有界線形汎関数の上限がノルムに一致する条件

$\Phi$は同程度$r$-リプシッツ連続だから，$h_{\Phi}$も$r$-リプシッツ連続である．

明らか．

$f$の線形性より明らか．

1. $\pushout{\ev(tv)}(\Phi)=\pushout{(t\ev(v))}(\Phi)=t(\pushout{\ev(v)}(\Phi))$だから
   \begin{align*} h_{\Phi}(tv) &=\sup(t(\pushout{\ev(v)}(\Phi))) \\ &=t\sup(\pushout{\ev(v)}(\Phi)) \\ &=t h_{\Phi}(v). \end{align*}

2. $\pushout{\ev(u+v)}(\Phi)=\pushout{(\ev(u)+\ev(v))}(\Phi)\subset\pushout{\ev(u)}(\Phi)+\pushout{\ev(v)}(\Phi)$だから
   \begin{align*} h_{\Phi}(u+v) &\le\sup(\pushout{\ev(u)}(\Phi)+\pushout{\ev(v)}(\Phi)) \\ &=\sup(\pushout{\ev(u)}(\Phi))+\sup(\pushout{\ev(v)}(\Phi)) \\ &=h_{\Phi}(u)+h_{\Phi}(v). \end{align*}

3. (1), (2)より
   \begin{align*} h_{\Phi}((1-t)u+tv) &\le h_{\Phi}((1-t)u)+h_{\Phi}(tv) \\ &=(1-t)h_{\Phi}(u)+th_{\Phi}(v). \end{align*}

1. $\ev(v)$の線形性より$\pushout{\ev(v)}(t\Phi)=t(\pushout{\ev(v)}(\Phi))$が成り立つから
   \begin{align*} h_{t\Phi}(v) &=\sup(t(\pushout{\ev(v)}(\Phi))) \\ &=t\sup(\pushout{\ev(v)}(\Phi)) \\ &=th_{\Phi}(v). \end{align*}

2. $\ev(v)$の線形性より$\pushout{\ev(v)}(\Phi+\Psi)=\pushout{\ev(v)}(\Phi)+\pushout{\ev(v)}(\Psi)$が成り立つから
   \begin{align*} h_{\Phi+\Psi}(v) &=\sup(\pushout{\ev(v)}(\Phi)+\pushout{\ev(v)}(\Psi)) \\ &=\sup(\pushout{\ev(v)}(\Phi))+\sup(\pushout{\ev(v)}(\Psi)) \\ &=h_{\Phi}(v)+h_{\Psi}(v). \end{align*}

3. $\pushout{\ev(-v)}(\Phi)=\pushout{(-\ev(v))}(\Phi)=\pushout{\ev(v)}(-\Phi)$だから
   \begin{align*} h_{\Phi}(-v) &=\sup(\pushout{\ev(v)}(-\Phi)) \\ &=h_{-\Phi}(v). \end{align*}

4. $\Phi\subset \Psi$のとき$\pushout{\ev(v)}(\Phi)\subset \pushout{\ev(v)}(\Psi)$が成り立つから，$h_{\Phi}(v)\le h_{\Psi}(v)$である．

$h_{\Phi}$が汎弱閉凸包$\Phi':=\Cl_{\sigma(V^{\ast},V)}(\Conv{\Phi})$の support function$h_{\Phi'}$に一致することと，単位閉球$\overline{B}_{V^{\ast}}(0,1)$の support function がノルム$\norm{\cdot}_{V}$に一致することに注意しておく．

• $(1)\Rightarrow(2)$：$h_{\Phi}=\norm{\cdot}_{V}$のとき$h_{\Phi'}=h_{\overline{B}_{V^{\ast}}(0,1)}$だから，$\Phi'$と$\overline{B}_{V^{\ast}}(0,1)$がともに空でない汎弱閉凸集合であることにも注意すれば$\Phi'=\overline{B}_{V^{\ast}}(0,1)$を得る．
• $(2)\Rightarrow(1)$：$\Phi'=\overline{B}_{V^{\ast}}(0,1)$のときは，$h_{\Phi}=h_{\Phi'}=h_{\overline{B}_{V^{\ast}}(0,1)}=\norm{\cdot}_{V}$である．

