京大数学院試過去問解答例(2022専門02)

初めに
$$a=\sqrt{u^2{t}^2-t}$$
$$b=\sqrt{-ut+a}$$
$$c=\sqrt{-ut-a}$$
とおく。このときアイゼンシュタインの既約法より$f$は既約であるから、$[K(b):K]=4$である。ここで$M=K(b)$が$K$上ガロアであるとする。このとき$\sqrt{t},c\in M$であるから、拡大次数を考えると
$$M=K(a,\sqrt{t})=K(\sqrt{1-u^{2}t},\sqrt{t})$$
$$H=\mathrm{Gal}(M/K)=(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^2$$
である。このとき$H$の元は
$${\sigma }_0(b)=b,{\sigma }_0(c)=c$$
$${\sigma }_1(b)=-b,\sigma (c)=-c$$
$${\sigma }_2(b)=c,{\sigma }_2(c)=b$$
$${\sigma }_3(b)=-c,{\sigma }_3(c)=-b$$
であるような${\sigma }_i$全体であるが、このとき$\sqrt{t}$が任意の${\sigma }_i$で固定されるから、$\sqrt{t}\in K$になり矛盾する。よって$M/K$はガロア拡大ではない。よって$L=K(b,c)$は$K$上$8$次拡大である。
(2) まず(1)から$G=\mathrm{Gal}(L/K)$は
$${\sigma }_{ij}(b)=(-1{)}^{i}b,{\sigma }_{ij}(c)=(-1{)}^{j}c$$
$${\tau }_{ij}(b)=(-1{)}^{i}c,{\sigma }_{ij}(c)=(-1{)}^{j}b$$
で定義される${\sigma }_{ij}$ないし${\tau }_{ij}$全体である。ここで
$${\tau }_{10}{\sigma }_{10}(b)=c,{\tau }_{10}{\sigma }_{10}(c)=b$$
$${\sigma }_{10}{\tau }_{10}(b)=-c,{\sigma }_{10}{\tau }_{10}(c)=-b$$
であるから、$G$はアーベルでない。