コリオリ力と遠心力を複素平面上で求める。

複素平面上でコリオリ力と遠心力を求める。
座標系として慣性系と回転系の二つの座標を考える。
回転座標と慣性座標
慣性系上の質点の座標を$r=x+iy$、一定の角速度$\omega$で回転し、時刻$t$における角度が$\theta (t)=\omega t$になる回転系上の座標$R=X+iY$であらわすと
$$\begin{array}{rcl}x& =& (X-Y\tan \theta )\cos \theta \\ & =& X\cos \theta -Y\sin \theta \\ y& =& \frac{Y}{\cos \theta }+x\tan \theta \\ & =& \frac{Y}{\cos \theta }+X\sin \theta -Y\frac{{\sin }^2\theta }{\cos \theta }\\ & =& X\sin \theta +\frac{Y-Y{\sin }^2\theta }{\cos \theta }\\ & =& X\sin \theta +Y\cos \theta \end{array}$$
よって慣性系座標$r$は回転系座標$R$を使って
$$\begin{array}{rcl}r& =& x+iy\\ & =& X\cos \theta -Y\sin \theta +i(X\sin \theta +Y\cos \theta )\\ & =& X(\cos \theta +i\sin \theta )+Y(-\sin \theta +i\cos \theta )\\ & =& X(\cos \theta +i\sin \theta )+iY(-\frac{1}{i}\sin \theta +\cos \theta )\\ & =& X(\cos \theta +i\sin \theta )+iY(i\sin \theta +\cos \theta )\\ & =& (X+iY)(\cos \theta +i\sin \theta )\\ & =& R{e}^{i\theta }\end{array}$$と簡潔に表せる。次に$r$を$t$で２階微分して
$$\begin{array}{rcl}\dot{r}& =& \dot{R}{e}^{i\theta }+Ri\omega e^{i\theta }=(\dot{R}+i\omega R)e^{i\theta }\\ \ddot{r}& =& (\ddot{R}+i\omega \dot{R})e^{i\theta }+(\dot{R}+i\omega R)i\omega e^{i\theta }\\ & =& (\ddot{R}+i\omega \dot{R}+i\omega \dot{R}-{\omega }^{2}R)e^{i\theta }\\ & =& (\ddot{R}+2i\omega \dot{R}-{\omega }^{2}R)e^{i\theta }\end{array}$$
よって、質点の質量を$m$としたときの運動方程式は
$$\begin{array}{rcl}m\ddot{r}& =& (\ddot{R}+2i\omega \dot{R}-{\omega }^{2}R)m{e}^{i\theta }\end{array}$$となる。ここで質点$m$に力が加わっていない状態を考える。
つまり$\ddot{r}=0$のとき、上式は
$$\begin{array}{rcl}0& =& (\ddot{R}+2i\omega \dot{R}-{\omega }^{2}R)m{e}^{i\theta }\end{array}$$となり式を整理して
$$\begin{array}{rcl}m\ddot{R}& =& -2im\omega \dot{R}+m{\omega }^{2}R\\ & =& 2m\omega (-i\dot{R})+m{\omega }^{2}R\end{array}$$を得る。
左辺の次元は力の次元。よって右辺の各項も力の次元である。
右辺第一項がいわゆるコリオリ力、第二項が遠心力である。
また第一項には$-i$が掛けられていることから、コリオリ力の方向は速度ベクトル$\dot{R}$の方向から時計回りに９０度回転した方向に一致することもわかる。また遠心力の方向は$R$の増加方向と一致することもわかる。