1. • 一意性：詳細

     半正定値行列$X^2$の一意的な平方根を$\abs{X}$とおく．もし$X=X_{+}-X_{-}$かつ$X_{+}X_{-}=O$を満たす半正定値行列$X_{+},X_{-}\in\mathcal{S}^d$が存在すれば，$X_{+}+X_{-}$も半正定値であり
     $$ (X_{+}\pm X_{-})^2=X_{+}^2\pm X_{+}X_{-}\pm X_{-}X_{+}+X_{-}^2=X_{+}^2+X_{-}^2$$
     が成り立つことから$\abs{X}=X_{+}+X_{-}$，つまり次式が成り立たなければならない．
     $$ X_{+}=\frac{\abs{X}+X}{2}, \quad X_{-}=\frac{\abs{X}-X}{2}.$$

   • 存在性：詳細

     ：$X$の固有値を$\lambda_1,\cdots,\lambda_d$とし，直交行列$Q$によって$Q^\top XQ=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_d)$と対角化する．このとき$X_{+}:=Q\operatorname{diag}(\lambda_1^{+},\ldots,\lambda_d^{+})Q^\top$，$X_{-}:=Q\operatorname{diag}(\lambda_1^{-},\ldots,\lambda_d^{-})Q^\top$とおけばよい．ただし，実数$a$に対して
     $$ a^{+}:=\max(\{a,0\}), \quad a^{-}:=\max(\{-a,0\})$$
     として，$a=a^{+}-a^{-}$かつ$a^{+}a^{-}=0$が成り立つことを利用した．

2. $X$を直交行列$Q$によって$Q^\top XQ=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_d)=:D$と対角化しておくと，相似変換$S\mapsto Q^{\top}SQ$は固有値を変えないから，次式が成り立つ．
   $$ \mathcal{M}_{\lambda,\Lambda}^{+}(X)=\sup(\set{ \tr(S'D) }{ \text{$S'\in \mathcal{S}^d$ で，そのすべての固有値は $[\lambda,\Lambda]$ に属する} }).$$
   さて，$S'$が定める二次形式$\abra{S'\xi,\xi}$の条件$\abs{\xi}=1$の下での最大値・最小値は，$S'$の最大固有値・最小固有値にそれぞれ等しいのだった．よって$S'$の固有値がすべて$[\lambda,\Lambda]$に属していれば，$S'$の対角成分$\abra{S'e_j,e_j}$もすべて$[\lambda,\Lambda]$に属し，したがって
   \begin{align*} \tr(S'D) &=\sum_{j=1}^{d}\abra{S'e_j,e_j}\lambda_{j} \le \Lambda\sum_{j=1}^{d}\lambda_j^{+}-\lambda\sum_{j=1}^{d}\lambda_j^{-} =\Lambda\tr(X_{+})-\lambda\tr(X_{-}) \end{align*}
   が成り立つ．また，$S'$として特に
   $$ \mu_j:=\begin{cases}\lambda & (\lambda_j<0),\\\Lambda & (\lambda_j\ge 0)\end{cases}$$
   を対角成分に持つ対角行列$\operatorname{diag}(\mu_1,\ldots,\mu_d)$を考えれば$\tr(S'D)=\Lambda\tr(X_{+})-\lambda\tr(X_{-})$が成り立つから，$\mathcal{M}_{\lambda,\Lambda}^{+}(X)=\Lambda\tr(X_{+})-\lambda\tr(X_{-})$が示された．他の等式についても同様に示せる．

• $(1)\Rightarrow(2)$：詳細

  $Z:=X-Y$とおくと
  \begin{align*} F(X)-F(Y) &=F(Y+Z)-F(Y) \\ &=(F(Y+Z_{+}-Z_{-})-F(Y-Z_{-}))-(F(Y)-F(Y-Z_{-})) \\ &\begin{cases} \le \Lambda\tr(Z_{+})-\lambda\tr(Z_{-})=\mathcal{M}_{\lambda,\Lambda}^{+}(Z), \\ \ge \lambda\tr(Z_{+})-\Lambda\tr(Z_{-})=-\mathcal{M}_{\lambda,\Lambda}^{+}(-Z). \end{cases} \end{align*}

