本田理論への予備知識①形式的べき級数環

299

本田理論への予備知識①形式的べき級数環

形式的べき級数環の定義と諸性質

環論には多項式環と呼ばれる以下のようなものがある.
なお,$\mathbb{N}$は$0$を含んでいるとする.また, 環といえば単位元付きで結合的可換環とする.

多項式環

$A$を環. $1_A$で$A$の単位元を表わすことにする.
このとき,直和$\bigoplus A$と単位元$1_{\bigoplus A}$ ,零元$0_{\bigoplus A}$,二つの二項演算
$f:\bigoplus A ×\bigoplus A \to\bigoplus A, ((a_i)_{i\in\mathbb{N}},(b_j)_{j\in\mathbb{N}}) \mapsto ( \sum_{i+j=n} a_ib_j)_{n\in\mathbb{N}} $
$ g:\bigoplus A ×\bigoplus A \to\bigoplus A, ((a_i)_{i\in\mathbb{N}},(b_j)_{j\in\mathbb{N}}) \mapsto ( a_i+b_i)_{i\in\mathbb{N}}$
の4つ組$(\bigoplus A,1_{\bigoplus A},0_{\bigoplus A},f,g )$が環の定義を満たすとき, 環$A$上の多項式環といい,$A[X]$と表し, $A[X]$の元を$f(X)= \sum_{n\in\mathbb{N}} a_nX^n (a_n\in A,$有限個の元を除き$a_n=0 )$と表す.

このとき, 環だけに勘の良い人ならこの多項式環の元は多項式だが, べき級数だとしても問題ないのでは？と思うであろう. しかし, べき級数にしてしまうと多項式と違って, それは無限和であり収束性, 完備性の問題が出てくる.
しかしながら,$X$で割り切れれば割り切れるほど小さくなるような世界, いわば,$p$進数の世界がそうであったように多項式に関してもそのような世界に拡張してしまえばよいと思えてくる($p$進数について知らない読者は[黄色雪江]等を参照せよ).
以下がそうして拡張した, べき級数の世界の定義である.

形式的べき級数環

$A[X]$を環$A$上の多項式環とする.
副有限環$A[[X]]:=\varprojlim A[X]/(X^n)$を$A$上の形式的べき級数環という.
$A[[X]]$の元を$f(X)= \sum_{n\in\mathbb{N}} a_nX^n (a_n\in A)$と表す.

ここで射影極限を使ってしまっているが, 射影極限を知らない読者は上の多項式環の場合と同様にべき級数を集めて多項式の場合と同じように計算している環などだと思っていただいて差し支えない(もしくは, 乗法的付値$v(f(X))=t^{-deg(f(X))}(t$は正の実数$)$によって定められた距離位相による$A[X]$の完備化と定義してもよい).また, 射影極限について知りたい読者は[黄色雪江]等を参照せよ.
このとき, $p$進数と同じような単元に関する性質を形式的べき級数は持ち合わせている.

形式的べき級数環$A[[X]]$に関して以下の条件$(1),(2)$は同値である.
$(1)$$f(X)\in A[[X]]$は単元
$(2)$$f(0)\in A$は単元

$(1) \Rightarrow (2) $は明らかであろう.
$(2) \Rightarrow (1) $は初等的な計算によって確かめられる.
実際,
$f(X)= \sum_{n\in\mathbb{N}} a_nX^n (a_n\in A,a_0$は単元$)$とし,$ g(X)= \sum_{n\in\mathbb{N}} b_nX^n (b_n\in A,b_0=a_{0}^{-1},b_{i}=-a_{0}^{-1}\sum_{i_1,i_2\in \mathbb{N},i_1+i_2=i} a_{i_1}b_{i_2}(i \geq 1 )) $とすると, $g(X)$は$f(X)$の逆元であることが計算によってわかる(各自確かめよ).

ここで一つ局所環の定義をおさらいする.

局所環

$A$を環とし, 唯一つの極大イデアル$m$を持つとき,組$(A,m)$を局所環という.

局所環には以下のような自明な言い換えがある.

環$A$に関して以下の条件$(1),(2)$は同値である.
$(1)A$は局所環
$(2)$環$A$において,$ A\setminus A^×$は自明でないイデアル

命題1,2を組み合わせると以下のようなことが言えるが証明は簡単なため省く.

