3φ2の隣接関係式
前の記事
でbalanced${}_4\phi_3$の隣接関係式をいくつか導いた. 今回はそれらを特殊化することで,
\begin{align}
\phi&:=\phi(a,b,c,d,e)\\
&=\Q32{a,b,c}{d,e}{\frac{de}{abc}}
\end{align}
の隣接関係式を導きたいと思う. (前の記事と$\phi$の定義が違うことに注意.) 以下,
前の記事
と同様に$\phi$において$a,b$を$a/q,bq$に置き換えたものとして$\phi(a-,b+)$のような記法を用いる.
\begin{align}
\Q43{a,b,c,d}{e,f,g}q\qquad abcdq=efg
\end{align}
において, $d=q^{-N}$として$d,g$以外を固定して$N\to\infty$とすると,
\begin{align}
\lim_{N\to\infty}\Q43{a,b,c,q^{-N}}{e,f,g}q=\phi(a,b,c,e,f)
\end{align}
となることを用いる. まず,
前の記事
の定理2において, 両辺を$-g$で割ってから上のように$d,g$以外を固定して$N\to\infty$とすると
\begin{align}
&b(1-b)(a-e)(a-f)(aq-b)(\phi(a-,b+,c,e,f)-\phi(a,b,c,e,f))\\
&-a(1-a)(b-e)(b-f)(bq-a)(\phi(a+,b-,c,e,f)-\phi(a,b,c,e,f))\\
&+\frac{ef}{cq}(b-a)(1-c)(aq-b)(bq-a)\phi(a,b,c,e,f)=0
\end{align}
となる. 変数を置き換えて以下を得る.
\begin{align} &b(1-b)(a-d)(a-e)(aq-b)(\phi(a-,b+)-\phi)\\ &-a(1-a)(b-d)(b-e)(bq-a)(\phi(a+,b-)-\phi)\\ &+\frac{de}{cq}(b-a)(1-c)(aq-b)(bq-a)\phi=0 \end{align}
元のAskey-Wilsonの隣接関係式と比較して, この$\phi$はterminatingである必要がないということに注意. 次に,
前の記事
の定理2において, 今度は$b^4$で割ってから$b=q^{-N},g$以外を固定して$N\to\infty$とすると
\begin{align}
&-\frac{acdq}{ef}(a-e)(a-f)(\phi(a-,c,d,e,f)-\phi(a,c,d,e,f))\\
&-aq(1-a)(1-acdq/ef)(\phi(a+,c,d,e,f)-\phi(a,c,d,e,f))\\
&-aq(1-c)(1-d)\phi(a,c,d,e,f)=0
\end{align}
となる. 変数を置き換えて整理すると以下を得る.
\begin{align} &\frac{bc}{de}(a-d)(a-e)(\phi(a-)-\phi)\\ &+(1-a)(1-abcq/de)(\phi(a+)-\phi)+(1-b)(1-c)\phi=0 \end{align}
次に,
前の記事
の定理3において, 同じように両辺を$g$で割って$N\to\infty$とすると,
\begin{align}
&f(1-a)(1-e/b)(1-e/c)(\phi(a+,b,c,e+,f)-\phi(a,b,c,e,f))\\
&-aq(1-e/q)(1-e)(1-f/a)(\phi(a-,b,c,e-,f)-\phi(a,b,c,e,f))\\
&-\frac{aef}{bc}(1-e/a)(1-b)(1-c)\phi(a,b,c,e,f)=0
\end{align}
となる. 変数を置き換えて以下を得る.
\begin{align} &e(1-a)(1-d/b)(1-d/c)(\phi(a+,d+)-\phi)\\ &-aq(1-d/q)(1-d)(1-e/a)(\phi(a-,d-)-\phi)\\ &-\frac{ade}{bc}(1-d/a)(1-b)(1-c)\phi=0 \end{align}
次に,
前の記事
の定理3において, 今度は$a^2$で割ってから$a=q^{-N},g$以外を固定して$N\to\infty$とすると,
\begin{align}
&-\frac{bcdq}{e}(1-e/b)(1-e/c)(1-e/d)(\phi(b,c,d,e+,f)-\phi(b,c,d,e,f))\\
&+q(1-e/q)(1-e)(1-bcdq/ef)(\phi(b,c,d,e-,f)-\phi(b,c,d,e,f))\\
&+q(1-b)(1-c)(1-d)\phi(b,c,d,e,f)=0
\end{align}
となる. 変数を置き換えて整理すると以下を得る.
