対象のクラス間写像に基づく圏の構成の紹介
対象のクラス間の写像に基づく圏の構成
はじめに
既存の圏の射を借りて新しく圏を構成する際のデザインパターンを紹介します。
圏論的構成とは言えませんが、素朴で汎用性も高く、知っておくと便利かもしれません。
このデザインパターンはCategories,Allegoriesという文献で多用されているものです。
注意
- 簡単のため集合全体のクラスなど大きなクラスを素朴に扱っていますが、文献ではGrothendieck universeを取っていたので、気になる人は適宜読み替えてください。
- $|\mathcal{A}|$と書いて、圏$\mathcal{A}$の対象のクラスを表すことにします。
本題
$\mathcal{C}$をクラス、$\mathcal{A}$を圏、$T \colon \mathcal{C} \to |\mathcal{A}|$をクラス間写像とする。
このとき、各$C,C' \in \mathcal{C}$と射$f \in \mathcal{A}$に対し、三項関係$\to$が次の三条件を満たすように与えられたとする。
- 任意の$C \in \mathcal{C}$に対し、$C \overset{1_{TC}}{\to} C$
- $C \overset{f}{\to} C'$かつ$C' \overset{g}{\to} C''$ならば$C \overset{g \circ f}{\to} C''$
- $C \overset{f}{\to} C'$ならば$f \in \mathcal{A}(TC,TC')$
このとき、各$C,C' \in \mathcal{C}$の間の射のクラス
$$ \mathcal{C}(C,C') \overset{\mathrm{def}}{=} \{ f \in \mathcal{A} \mid C \overset{f}{\to} C' \} $$
が定まり、射の合成や等号は$\mathcal{A}$の定義を引き継ぐことによって、圏が構成される。
恒等律は条件1.から、結合律は2.及び$\mathcal{A}$から天下り的に、それぞれ成り立つ。
このようにして定まった圏も$\mathcal{C}$で表すとする。
更に、条件3.により、クラス間写像$T$を関手$T \colon \mathcal{C} \to \mathcal{A}$に拡張できる。
各$C,C' \in |\mathcal{C}|$毎に、包含写像
$$ \mathcal{C}(C,C') \to \mathcal{A}(TC,TC'),\qquad f \mapsto f $$
があるので、これを$T$による射の割り当てと見なすのである。
このようにして定義された$T \colon \mathcal{C} \to \mathcal{A}$を忘却関手と呼ぶ。
上記の定義は$T$が共変関手のバージョンであるが、反変関手バージョンも定義可能である。これは三項関係$\to$の条件3.を
- $C\overset{f}{\to}C’$ならば$f\in \mathcal{A}(TC’,TC)$
に置き換えれば良い。
例
クラス
$$
\mathcal{C}
=
\{ (X,\mathcal{O}_X) \mid X\text{は集合、}\mathcal{O}_X\text{は}X\text{上の開集合系} \}
$$
が与えられたとする。(これは位相空間の全体からなるクラスである。)いまクラス間写像として射影
$$
T \colon \mathcal{C} \to |\mathbf{Set}|,\qquad
(X,\mathcal{O}_X) \mapsto X
$$
が存在している。ただし$\mathbf{Set}$は集合と写像からなる圏。
$T$に基づき、三項関係$\to$を次で定める。
$$
\begin{aligned}
(X,\mathcal{O}_X) \overset{f}{\to} (Y,\mathcal{O}_Y)
\overset{\mathrm{def}}{\iff}
&\ f\text{は}X\text{から}Y\text{への写像、かつ任意の}U \in \mathcal{O}_Y\text{に対し、}f^{-1}U \in \mathcal{O}_X.
