7F6, 4F3のsupercongruenceの予想まとめ
前の記事 で${}_9F_8$のsupercongruenceの予想をまとめた. 今回は${}_7F_6$と${}_4F_3$のsupercongruenceの予想をまとめたいと思う.
${}_7F_6$のsupercongruence
\begin{align}
S_n(a,b)&:=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(4k+1)\left(\frac 12,\frac 12,a,1-a,b,1-b\right)_k}{k!^2\left(\frac 12+a,\frac 32-a,\frac 12+b,\frac 32-b\right)_k}
\end{align}
とする. $p$を素数として,
前の記事
と同様の記法を用いることにする.
Li-Long-Tuの予想および関連する予想
予想1
\begin{align}
S_p\left(\frac 12,\frac 12\right)&\equiv pa_p(f_{8.4.a.a})\pmod{p^4}\qquad p\geq 5
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{8.4.a.a}(\tau)&=\eta(2\tau)^4\eta(4\tau)^4
\end{align}
という表示がある.
予想2
\begin{align} S_p\left(\frac 12,\frac 13\right)&\equiv a_p(f_{12.4.a.a})\pmod{p^3}\qquad p\geq 13 \end{align}
予想3
\begin{align} S_p\left(\frac 12,\frac 16\right)&\equiv a_p(f_{24.4.a.a})\pmod{p^3}\qquad p\geq 13 \end{align}
予想4
\begin{align} pS_p\left(\frac 13,\frac 13\right)&\equiv a_p(f_{18.4.a.a})\pmod{p^3}\qquad p\geq 13 \end{align}
予想5
\begin{align}
pS_p\left(\frac 15,\frac 25\right)&\equiv a_p(f_{50.4.a.d})\pmod{p^3}\qquad p\geq 13
\end{align}
以下の2つはLi-Long-Tuのmodularityの結果から示唆される数値的な予想であり, 同論文中でsupercongruenceとして予想されているものではない.
予想6
\begin{align} S_p\left(\frac 16,\frac 16\right)&\equiv a_p(f_{72.2.a.a})\pmod{p}\qquad p\geq 5 \end{align}
予想7
\begin{align} S_p\left(\frac 1{10},\frac 3{10}\right)&\equiv a_p(f_{200.2.a.b})\pmod{p}\qquad p\geq 7 \end{align}
その他の予想
定理8
\begin{align}
S_p\left(\frac 12,\frac 14\right)&\equiv a_p(f_{8.4.a.a})\pmod{p^3}\qquad p\geq 3
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{8.4.a.a}(\tau)&=\eta(2\tau)^4\eta(4\tau)^4
\end{align}
という表示がある. これは
\begin{align}
S_p\left(\frac 12,\frac 14\right)=\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\left(\frac 12\right)_k^4}{k!^4}
\end{align}
と表され, 既に示されているものである.
予想9
\begin{align}
pS_p\left(\frac 13,\frac 14\right)&\equiv a_p(f_{6.4.a.a})\pmod{p^3}\qquad p\geq 7
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{6.4.a.a}(\tau)&=\eta(\tau)^2\eta(2\tau)^2\eta(3\tau)^2\eta(6\tau)^2
\end{align}
という表示がある.
予想10
\begin{align}
pS_p\left(\frac 13,\frac 16\right)&\equiv a_p(f_{12.3.c.a})\pmod{p^2}\qquad p\geq 7
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{12.3.c.a}(\tau)&=\eta(2\tau)^3\eta(6\tau)^3
\end{align}
という表示がある.
予想11
\begin{align} pS_p\left(\frac 14,\frac 14\right)&\equiv a_p(f_{16.3.c.a})\pmod{p^2}\qquad p\geq 5 \end{align}
予想12
\begin{align}
pS_p\left(\frac 18,\frac 38\right)&\equiv a_p(f_{8.3.d.a})\pmod{p^2}\qquad p\geq 11
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{8.3.d.a}(\tau)&=\eta(\tau)^2\eta(2\tau)\eta(4\tau)\eta(8\tau)^2
\end{align}
という表示がある.
予想13
\begin{align} pS_p\left(\frac 1{12},\frac 5{12}\right)&\equiv a_p(f_{144.3.g.a})\pmod{p^2}\qquad p\geq 13 \end{align}
超幾何的なCalabi-Yau threefoldに対応する14組の$(a,b)$について, $\left(\frac 14,\frac 16\right)$以外の全ての組についてモジュラー形式との関係が見つかったが, $\left(\frac 14,\frac 16\right)$の場合だけまだモジュラー形式との関係が予想できていない.
