素微分は微分

自己紹介

私は、kzaukzau(カズカズ)と申します。
主にMathlogで記事を書いてます。

よろしくお願いします。

素微分の紹介[1]

素微分$D(a)$の定義

$a$ を $0$ でない有理数とする。その素因数分解を

$$a=\pm \prod _{p\in \mathbb{P}}{p}^{e_p}$$

と書く。ただし、$\mathbb{P}$ は素数全体の集合であり、$e_p$ は整数である。  
このとき、有理数$D(a)$を次のように定義する：

$$D(a)=a\sum _{p\in \mathbb{P}}\frac{e_p}{p}$$
また、$D(0)=0$ とする。

素微分の性質　ライプニッツルール

$D(ab)=aD(b)+bD(a)$
（証明は後述する）

素微分の性質　和の公式が破綻

$D(5)=1$
$D(1)=0$
$D(4)=4$
$5=1+4$
$D(5)\ne D(1)+D(4)$となり和の公式が成り立たなく、通常の微分と異なる。

素微分は微分

有理関数 $f_a(x)$ の定義

$a$ を $0$ でない有理数とする。その素因数分解を

$$a=\pm \prod _{p\in \mathbb{P}}{p}^{e_p}$$

と書く。ただし、$\mathbb{P}$ は素数全体の集合であり、$e_p$ は整数である。  
このとき、有理関数 $f_a(x)$を次のように定義する：

$$f_a(x)=\pm \prod _{p\in \mathbb{P}}(p+x{)}^{e_p}$$

$f_a(x)$が$x=0$ で $a$ となることの確認

$x=0$ を代入すると、

$$f_a(0)=\pm \prod _{p\in \mathbb{P}}{p}^{e_p}$$

ここで、素因数分解の定義より

$$\pm \prod _{p\in \mathbb{P}}{p}^{e_p}=a$$

であるため、

$$f_a(0)=a$$

よって、確かに $f_a(0)=a$ である。

$f_a^{\prime }(0)=D(a)$

$$f_a(x)=\pm \prod _{p\in \mathbb{P}}(p+x{)}^{e_p}$$

両辺の絶対値の対数を取ると、

$$\log |f_a(x)|=\sum _{p\in \mathbb{P}}{e}_p\log (p+x)$$

これを $x$ で微分すると、

$$\frac{f_a^{\prime }(x)}{f_a(x)}=\sum _{p\in \mathbb{P}}\frac{e_p}{p+x}$$

よって、

$$f_a^{\prime }(x)=f_a(x)\sum _{p\in \mathbb{P}}\frac{e_p}{p+x}$$

$x=0$ で評価すると、

$$f_a^{\prime }(0)=f_a(0)\sum _{p\in \mathbb{P}}\frac{e_p}{p}$$

ここで、

$$f_a(0)=a$$

したがって、

$$f_a^{\prime }(0)=a\sum _{p\in \mathbb{P}}\frac{e_p}{p}=D(a)$$

$f_a(x)$の完全乗法的の証明

$a,b$ を 0 でない有理数とし、それぞれの素因数分解を
$$a=\pm \prod _{p\in \mathbb{P}}{p}^{e_p},b=\pm \prod _{p\in \mathbb{P}}{p}^{v_p}$$
と表す。このとき、積 $ab$ の素因数分解は
$$ab=\pm \prod _{p\in \mathbb{P}}{p}^{e_p+v_p}$$
であるため、
$$f_{ab}(x)=\pm \prod _{p\in \mathbb{P}}(p+x{)}^{e_p+v_p}$$
これより、
$$f_a(x)f_b(x)=(\pm \prod _{p\in \mathbb{P}}(p+x{)}^{e_p})\cdot (\pm \prod _{p\in \mathbb{P}}(p+x{)}^{v_p})$$
$$=\pm \prod _{p\in \mathbb{P}}(p+x{)}^{e_p+v_p}=f_{ab}(x)$$
したがって、
$$f_a(x)f_b(x)=f_{ab}(x)$$
となり、$f_a(x)$ が完全乗法的であることが示された。

素微分のライプニッツ則の証明

完全乗法的と関数の積の微分公式より、
$$f_{ab}^{\prime }(x)=f_a^{\prime }(x)f_b(x)+f_a(x)f_b^{\prime }(x)$$
ここで、$x=0$ を代入すると、
$$f_{ab}^{\prime }(0)=f_a^{\prime }(0)f_b(0)+f_a(0)f_b^{\prime }(0)$$
$f_a(0)=a$, $f_b(0)=b$, $f_a^{\prime }(0)=D(a)$, $f_b^{\prime }(0)=D(b)$ より、
$$D(ab)=aD(b)+bD(a)$$
以上により、素微分のライプニッツ則が示された。

今後考えたい気になること

1 足し算

$f_a(x),f_b(x),f_{a+b}(x)$に何か関係性があってほしい。

2 $f_a(x)$の定義

$f_a(x)$の$1$次係数が$D(a)$であるため、$2$次以降は考えなかったが、たとえば完全乗法的で、
素数$p$を$p{e}^{\frac{2\pi ix}{p}}$に
微分'の代わりに$\frac{d}{2\pi idx}$を考えても定数項は等しく$1$次も微分を変更したので、同じことが言える。

蛇足2025/02/14　参考文献[2]との関係

本記事では、$0$でない有理数の素因数分解から関数$f_a(x)$を構成し、$f_a(x)mod{x}^2$で$x$の$1$次の項を考えました。
参考文献[2]の素微分とは異なる「数の微分」について少し書く。
分母が素数$p$と互いに素な有理数$a$の$p$進数展開の定数項と$1$次の項を考えます。
定義
$a\equiv a_0+a_{1}p,b\equiv b_0+b_{1}pmod{p}^2$とする。
$D_p(a)=a-a_{0}mod{p}^2$を「数の微分」としたとき、
$D_p(ab)\equiv a{D}_p(b)+D_p(a)bmod{p}^2$がなりたつ。
証明
$$D_p(ab)=ab-a_0{b}_0\equiv (a_0+a_{1}p)(b_0+b_{1}p)-a_0{b}_0\equiv p(a_0{b}_1+a_1{b}_0)mod{p}^2$$
$$a{D}_p(b)+D_p(a)b\equiv (a_0+a_{1}p)(b-b_0)+(a-a_0)(b_0+b_{1}p)\equiv p(a_0{b}_1+a_1{b}_0)mod{p}^2$$