リー代数1.2.2　イデアルと準同型　

線型空間の準同型定理を認めて証明する。
つまり、$f:L/\mathrm{Ker}\phi \to \mathrm{Im}\phi ,f(x+\mathrm{Ker}\phi ):=\phi (x)$
が線型同型を与えるということを認める。
この写像がかっこ積を保つことを確認する。
$x+\mathrm{Ker}\phi$を$\overline{x}$とかくことにする。
$x,y\in L$を任意にとると、
$f([\overline{x},\overline{y}])=f(\overline{[x,y]})=\phi ([x,y])=[\phi (x),\phi (y)]=[f(\overline{x}),f(\overline{y})]$
であるので、$f$は$\mathrm{Lie}$代数の同型写像である。　$◻$

　随伴表現$\mathrm{ad}:L\to \mathfrak{gl}(L)$を考える。
$L$は非可換単純$\mathrm{Lie}$代数より、$\mathrm{Ker}(\mathrm{ad})=Z(L)=\{0\}$ である。
よって、準同型定理より、$L\cong \mathrm{Im}(\mathrm{ad})\subset \mathfrak{gl}(L)$
$\dim L:=n<\mathrm{\infty }$より、$L$の基底を一つ固定して、表現行列を作ることで、$\mathfrak{gl}(L)\cong {\mathfrak{gl}}_n(\mathbb{F})$となる。
したがって、$L$は${\mathfrak{gl}}_n(\mathbb{F})$の部分$\mathrm{Lie}$代数と同型となる。
つまり、$L$は線型$\mathrm{Lie}$代数である。　$◻$