体$k$上の形式的べき級数$k[[X]]$は$(X)$を唯一つの極大イデアルとしてもつ局所環

ここで上の命題に関して,一般のべき級数環について成り立つかどうかが気になる.成り立たないのなら体のどういう性質が効いているのか気になるところであるが, これは読者の練習問題とする(例えば, $\mathbb{Z}$や$\mathbb{Z}_p$上の形式的べき級数環を考えてみよ).

合成・微分・積分

以下, 形式的べき級数環に微積分(形式的な)をできるようにするために準備をする.

$A$を環,$I\in A$をイデアルとし, 任意の$f(X), g(X)\in A[[X]]$に対して,
$(1)f(X) \equiv g(X)$$mod$$deg$$d$$: \Leftrightarrow $$f(X)-g(X)$は次数$d-1$以下の係数は全て$0$である.
$(2)f(X) \equiv g(X)$ $ mod$$I$$: \Leftrightarrow $$f(X)-g(X)$の全ての係数は$I$の元である.
$(3)f(X) \equiv g(X)$$mod$$deg$$d$$,I$$: \Leftrightarrow $$f(X)-g(X)$は次数$d-1$以下の係数は全て$I$の元である.
(1)-(3)は$A[[X]]$の二項関係であり,これは同値関係になっている.
$A[[X]]_0:=\{f(X)\in A[[X]] \colon f(X) \equiv 0$$mod$$deg$$1$$ \}$とする.

合成

$A$を環とし, 任意の$f(X)\in A[[X]], g(X)\in A[[X]]_0$に対して,
$f\circ g$$(X):=f(g(X))$とする.
またー, 任意の$f(X)\in A[[X]]_0$に対して,ある$g(X)\in A[[X]]_0$があり,
$f(g(X))=g(f(X))=X$満たすとき, $f(X)$は可逆であるといい, $g(X)$を$f(X)$の逆元といい, $f^{-1}(X)$と表す.

合成のWell-defined性

$A$を環とし,任意の$f(X)\in A[[X]], g(X)\in A[[X]]_0$に対して,
$f\circ g$$(X)=f(g(X))\in A[[X]]$.

$f(X)= \sum_{i \geq 0}a_iX^i\in A[[X]], g(X)=\sum_{i \geq 1}b_iX^i\in A[[X]]_0 $とし, 任意の項の係数部分が有限和であることを示せばよい.
$f\circ g$$(X)=f(g(X))= f(X)= \sum_{i \geq 0}a_i (\sum_{j\geq 1}b_jX^j)^i$
= $a_0+\sum_{i \geq 1}a_i\sum_{n \geq i} (\sum_{j_1+j_2+ \cdots +j_i=n,j_1,j_2, \cdots ,j_i\geq 1 }b_{j_1j_2 \cdots j_i}X^n)$ $(b_{j_1j_2 \cdots j_i}:= \prod_{k=1}^{i} b_{j_k})$と表せ, 任意の自然数$k\geq 1$に対して,
$(X^k$の係数部分)$= \sum_{i=1}^{k}a_i (\sum_{j_1+j_2+ \cdots +j_i=k,j_1,j_2, \cdots ,j_i\geq 1 }b_{j_1j_2 \cdots j_i})$と有限和で表せる. よって,$f\circ g$$(X)=f(g(X))\in A[[X]]$.

合成の性質

$(1)$任意の$f(X)\in A[[X]]$と任意の$g(X), h(X)\in A[[X]]_0$に対して,
$ ((f\circ g)\circ h)(X)=(f\circ(g\circ h))(X)$が成り立つ.
$(2)$任意の$g(X)\in A[[X]]_0$に対して, ある$h(X)\in A[[X]]_0$が存在して, $(g\circ h)(X)=X$が成り立つことと$(h\circ g)(X)=X$が成り立つことは同値である.
$(3)$任意の$g(X)\in A[[X]]_0$に対して,逆元が存在すれば一意的である.

考えればわかる証明なので読者に預ける.

微分・積分・良い気分

$(1)$$A$環とし,任意の$f(X)=\sum_{i\geq 0}a_iX^i \in A[[X]]$に対して,$f(X)$の$X$に関する(項別)微分を$f'(X):=\sum_{i\geq 0}ia_{i+1}X^{i} \in A[[X]]$により定義する.
また,$\mathbb{Q}\subset$$A$のとき,$f(X)$の$X$関する(項別)積分を
$$ \int{f(X)dX}:=\sum_{i\geq 0}\frac{a_i}{i+1}X^{i+1} $$
により定義する.