

$sam (t) : = sup ({arg min}_{x} F_{t} (x))$
$S (ε) : = sup_{| t | < ε} [sam (t)]$
$sam (t)$ , $S (ε)$ を上のように定義すると、次が成り立つ.
$lim_{ε \to + 0} S (ε) = 0$
つまり、 $F_{t} (x)$ を最小にする $x$ は $t \to 0$ で0に収束する.

補足: ${arg min}_{x}$ は最小値をとる $x$ の集合を返す関数と定義しているので、 $sup$ をもちいています.
また、 $s a m$ は $sup$ ・ $a r g$ ・ $m i n$ の頭文字をとって適当に名付けただけの関数です.

$S (ε)$ は, $S (ε) > 0$ かつ $ε \to + 0$ において単調減少なので収束する.
$lim_{ε \to + 0} S (ε) = S_{0} > 0$ と仮定する.

正の整数 $N$ について

$| t_{N} | < \frac{1}{N}$ かつ $(1 - \frac{1}{N}) S (\frac{1}{N}) < sam (t_{N}) \leq S (\frac{1}{N})$

を満たす数列 ${t_{N}}$ がとれる.
また、
$x_{N} \in {arg min}_{x} F_{t} (x)$ かつ $(1 - \frac{1}{N}) S (\frac{1}{N}) < x_{N} \leq sam (t_{N})$

を満たす数列 ${x_{N}}$ がとれる.

$(1 - \frac{1}{N}) S (\frac{1}{N}) < x_{N} \leq S (\frac{1}{N})$ より、

$N \to \infty$ で $t_{N} \to 0$ , $x_{N} \to S_{0}$ なので

$lim_{N \to \infty} F_{t_{N}} (x_{N}) = C \frac{f_{1} (S_{0}) - f_{2} (S_{0})}{S_{0}^{n}} > 0$

ここで、 $F_{t_{N}} (x_{N})$ の最小性より、

$lim_{N \to \infty} F_{t_{N}} (x_{N}) \leq lim_{N \to \infty} F_{t_{N}} (\frac{1}{N}) = 0$

これは矛盾.

よって、 $lim_{ε \to + 0} S (ε) = 0 ◼$

ステップ３求解

$lim_{t \to t_{0}} \frac{min_{x} F_{t} (x)}{h (t)} = m \sqrt[m]{\frac{A^{m - n} B^{n} C^{n}}{n^{n} (m - n)^{m - n}}}$

$d (t) = y \sqrt[m]{g_{1} (t) - g_{2} (t)}$ とする.（ただし、 $y$ は任意の正の実数）
$\begin{array}{rcl} lim_{t \to 0} \frac{min_{x} F_{t} (x)}{h (t)} & \leq & lim_{t \to 0} \frac{F_{t} (d (t))}{h (t)} \\ = & lim_{t \to 0} {g_{1} (t) \frac{f_{1} (d (t)) - f_{2} (d (t))}{d (t)^{m}} \frac{d (t)^{m - n}}{h (t)} + f_{2} (d (t)) \frac{g_{1} (t) - g_{2} (t)}{d (t)^{n} h (t)}} \\ = & C B y^{m - n} + A y^{- n} \end{array}$

ここで相加相乗平均の不等式を用いると
$C B y^{m - n} + A y^{- n} \geq m \sqrt[m]{\frac{A^{m - n} B^{n} C^{n}}{n^{n} (m - n)^{m - n}}}$

等号成立条件は、 $y = \sqrt[m]{\frac{n A}{(m - n) C B}}$

当然この $y$ に対しても、先ほどの不等式は成立するので

$lim_{t \to 0} \frac{min_{x} F_{t} (x)}{h (t)} \leq C B y^{m - n} + A y^{- n} = m \sqrt[m]{\frac{A^{m - n} B^{n} C^{n}}{n^{n} (m - n)^{m - n}}}$

任意の $t$ について $r (t) \in {arg min}_{x} F_{t} (x)$ を満たす関数 $r (t)$ をとる.
ステップ２より, $lim_{t \to 0} r (t) = 0$ である.
以下,簡単のため $r = r (t)$ とする.
$\begin{array}{rcl} lim_{t \to 0} \frac{min_{x} F_{t} (x)}{h (t)} & = & lim_{t \to 0} \frac{F_{t} (r)}{h (t)} \\ = & lim_{t \to 0} \frac{1}{h (t)} {g_{1} (t) \frac{f_{1} (r) - f_{2} (r)}{r^{m}} r^{m - n} + f_{2} (r) \frac{g_{1} (t) - g_{2} (t)}{r^{n}}} \\ = & lim_{t \to 0} \frac{1}{h (t)} {n g_{1} (t) \frac{f_{1} (r) - f_{2} (r)}{n r^{m}} r^{m - n} + (m - n) f_{2} (r) \frac{g_{1} (t) - g_{2} (t)}{(m - n) r^{n}}} \\ \geq & lim_{t \to 0} \frac{m}{h (t)} \sqrt[m]{{(\frac{g_{1} (t)}{n} \frac{f_{1} (r) - f_{2} (r)}{r^{m}})}^{n} {(f_{2} (r) \frac{g_{1} (t) - g_{2} (t)}{m - n})}^{m - n}} \\ = & lim_{t \to 0} m \sqrt[m]{{(\frac{g_{1} (t)}{n} \frac{f_{1} (r) - f_{2} (r)}{r^{m}})}^{n} {(\frac{f_{2} (r)}{m - n} \frac{g_{1} (t) - g_{2} (t)}{{h (t)}^{m / (m - n)}})}^{m - n}} \\ = & m \sqrt[m]{\frac{A^{m - n} B^{n} C^{n}}{n^{n} (m - n)^{m - n}}} \end{array}$