相加相乗平均の不等式を使ってはさみうち
この記事では、下の式を一般化して解きます。
タイトルの通り、上下から不等式評価する際にそれぞれ相加相乗平均の不等式を用います.
実数$t$をパラメータとし、$x \in (0,2\pi]$を定義域とする関数$F_{t}(x)$を
$F_{t}(x)=\dfrac{1-(1-t^2)\cos{x}}{x}$と定義する。
$\lim\limits_{t \to 0}\dfrac{\min_x F_{t}(x)}{|t|}=\sqrt{2}$
$\min_{x}$は（$t$を固定して）$x$のみを動かした場合の最小値を表します。
ちなみに、今回とほぼ同様のやり方で↓の具体例2も証明できます.
しかし、具体例2も含むように一般化しようとすると流石に煩雑すぎるので、省かれています.
$F_{t}(x)=\tan{(t\sin{x})}\tan{(t\cos{x})}$とする.
$\lim\limits_{t \to \frac{\pi}{2}-0}\sqrt{\dfrac{\pi}{2}-t}\cdot\max_{x}F_{t}(x)=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$
まず、$F_{t}(x)$の定義などを一般化します。
$f_1(x)$,$f_2(x)$は$0\leq x\leq x_0$で定義された連続関数.
$g_1(t)$,$g_2(t)$は$\mathbb{R}$上の連続関数.
$m$は2以上の整数. $A$,$B$,$C$は正の実数.
これらは以下の条件を満たすとする.
・任意の$0< x\leq x_0$で$f_1(x)>f_2(x)$
・$A=f_1(0)=f_2(0)$
・$B=\lim\limits_{x \to +0}\dfrac{f_1(x)-f_2(x)}{x^{m}}$
・$C=g_1(0)=g_2(0)$
・$t\neq 0\Longrightarrow g_1(t)>g_2(t)$
$n$は$m$より小さい正の整数.
$F_{t}(x)\coloneqq\dfrac{g_1(t)f_1(x)-g_2(t)f_2(x)}{x^{n}}$
$h(t)\coloneqq\{g_1(t)-g_2(t)\}^{(m-n)/m}$
ただし,$F_t(x)$は$t$によって定まる$x$の関数で,定義域は$0 < x \leq x_0$.
$\lim\limits_{t \to 0}\dfrac{\min_x F_{t}(x)}{h(t)}=m\sqrt[m]{\dfrac{A^{m-n}B^{n}C^{n}}{n^{n}(m-n)^{m-n}}}$
この命題を示します。（これは例1の一般化になってます）
解答を3ステップに分けます.
- $\min_x F_{t}(x)$が存在することを示す.
- $F_{t}(x)$を最小にする$x$は$t \to 0$で0に収束することを示す.
- 極限値を求める.
$t\neq 0$のとき,$x$の関数$F_{t}(x)$には最小値が存在する.
$\lim\limits_{x \to +0}F_{t}(x)=\infty$ より, ある$0<\varepsilon< x_0$が存在して,
$x<\varepsilon \Rightarrow F_{t}(x)>F_{t}(x_0)$
$[\varepsilon,x_0]$は閉区間なので,
$\min_{x \in [\varepsilon,x_0]}F_{t}(x)$は存在する.
よって,$\min_{x}F_{t}(x)$は存在する.
$\sam(t)\coloneqq\sup(\argmin_{x}~F_t(x))$
$S(\varepsilon)\coloneqq
\sup_{\left| t \right|<\varepsilon}[\sam(t)]$
$\sam(t)$,$
S(\varepsilon)$を上のように定義すると、次が成り立つ.
$\lim\limits_{\varepsilon \to +0}S(\varepsilon)=0$
つまり、$F_{t}(x)$を最小にする$x$は$t \to 0$で0に収束する.
補足:$\argmin_{x}$は最小値をとる$x$の集合を返す関数と定義しているので、$\sup$をもちいています.
また、$\rm{sam}$は$\sup$・$\rm{arg}$・$\rm{min}$の頭文字をとって適当に名付けただけの関数です.
$S(\varepsilon)$は,$
S(\varepsilon)>0$かつ$\varepsilon \to +0$において単調減少なので収束する.
$\lim\limits_{\varepsilon \to +0}S(\varepsilon)=S_0>0$と仮定する.
正の整数$N$について
$\left| t_N \right| <\dfrac{1}{N}$ かつ $ \left( 1-\dfrac{1}{N} \right) S\left(\dfrac{1}{N}\right) <\sam(t_N)\leq S\left(\dfrac{1}{N}\right)$
を満たす数列$\{ t_N \}$がとれる.
また、
$x_N\in \argmin_{x}~F_{t}(x)$ かつ $
\left( 1-\dfrac{1}{N} \right)
S\left(\dfrac{1}{N}\right)
< x_N\leq \sam(t_N)$
を満たす数列$\{ x_N \}$がとれる.