\end{aligned}
$$
$\to$の条件が満たされることを確かめよう。
- $X$上の恒等写像$1_X$は、任意の$U \in \mathcal{O}_X$に対し、$1_X^{-1}U = U \in \mathcal{O}_X$を満たすので、$(X,\mathcal{O}_X)\overset{1_X}{\to} (X,\mathcal{O}_X)$。
- $(X,\mathcal{O}_X) \overset{f}{\to} (Y,\mathcal{O}_Y)$、$(Y,\mathcal{O}_Y) \overset{g}{\to} (Z,\mathcal{O}_Z)$のとき、合成写像$g\circ f$は$X$から$Z$への写像であり、任意の$U \in \mathcal{O}_Z$に対し$g^{-1}U \in \mathcal{O}_Y$かつ任意の$V \in \mathcal{O}_Y$に対し$f^{-1}V \in \mathcal{O}_X$であるから、任意の$U \in \mathcal{O}_Z$に対し$f^{-1}(g^{-1}U) \in \mathcal{O}_X$が成立する。よって$(X,\mathcal{O}_X) \overset{g\circ f}{\to} (Z,\mathcal{O}_Z)$。
- $(X,\mathcal{O}_X) \overset{f}{\to} (Y,\mathcal{O}_Y)$ならば$f \in \mathbf{Set}(X,Y)$であることは定義から従う。
以上より、$\to$は条件を満たす。
この$\to$にしたがって得られる圏は、位相空間と連続写像からなる圏で、一般には$\mathbf{Top}$とか$\mathbf{Sp}$などと書かれる。
$T$を拡張して得られる関手は、位相構造を忘れる忘却関手である。
$\mathbf{Set}$に向けて忘却関手が取れる圏、すなわち$|\mathbf{Set}|$へのクラス間写像に基づく圏を具体圏(concrete category)と呼ぶ。
$\mathbf{Rel}$を集合全体と二項関係が成す圏とし、クラス$\mathcal{C}$を$\mathcal{C} = |\mathbf{Rel}|$とする。
二項関係$R \in \mathbf{Rel}(A,B)$、$S \in \mathbf{Rel}(B,C)$の合成は、
$$
S\circ R
\overset{\mathrm{def}}{=}
\{ (a,c) \in A \times C
\mid
\text{ある } b \in B \text{ で } (a,b) \in R \text{ かつ } (b,c) \in S \text{ を満たすものが存在する}
\}
$$
で与えられる。
また恒等射$1_A$は、$A$上の対角線集合で与えられる。
$$
1_A \overset{\mathrm{def}}{=} \{ (a,a) \mid a \in A \}.
$$
写像$T \colon \mathcal{C} \to |\mathbf{Rel}|$を$|\mathbf{Rel}|$上の恒等写像として、$\to$を次で与える。
$$
A \overset{f}{\to} B \overset{\mathrm{def}}{\iff}
$$
- $f \subseteq A \times B$
- 任意の$a \in A$に対し、ある$b \in B$で$(a,b) \in f$を満たすものが存在する
- 任意の$(a,b),(a',b') \in f$で、$a = a'$ならば$b = b'$
$\to$の条件が満たされることを示そう。
- $A \overset{f}{\to} B$ならば$f \in \mathbf{Rel}(A,B)$であることと、$A \overset{1_{TA}}{\to} A$は、直ちに従う。
- $A \overset{f}{\to} B$かつ$B \overset{g}{\to} C$ならば$A \overset{g\circ f}{\to} C$であることを示す。関係の合成の定義より、
$$g\circ f = \{(a,c) \in A\times C \mid \text{ある$b\in B$で$(a,b)\in f$かつ$(b,c)\in g$}\}$$
$g\circ f \subseteq A\times C$は明らか。また任意の$a \in A$に対し、ある$b\in B$で$(a,b)\in f$であり、同じ$b$に対してある$c\in C$で$(b,c)\in g$が成り立つから、任意の$a\in A$に対しある$c\in C$で$(a,c)\in g\circ f$が成立。最後に、任意の$(a,c),(a’,c’) \in g\circ f$に対し、ある$b,b’\in B$で$(a,b),(a’,b’)\in f$かつ$(b,c),(b’,c’) \in g$が成り立つから、$a=a’$ならば$b=b’$、かつ$b=b’$ならば$c=c’$、よって$a=a’$ならば$c=c’$が従う。
$A \overset{f}{\to} B$は、$f$が写像であることと同値であり、得られた圏は集合と写像からなる圏$\mathbf{Set}$である。忘却関手$T\colon \mathbf{Set}\to \mathbf{Rel}$は包含関手と一致する。
$\mathcal{A}$を圏とし、$B$を$\mathcal{A}$の対象とする。
クラス$\mathcal{C}$を
$$
\mathcal{C}
\overset{\mathrm{def}}{=}
\{ a \in \mathcal{A} \mid \operatorname{cod}(a) = B \}
$$
で与える。
このとき、写像$\Sigma \colon \mathcal{C} \to |\mathcal{A}|$を
$$
a \mapsto \operatorname{dom}(a)
$$
で定めることができる。
これに基づいて$\to$を次で定義する。
$$
a \overset{f}{\to} a'
\overset{\mathrm{def}}{\iff}
a = a’ \circ f.