• $(2)\Rightarrow(1)$：詳細

  $Y$が半正定値であれば$\mathcal{M}_{\lambda,\Lambda}^{+}(Y)=\Lambda\tr(Y)$と$\mathcal{M}_{\lambda,\Lambda}^{+}(-Y)=-\lambda\tr(Y)$が成り立つから
  $$ \lambda\tr(Y)=-\mathcal{M}_{\lambda,\Lambda}^{+}(-Y)\le F(X+Y)-F(Y)\le \mathcal{M}_{\lambda,\Lambda}^{+}(Y)=\Lambda\tr(Y).$$

• $(1)\Rightarrow(2)$：詳細

  各$f\in F$の$\tau_{\textrm{ini}}(X,F)$に関する連続性と (1) より，$\family{f(x_\lambda)}{\lambda\in\Lambda}$は$f(x)$に収束する．

• $(2)\Rightarrow(1)$：詳細

  $\mathcal{N}_f$を$Y_f$の近傍系とし，$x$の$\tau_{\textrm{ini}}(X,F)$に関する開近傍$N$を任意に取る．このときinitial-topology-neighbourhood-baseより
  $$ x\in\bigcap_{j=1}^{n}\pullback{f_j}(N_j)\subset N $$
  を満たす$f_j\in F$と$N_j\in\mathcal{N}_{f_j}(f_j(x))$が取れる（$j=1,\ldots,n$）．すると (2) より「$\lambda_j\preceq\mu$ならば$f_j(x_\mu)\in N_j$」を満たす$\lambda_j\in\Lambda$が取れるから，$\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}$の上界$\lambda$を取れば，$\lambda\preceq\mu$のとき
  $$ x_\mu\in\bigcap_{j=1}^{n}\pullback{f_j}(N_j)\subset N $$
  が成り立つ．

$\mathcal{N}_{\R}(r):=\set{r+(-\varepsilon,\varepsilon)}{\varepsilon>0}$が$\R$の基本近傍系となることと，各$\phi\in \Phi$の線形性より$\pullback{\phi}(\phi(v)+(-\varepsilon,\varepsilon)) = v+\pullback{\phi}((-\varepsilon,\varepsilon))$が成り立つことに注意してinitial-topology-neighbourhood-baseを使えばよい．

• $(1)\Rightarrow(2)$：詳細

  $\psi_1,\ldots,\psi_m\in\Psi$を任意に取ると，$f$の$0$における連続性より
  $$ \bigcap_{j=1}^{n}\pullback{\phi_j}((-\delta,\delta))\subset \pullback{f}\Paren{\bigcap_{i=1}^{m}\pullback{\psi_i}((-1,1))}=\bigcap_{i=1}^{m}\pullback{(\psi_i\circ f)}((-1,1))$$
  を満たす$\delta>0$と$\phi_1,\ldots,\phi_n\in\Phi$が存在する．この包含関係は任意の$\varepsilon>0$と$v\in V$に対して
  $$ \Abs{\psi_i(f\Paren{\frac{\delta v}{\max(\set{\abs{\phi_j(v)}}{j=1,\ldots,n})+\varepsilon}})}<1 \qquad(i=1,\ldots,m), $$
  つまり$\max(\set{\abs{\psi_i(f(v))}}{i=1,\ldots,m})<\delta^{-1}(\max(\set{\abs{\phi_j(v)}}{j=1,\ldots,n})+\varepsilon)$が成り立つことを意味するから，$\varepsilon\to +0$として$C:=\delta^{-1}$と取れば良い．

• $(2)\Rightarrow(1)$：詳細

  点$v\in V$および$f(v)$の近傍$N$を任意に取ると，
  $$ f(v)+\bigcap_{i=1}^{m}\pullback{\psi_i}((-\delta,\delta)) \subset N $$
  を満たす$\delta>0$と$\psi_1,\ldots,\psi_m\in\Psi$が取れる．これは$f$の線形性より
  $$ v+\bigcap_{i=1}^{m}\pullback{(\psi_i\circ f)}((-\delta,\delta))=\pullback{f}\Paren{f(v)+\bigcap_{i=1}^{m}\pullback{\psi_i}((-\delta,\delta))} \subset \pullback{f}(N) $$
  を意味するが，(2) よりある$C>0$と$\phi_1,\ldots,\phi_n\in\Phi$が存在して
  $$ \bigcap_{j=1}^{n}\pullback{\phi_j}((-C^{-1}\delta,C^{-1}\delta))\subset \bigcap_{i=1}^{m}\pullback{(\psi_i\circ f)}((-\delta,\delta)) $$
  が成り立つから，$f$は$v$において連続である．