$\left( 1-\dfrac{1}{N} \right) S\left(\dfrac{1}{N}\right) < x_N \leq S\left(\dfrac{1}{N}\right)$より、
$N \to \infty$ で $t_N \to 0$,$x_N \to S_0$ なので
$\lim\limits_{N \to \infty}F_{t_N}(x_N) =C\dfrac{f_1(S_0)-f_2(S_0)}{S_0^{n}}>0$
ここで、$F_{t_N}(x_N)$ の最小性より、
$\lim\limits_{N \to \infty}F_{t_N}(x_N) \leq \lim\limits_{N \to \infty} F_{t_N}\left(\dfrac{1}{N}\right)=0$
これは矛盾.
よって、$ \lim\limits_{\varepsilon \to +0}S(\varepsilon)=0 ~~~\blacksquare$
$\lim\limits_{t \to t_0}\dfrac{\min_x F_{t}(x)}{h(t)} =m\sqrt[m]{\dfrac{A^{m-n}B^{n}C^{n}}{n^{n}(m-n)^{m-n}}}$
$d(t)=y\sqrt[m]{g_1(t)-g_2(t)}$ とする.（ ただし、$y$は任意の正の実数）
\begin{eqnarray}
\lim\limits_{t \to 0}\dfrac{\min_x F_{t}(x)}{h(t)}
&\leq&\lim_{t \to 0}\dfrac{F_{t}(d(t))}{h(t)} \\
&=&\lim_{t \to 0}
\left\{g_1(t)\dfrac{f_1(d(t))-f_2(d(t))}{d(t)^{m}}
\dfrac{d(t)^{m-n}}{h(t)}
+f_2(d(t))\dfrac{g_1(t)-g_2(t)}{d(t)^{n}h(t)}
\right\}
\\
&=&CBy^{m-n}+Ay^{-n}
\\
\end{eqnarray}
ここで相加相乗平均の不等式を用いると
$CBy^{m-n}+Ay^{-n}\geq m\sqrt[m]{\dfrac{A^{m-n}B^{n}C^{n}}{n^{n}(m-n)^{m-n}}} $
等号成立条件は、$y=\sqrt[m]{\dfrac{nA}{(m-n)CB}}$
当然この$y$に対しても、先ほどの不等式は成立するので
$\lim\limits_{t \to 0}\dfrac{\min_x F_{t}(x)}{h(t)}\leq CBy^{m-n}+Ay^{-n}=m\sqrt[m]{\dfrac{A^{m-n}B^{n}C^{n}}{n^{n}(m-n)^{m-n}}}$
任意の$t$について$r(t) \in \argmin_x~F_{t}(x)$を満たす関数$r(t)$をとる.
ステップ２より,$\lim_{t \to 0}r(t)=0$である.
以下,簡単のため$r=r(t)$とする.
\begin{eqnarray}
\lim_{t \to 0}\dfrac{\min_x F_{t}(x)}{h(t)}
&=&\lim_{t \to 0}\dfrac{F_{t}(r)}{h(t)} \\
&=&\lim_{t \to 0}
\dfrac{1}{h(t)}
\left\{g_1(t)\dfrac{f_1(r)-f_2(r)}{r^{m}}r^{m-n}
+f_2(r)\dfrac{g_1(t)-g_2(t)}{r^{n}}
\right\}
\\
&=&\lim_{t \to 0}
\dfrac{1}{h(t)}
\left\{ng_1(t)\dfrac{f_1(r)-f_2(r)}{nr^{m}}r^{m-n}
+(m-n)f_2(r)\dfrac{g_1(t)-g_2(t)}
{(m-n)r^{n}}
\right\}
\\
&\geq&\lim_{t \to 0}
\dfrac{m}{h(t)}
\sqrt[m]{\left(\dfrac{g_1(t)}{n}
\dfrac{f_1(r)-f_2(r)}{r^{m}}
\right)^{n}
\left(f_2(r)
\dfrac{g_1(t)-g_2(t)}{m-n}
\right)^{m-n}
}
\\
&=&\lim_{t \to 0}
m\sqrt[m]{\left(\dfrac{g_1(t)}{n}
\dfrac{f_1(r)-f_2(r)}{r^{m}}
\right)^{n}
\left(\dfrac{f_2(r)}{m-n}
\dfrac{g_1(t)-g_2(t)}
{\{h(t)\}^{m/(m-n)}}
\right)^{m-n}
}
\\
&=&m\sqrt[m]{\dfrac{A^{m-n}B^{n}C^{n}}
{n^{n}(m-n)^{m-n}}}
\end{eqnarray}
ただし、不等号の部分は相加相乗平均の不等式を用いた.
以上より、$ \lim\limits_{t \to t_0}\dfrac{\min_x F(x;t)}{h(t)} =m\sqrt[m]{\dfrac{A^{m-n}B^{n}C^{n}}{n^{n}(m-n)^{m-n}}} ~~~\blacksquare$
最初の例1に戻って解いてみます.
$F_{t}(x)=\dfrac{1-(1-t^2)\cos x}{x}$とする.
$m=2$, $n=1$, $A=1$, $B=\dfrac{1}{2}$, $C=1$
$\lim\limits_{t \to 0}\dfrac{\min_x F_{t}(x)}{|t|}=m\sqrt[m]{\dfrac{A^{m-n}B^{n}C^{n}}{n^{n}(m-n)^{m-n}}}=\sqrt{2}$