$$
$\to$の条件が満たされることを確かめよう。
- $a = a \circ 1_{\Sigma a}$より、$a \overset{1_{\Sigma a}}{\to} a$は成立。
- $a \overset{f}{\to} a'$かつ$a' \overset{g}{\to} a''$のとき、$a = a'\circ f$かつ$a' = a’’ \circ g$より、$a = (a’’ \circ g)\circ f = a’’ \circ (g \circ f)$。
よって$a \overset{g\circ f}{\to} a''$も成立。 - $a \overset{f}{\to} a'$のとき、$a = a’\circ f$より$\operatorname{dom}(a) = \operatorname{dom}(f)$かつ$\operatorname{cod}(f) = \operatorname{dom}(a')$であるから、$f \in \mathcal{A}(\Sigma a,\Sigma a')$が成り立つ。
こうして定義される圏を($\mathcal{A}$の)$B$上のスライス圏などと呼び、$\mathcal{A}/B$で書き表すのが通例である。
$\Sigma$は忘却関手$\mathcal{A}/B \to \mathcal{A}$へと拡張される。
$F \colon \mathcal{A} \to \mathbf{Set}$を関手とする。
このとき、$F$の値から次のクラスが得られる。
$$
\mathcal{C}
\overset{\mathrm{def}}{=}
\{ (x,A) \mid A \in |\mathcal{A}|,\ x \in FA \}.
$$
このクラスは、写像$T \colon \mathcal{C} \to |\mathcal{A}|$として
$$
(x,A) \mapsto A
$$
を備えている。
これに基づいて$\to$を次で定める。
$$
(x,A) \overset{f}{\to} (x',A')
\overset{\mathrm{def}}{\iff}
f \in \mathcal{A}(A,A')
\text{かつ}
x' = (Ff)x.
$$
この定義は条件を満たす。
- $1_A \in \mathcal{A}(A,A)$、$x \in FA$に対し、$x = (F1_A)x$は関手の公理より従うから、$(x,A) \overset{1_A}{\to} (x,A)$。
- $(x,A) \overset{f}{\to} (x',A')$、$(x',A') \overset{g}{\to} (x'',A'')$に対し、$x' = (Ff)x$かつ$x'' = (Fg)x’$であるから、
$$ x'' = (Fg)((Ff)x) = ((Ff)(Fg))x = (F(g\circ f))x $$
が成立する。
よって、$(x,A) \overset{g\circ f}{\to} (x'',A'')$が従う。 - $(x,A) \overset{f}{\to} (x',A')$ならば$f \in \mathcal{A}(A,A')$であることは定義から従う。
こうして定義された圏はFのcategory of elements（元の圏）と呼ばれ、一般に$\mathrm{el}(F)$とか$\mathbf{El}_F(\mathcal{A})$などと書かれる。
上記の例は共変集合値関手のcategory of elementsの定義であるが、反変集合値関手(前層)の場合には、忘却関手が反変関手になるバージョンの定義を採用すれば良い。
圏$\mathcal{A}$とクラス$\mathcal{C}$、さらに全射$T \colon \mathcal{C} \to |\mathcal{A}|$が与えられているものとする。
このとき、$T$に基づいて$\to$を最も自明な方法で定義する。
$$
C \overset{f}{\to} C'
\overset{\mathrm{def}}{\iff}
f \in \mathcal{A}(TC,TC').
$$
このとき、任意の$C,C' \in \mathcal{C}$に対し
$$
\mathcal{C}(C,C') = \mathcal{A}(TC,TC')
$$
が成立し、$\to$の条件は全て直ちに従う。
こうして得られる圏を、$\mathcal{A}$のインフレーションと呼ぶことにし、$[T]_{\mathcal{A}}$と書くことにする。
忘却関手$T \colon [T]_{\mathcal{A}} \to \mathcal{A}$は、充満忠実で対象上全射な関手であることが定義から直ちに従う。
圏のインフレーションは、随分と簡素な定義である。
これがどういう時に役立つかというと、圏同値が関わる議論の中で意外と活用の機会がある。
以下にインフレーションの活用例を示して終わりにしよう。
圏$\mathcal{A}$は有限積を持つとする。
このとき、有限積を持つ圏$\mathcal{A}'$で、圏$\mathcal{A}$と圏同値であり、しかも任意の対象$B' \in |\mathcal{A}'|$に対し、関手
$$
B' \times - \colon \mathcal{A}' \to \mathcal{A}'
$$
が対象上単射になるものが存在する。
$B \times -$とは、
$$
\begin{aligned}
A &\mapsto B \times A,\\
A \overset{f}{\to} A' &\mapsto B \times A \overset{1_B \times f}{\to} B \times A'
\end{aligned}
$$
で定義される関手であり、有限積を持つ圏には標準的に備わる。
これは一般に、対象上単射とは限らない。
例えば自然数の冪集合を対象のクラスとし、包含順序関係を射と見做した圏$(\mathcal{P}(\mathbb{N}),\subseteq)$は、共通部分$\cap$を二項積、全体集合$\mathbb{N}$を空積、すなわち終対象として有限積を持つが、例えば$\emptyset \cap -$が対象上単射でないことは明らかだろう。
しかし、この例にさえ、ある圏同値な圏で任意の対象$B$に関して$B \times -$が対象上単射であるものが存在する、というのが命題の主張である。
有限積を持つ圏$\mathcal{A}$が任意に与えられたとする。
このとき、クラス$\mathcal{C}$を
$$
\mathcal{C}
\overset{\mathrm{def}}{=}
\sum_{n \in \mathbb{N}} |\mathcal{A}|^n
$$
で定義する。
つまりクラス$\mathcal{C}$は、圏$\mathcal{A}$の対象の有限列の全体である。
証明の方針
- $\mathcal{A}$には有限積があるので、対象の有限列を積で一つの対象に畳み込むことが出来る。これが$\mathcal{C}$から$|\mathcal{A}|$への全射を与えるので、$\mathcal{A}$のインフレーションを作れる。
- 有限列同士の連接が二項積を与え、空列が終対象となる。有限列の連接は単射であることが示せて、$[T]_{\mathcal{A}}$では$B\times -$は一般に対象上単射になる。
- $F\colon \mathcal{A}\to [T]_{\mathcal{A}},A \mapsto (A),A\overset{f}{\to} A’ \mapsto (A)\overset{f}{\to} (A’)$という関手が作れて、$T$と共に圏同値を与える。
という流れで示していく。
証明の詳細
$\mathcal{C}$には、次を満たす等号が入っている。
$$
(A_1,A_2,\cdots,A_k) = (B_1,B_2,\cdots,B_l)
\iff
k = l
\text{ かつ任意の } i \colon 1 \leq i \leq k \text{ で } A_i = B_i.