${}_4F_3$のsupercongruence
\begin{align}
\sum_{k=0}^{p-1}\frac{(a,1-a,b,1-b)_k}{k!^4}
\end{align}
については, 超幾何的なCalabi-Yau threefoldに対応する14組の$(a,b)$についてモジュラー形式との関係がLong-Tu-Yui-Zudilinの研究において示されている. それは$a,b\in\left\{\frac 12,\frac 13,\frac 14,\frac 16\right\}$から得られる10個の例と,
\begin{align}
\left(\frac 15,\frac 25\right),\left(\frac 18,\frac 38\right),\left(\frac 1{10},\frac 3{10}\right),\left(\frac 1{12},\frac 5{12}\right)
\end{align}
の4つの例である. 今回は, より一般的な和
\begin{align}
U_n(a,b,c)&=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(a,1-a,b,1-b)_k}{k!^2\left(\frac 12+c,\frac 32-c\right)_k}
\end{align}
について, $c=\frac 13,\frac 14,\frac 16$の場合に上の14組を調べた結果得られたものをまとめたいと思う. 以下, $\left(\frac ap\right)$をLegendre記号とする.
予想14
\begin{align}
pU_p\left(\frac 12,\frac 13,\frac 13\right)&\equiv a_p(f_{6.4.a.a})\pmod{p^3}\qquad p\geq 7
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{6.4.a.a}(\tau)&=\eta(\tau)^2\eta(2\tau)^2\eta(3\tau)^2\eta(6\tau)^2
\end{align}
という表示がある.
予想15
\begin{align}
pU_p\left(\frac 12,\frac 14,\frac 13\right)&\equiv \left(\frac{-1}p\right)a_p(f_{6.4.a.a})\pmod{p^3}\qquad p\geq 7
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{6.4.a.a}(\tau)&=\eta(\tau)^2\eta(2\tau)^2\eta(3\tau)^2\eta(6\tau)^2
\end{align}
という表示がある.
予想16
\begin{align}
pU_p\left(\frac 12,\frac 16,\frac 13\right)&\equiv a_p(f_{12.3.c.a})\pmod{p^2}\qquad p\geq 7
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{12.3.c.a}(\tau)&=\eta(2\tau)^3\eta(6\tau)^3
\end{align}
という表示がある.
予想17
\begin{align}
pU_p\left(\frac 13,\frac 16,\frac 13\right)&\equiv a_p(f_{27.3.b.a})\pmod{p^2}\qquad p\geq 7
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{27.3.b.a}(\tau)&=\eta(3\tau)^5\eta(9\tau)+9\eta(3\tau)^2\eta(9\tau)\eta(27\tau)^3
\end{align}
という表示がある.
予想18
\begin{align}
pU_p\left(\frac 14,\frac 16,\frac 13\right)&\equiv \left(\frac{-1}p\right)a_p(f_{12.3.c.a})\pmod{p^2}\qquad p\geq 7
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{12.3.c.a}(\tau)&=\eta(2\tau)^3\eta(6\tau)^3
\end{align}
という表示がある.
予想19
\begin{align}
pU_p\left(\frac 12,\frac 12,\frac 14\right)&\equiv a_p(f_{8.4.a.a})\pmod{p^3}\qquad p\geq 5
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{8.4.a.a}(\tau)&=\eta(2\tau)^4\eta(4\tau)^4
\end{align}
という表示がある.
予想20
\begin{align}
pU_p\left(\frac 12,\frac 13,\frac 14\right)&\equiv \left(\frac{-3}p\right)a_p(f_{6.4.a.a})\pmod{p^3}\qquad p\geq 5
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{6.4.a.a}(\tau)&=\eta(\tau)^2\eta(2\tau)^2\eta(3\tau)^2\eta(6\tau)^2
\end{align}
という表示がある.
予想21
\begin{align}
pU_p\left(\frac 12,\frac 14,\frac 14\right)&\equiv a_p(f_{16.3.c.a})\pmod{p^2}\qquad p\geq 5
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{16.3.c.a}(\tau)&=\eta(4\tau)^6
\end{align}
という表示がある.
予想22
\begin{align} pU_p\left(\frac 13,\frac 14,\frac 14\right)&\equiv a_p(f_{36.3.d.a})\pmod{p^2}\qquad p\geq 5 \end{align}
予想23
\begin{align}
pU_p\left(\frac 12,\frac 13,\frac 16\right)&\equiv a_p(f_{12.3.c.a})\pmod{p^2}\qquad p\geq 5
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{12.3.c.a}(\tau)&=\eta(2\tau)^3\eta(6\tau)^3
\end{align}
という表示がある.