1. $V$上のネット$\family{v_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$が2点$v,u\in V$に弱収束すると仮定する．このときもし$v\ne u$であれば，ハーン・バナッハの拡張定理の系より$\phi(v-u)=\norm{v-u}_{V}$と$\norm{\phi}_{V^{\ast}}=1$を満たす$\phi\in V^{\ast}$が取れる．しかしこれは
   $$ 0=\phi(v_\lambda)-\phi(v_\lambda)\to \phi(v)-\phi(u)=\norm{v-u}_{V}>0$$
   を意味し矛盾する．したがって$v=u$である他なく，$V$はハウスドルフである．

2. $V^{\ast}$上のネット$\family{\phi_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$が2点$\phi,\psi\in V^{\ast}$に汎弱収束すると仮定する．このとき任意の$v\in V$に対して$\family{\phi_\lambda(v)}{\lambda\in\Lambda}$は$\phi(v),\psi(v)$に収束するから，$\R$のハウスドルフ性より$\phi(v)=\phi(v)$となる．したがって$\phi=\psi$だから，$V^{\ast}$はハウスドルフである．

$\phi\in\Phi$を任意に取ると，線形性より
\begin{align*} \phi(v_\lambda+ru_\lambda) &=\phi(v_\lambda)+r\phi(u_\lambda) \\ &\to \phi(v)+r\phi(u) \\ &=\phi(v+ru). \end{align*}

1. $\varepsilon>0$を任意に取る．このとき，$v\in t_v A$と$t_v< p_A(v)+\varepsilon$を満たす$t_v>0$と，$u\in t_u A$と$t_u< p_A(u)+\varepsilon$を満たす$t_u>0$が取れる．$A$の凸性より$v+u\in t_vA+t_uA\subset(t_v+t_u)A$となることを踏まえれば
   \begin{align*} p_{A}(v+u) &\le t_v+t_u< p_{A}(v)+p_{A}(u)+2\varepsilon \end{align*}
   であり，$\varepsilon$は任意だったから$p_{A}(v+u)\le p_{A}(v)+p_{A}(u)$を得る．

2. $p(0)=\inf((0,\infty))=0$より$s=0$の場合は明らか．$s>0$の場合は
   \begin{align*} p_{A}(sv) &=\inf(\set{ t>0 }{ sv\in tA }) \\ &=\inf(\set{ t>0 }{ v\in s^{-1}tA }) \\ &=\inf(s \set{ t>0 }{ v\in tA }) \\ &=s \inf(\set{ t>0 }{ v\in tA }) \\ &=s p_{A}(v). \end{align*}

3. $a\in A\setminus\{0\}$のとき，$B_V(a,r)\subset A$なる$r>0$が取れる．このとき$t>0$について$B_V(ta,tr)=tB_V(a,r)\subset tA$が成り立つから，$a\in B_V(ta,tr)$となるような$t$に対しては$p_A(a)\le t$といえる．この条件$\norm{a-ta}< tr$は$\frac{1}{1+r/\norm{a}}< t<\frac{1}{1-r/\norm{a}}$と同値だから，$p_A(a)\le \frac{1}{1+r/(2\norm{a})}<1$を得る．
   逆に$v\in V$が$p_A(v)<1$を満たすとき，$t\in[p_A(v),1)$で$v\in tA$を満たすものが取れるから，$A$の凸性より$v=v+(1-t)0\in tA+(1-t)A\subset A$となる．

1. $a_0,a_1\in A$と$b_0,b_1\in B$を任意に取る．このとき$A,B$の凸性より
   $$ (1-t)(a_0+b_0)+t(a_1+b_1)=((1-t)a_0+ta_1)+((1-t)b_0+tb_1)\in A+B$$
   が成り立つから，$A+B$も凸集合である．

2. 和の連続性より，各$b\in B$に対して$A+b$は開集合となるから，それらの和集合$A+B$も開集合である．