文献あり

モジュラー形式のL値で表される7F6の予想まとめ

前の記事( 7F6, 4F3のsupercongruenceの予想まとめ )で
\begin{align} S_n(a,b)&:=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(4k+1)\left(\frac 12,\frac 12,a,1-a,b,1-b\right)_k}{k!^2\left(\frac 12+a,\frac 32-a,\frac 12+b,\frac 32-b\right)_k} \end{align}
について, いくつかの組$(a,b)$に対して$S_p(a,b)$とモジュラー形式の係数の間のsupercongruenceの予想をまとめた. 今回は, その無限和版である
\begin{align} S(a,b):=\F76{\frac 54,\frac 12,\frac 12,a,1-a,b,1-b}{\frac 14,1,\frac 12+a,\frac 32-a,\frac 12+b,\frac 32-b}1 \end{align}
について, その値とモジュラー形式の$L$値に関する予想をまとめたいと思う. モジュラー形式(カスプ形式)の$q$展開を
\begin{align} f(\tau)=\sum_{0< n}a_n(f)q^n \end{align}
と表すとして, その$L$関数を
\begin{align} L(f,s):=\sum_{0< n}\frac{a_n}{n^s} \end{align}
を解析接続することによって定義されるものとする. LMFDBのラベルA.B.C.Dに対応するモジュラー形式を$f_{\mathrm{A.B.C.D}}$と表すものとする.

予想

既に示されている定理も含めて一覧としてまとめる.

定理1

\begin{align} S\left(\frac 12,\frac 12\right)&=\frac{32}{\pi^2}L(f_{8.4.a.a},1) \end{align}
この結果は, Rogers-Wan-Zuckerの論文, Moments of elliptic integrals and critical $L$-valuesに現れているものであり, このモジュラー形式には
\begin{align} f_{8.4.a.a}(\tau)=\eta(2\tau)^4\eta(4\tau)^4 \end{align}
という表示がある.

予想2

\begin{align} S\left(\frac 12,\frac 13\right)&=\frac{12}{\pi^2}L(f_{12.4.a.a},2) \end{align}

予想3

\begin{align} S\left(\frac 12,\frac 16\right)&=\frac 8{\pi^2}L(f_{24.4.a.a},2) \end{align}

予想4

\begin{align} S\left(\frac 13,\frac 13\right)&=L(f_{18.4.a.a},1) \end{align}

予想5

\begin{align} S\left(\frac 15,\frac 25\right)&=\frac 3{10}L(f_{50.4.a.d},1) \end{align}

予想6

\begin{align} S\left(\frac 16,\frac 16\right)&=\frac{32\sqrt 3}{9\pi}L(f_{24.2.a.a},1) \end{align}

定理7

\begin{align} S\left(\frac 12,\frac 14\right)&=\frac{16}{\pi^2}L(f_{8.4.a.a},2) \end{align}
この結果は, Rogers-Wan-Zuckerの論文に現れているものであり, このモジュラー形式には
\begin{align} f_{8.4.a.a}(\tau)&=\eta(2\tau)^4\eta(4\tau)^4 \end{align}
という表示がある.

予想8

\begin{align} S\left(\frac 13,\frac 14\right)&=5L(f_{6.4.a.a},1) \end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align} f_{6.4.a.a}(\tau)&=\eta(\tau)^2\eta(2\tau)^2\eta(3\tau)^2\eta(6\tau)^2 \end{align}
という表示がある.

以下の4つは, Dougallの${}_5F_4$和公式によって$a+b=\frac 12$のとき,
\begin{align} S(a,b)&=2\frac{\Gamma\left(1+a\right)\Gamma\left(1+b\right)}{\Gamma(1-a)\Gamma(1-b)} \end{align}
と表されるから既知の結果に帰着する. 定理9, 10, 11についてはRogers-Wan-Zuckerによる論文に書かれており, 定理12についてはArora-Mondal-Nakagawa-Tuによる論文, Special $L$-values of certain CM weight three Hecke eigenformsに書かれている結果
\begin{align} L(f_{144.3.g.a},2)&=\frac{8\sqrt 3}9L(f_{16.3.c.a},2) \end{align}
とRogers-Wan-Zuckerによる評価を用いることで得られる.

定理9

\begin{align} S\left(\frac 13,\frac 16\right)&=\frac{\sqrt 3\Gamma\left(\frac 13\right)^6}{3\cdot 2^{\frac 83}\pi^3}=\frac{8\sqrt 3}{3\pi}L(f_{12.3.c.a},2) \end{align}

定理10

\begin{align} S\left(\frac 14,\frac 14\right)&=\frac{\Gamma\left(\frac 14\right)^4}{16\pi^2}=\frac{4}{\pi}L(f_{16.3.c.a},2) \end{align}

定理11

\begin{align} S\left(\frac 18,\frac 38\right)&=\frac {3\sqrt 2\Gamma\left(\frac 18\right)^2\Gamma\left(\frac 38\right)^2}{128\pi^2}=\frac{9\sqrt 2}{2\pi}L(f_{8.3.d.a},2) \end{align}

定理12

\begin{align} S\left(\frac 1{12},\frac 5{12}\right)&=\frac{5\sqrt 3\Gamma\left(\frac 14\right)^4}{144\pi^2}=\frac{5}{2\pi}L(f_{144.3.g.a},2) \end{align}
前の記事( 7F6, 4F3のsupercongruenceの予想まとめ )で扱った13個の${}_7F_6$型の例に対応するもののうち,
\begin{align} S\left(\frac 1{10},\frac 3{10}\right) \end{align}
だけは上のような$L$値との関係が見つかっていない. この場合の対応するモジュラー形式の$L$値は
\begin{align} L(f_{200.2.a.b},1)=0 \end{align}
となっている.