\begin{align} &(a-d)(b-d)(c-d)(\phi(d+)-\phi)\\ &-d(1-d/q)(1-d)(1-abcq/de)(\phi(d-)-\phi)-d(1-a)(1-b)(1-c)\phi=0 \end{align}
次に,
前の記事
の定理4において, 同じように両辺を$e$で割って$d,e$を固定して$N\to\infty$とすると,
\begin{align}
&\frac{(1-f/q)(1-f)(1-g/a)(1-g/b)(1-g/c)}{1-gq/f}(\phi(a,b,c,f-,g+)-\phi(a,b,c,f,g))\\
&-\frac{(1-g/q)(1-g)(1-f/a)(1-f/b)(1-f/c)}{1-fq/g}(\phi(a,b,c,f+,g-)-\phi(a,b,c,f,g))\\
&-\frac{fg}{abcq}(f-g)(1-a)(1-b)(1-c)\phi(a,b,c,f,g)=0
\end{align}
となる. 変数を置き換えて以下を得る.
\begin{align} &\frac{(1-d/q)(1-d)(1-e/a)(1-e/b)(1-e/c)}{1-eq/d}(\phi(d-,e+)-\phi)\\ &-\frac{(1-e/q)(1-e)(1-d/a)(1-d/b)(1-d/c)}{1-dq/e}(\phi(d+,e-)-\phi)\\ &-\frac{de}{abcq}(d-e)(1-a)(1-b)(1-c)\phi=0 \end{align}
前の記事
の定理5は以下のように今回の$\phi$に関しても全く同じ形で成り立っている. さらに, 前の記事の定理5において, 1つ目の式の両辺を$a$で割ってから$a=q^{-N}, g$を固定して$N\to\infty$とすると,
\begin{align}
(1-b)\phi(b+)-(1-c)\phi(c+)&=(c-b)\phi
\end{align}
も得られる. まとめると以下のようになる.
\begin{align} &a(1-b)(1-cq/a)\phi(a-,b+)-a(1-c)(1-bq/a)\phi(a-,c+)\\ &=q(b-c)(1-a/q)\phi\\ &(1-a)(e-b)\phi(a+,e+)-(1-b)(e-a)\phi(b+,e+)\\ &=(a-b)(1-e)\phi\\ &(1-b)\phi(b+)-(1-c)\phi(c+)\\ &=(c-b)\phi \end{align}
古典極限
\begin{align}
F&=F(a,b,c,d,e)\\
&:=\F32{a,b,c}{d,e}1
\end{align}
とする. $F$における$a,b$を$a-1,b+1$に置き換えたものを$F(a-,b+)$のように表すとする. 定理1から定理6の古典極限を考えると以下が得られる.
\begin{align} &b(d-a)(e-a)(b-a-1)(F(a-,b+)-F)\\ &-a(d-b)(e-b)(a-b-1)(F(a+,b-)-F)\\ &+(a-b)(a-b-1)(b-a-1)cF=0 \end{align}
\begin{align} &(d-a)(e-a)(F(a-)-F)\\ &+a(1+a+b+c-d-e)(F(a+)-F)+bcF=0 \end{align}
\begin{align} &a(d-b)(d-c)(F(a+,d+)-F)\\ &-d(d-1)(e-a)(F(a-,d-)-F)-(d-a)bcF=0 \end{align}
\begin{align} &(d-a)(d-b)(d-c)(F(d+)-F)\\ &-d(d-1)(1+a+b+c-d-e)(F(d-)-F)-abcF=0 \end{align}
\begin{align} &\frac{d(d-1)(e-a)(e-b)(e-c))}{1+e-d}(F(d-,e+)-F)\\ &-\frac{e(e-1)(d-a)(d-b)(d-c)}{1+d-e}(F(d+,e-)-F)+abc(d-e)F=0 \end{align}
\begin{align} b(1+c-a)F(a-,b+)-c(1+b-a)F(a-,c+)&=(c-b)(a-1)F\\ a(b-e)F(a+,e+)-b(1-e)F(b+,e+)&=(b-a)eF\\ bF(b+)-cF(c+)&=(b-c)F \end{align}