$$
いま$\mathcal{A}$には有限積があるから、$\mathcal{C}$から$\mathcal{A}$へ次の写像が定義できる。
$$
T \colon \mathcal{C} \to |\mathcal{A}|,\qquad
(A_1,A_2,\cdots,A_k)
\mapsto
(\cdots((A_1 \times A_2)\times A_3)\times \cdots \times A_{k-1})\times A_k.
$$
ただし、空列は$\mathcal{A}$の終対象に送ることにする。
以後、
$$
(\cdots((A_1 \times A_2)\times A_3)\times \cdots \times A_{k-1})\times A_k
$$
を
$$
\prod_{i=1}^{k} A_i
$$
と書くことにする。
$T$は長さ$1$の列$(A)$を$A$に移すから、全射である。
そこで$\mathcal{C}$上に$\mathcal{A}$のインフレーション$[T]_{\mathcal{A}}$を構成できる。
$[T]_{\mathcal{A}}$は列の連接を二項積、空列を終対象に持ち、したがって有限積を持つ。
$$
(A_1,A_2,\cdots,A_k) \times (B_1,B_2,\cdots,B_l)
\overset{\mathrm{def}}{=}
(A_1,A_2,\cdots,A_k,B_1,B_2,\cdots,B_l).
$$
普遍性はインフレーションの定義から確かめられる。
この二項積に関して、任意の$\vec{B} = (B_1,B_2,\cdots,B_l) \in |[T]_{\mathcal{A}}|$に対し、
$$
\vec{B}\times - \colon [T]_{\mathcal{A}} \to [T]_{\mathcal{A}}
$$
が対象上単射であることは、等号の定義から直ちに従う。
(厳密に示したければ、等号を再帰的に定義し直して$\vec{B}$の列長に関する帰納法を使えばよい。)
次に$[T]_{\mathcal{A}}$が$\mathcal{A}$と圏同値であることを示そう。
関手$F \colon \mathcal{A} \to [T]_{\mathcal{A}}$を次で定める。
$$
\begin{aligned}
A &\mapsto (A),\\
A \overset{f}{\to} A' &\mapsto (A) \overset{f}{\to} (A').
\end{aligned}
$$
$T\circ F= 1_{\mathcal{A}}$であることは直ちに分かる。
また、$F\circ T\simeq 1_{[T]_{\mathcal{A}}}$であることも、インフレーションの定義より
$$
[T]_{\mathcal{A}}
\left(
(A_1,A_2,\cdots,A_k),
\left(\prod_{i=1}^{k} A_i\right)
\right)
=
\mathcal{A}
\left(
\prod_{i=1}^{k} A_i,
\prod_{i=1}^{k} A_i
\right)
$$
であるから、任意の$(A_1,A_2,\cdots,A_k)$に対して$1_{\prod_{i=1}^{k}A_i}$が表示する同型射
$$
(A_1,A_2,\cdots,A_k)
\overset{\sim}{\to}
\left(\prod_{i=1}^{k} A_i\right)
$$
が得られている。(これは$\mathcal{A}$では恒等射だが、$[T]_{\mathcal{A}}$では必ずしも恒等射ではないことに注意。)
インフレーションの定義より、これらが自然同型$F\circ T \simeq 1_{[T]_{\mathcal{A}}}$を与えることが従う。
よって$[T]_{\mathcal{A}}$は求めていた条件を満たす。
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