東大数理院試2009年度専門問3解答

東大数理の院試（2009年度専門問3）の解答です．
自分が作った解答はここに置いてあり，代数の問題も数問解いてpdfにまとめてはあります．でもまだ公開するつもりはないので，ここで個別に書いておくことにします．

（東大数理2009年専門問3）

整数 $λ, μ$ に対して，連立漸化式
${\begin{aligned} a_{n + 1} = λ a_{n} + b_{n} \\ b_{n + 1} = a_{n} + μ b_{n} \\ a_{1} = 0, b_{1} = 1 \end{aligned} n = 1, 2, \dots$
を考える． $2$ ではない素数 $p$ を固定し， $(λ - μ)^{2} + 4$ は $p$ で割り切れないと仮定する．
(1) 全ての正の整数 $n$ に対して
$p ∣ a_{n + p^{2} - 1} - a_{n} かつ p ∣ b_{n + p^{2} - 1} - b_{n}$
が成り立つことを示せ．
(2) $λ = 2, μ = 1$ とする．全ての正の整数 $n$ に対して
$p ∣ a_{n + p - 1} - a_{n} かつ p ∣ b_{n + p - 1} - b_{n}$
が成り立つような $13$ 以下の奇素数 $p$ を全て求めよ．

(1)
自然な射影 $Z \to Z / p Z = F_{p}$ による $a_{n}, b_{n}$ の像をそれぞれ $c_{n}, d_{n}$ とし，以下 $F_{p}$ の代数閉包 $\overset{―}{F_{p}}$ 上で考える．
$c_{n + p^{2} - 1} = c_{n}, d_{n + p^{2} - 1} = d_{n}$ を示せば良い．
$A = (\begin{matrix} λ & 1 \\ 1 & μ \end{matrix}) \in M_{2} (F_{p})$ とおくと
$\begin{matrix} (*) & (\begin{matrix} c_{n + k} \\ d_{n + k} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} c_{n + k - 1} \\ d_{n + k - 1} \end{matrix}) = \dots = A^{k} (\begin{matrix} c_{n} \\ d_{n} \end{matrix}) \end{matrix}$
である． $A$ の固有多項式は $t^{2} - (λ + μ) t + λ μ - 1$ で判別式は $D = (λ - μ)^{2} + 4 \neq 0$ だから， $A$ は相異なる固有値を持つ．よって $A$ の Jordan 標準形は対角行列である．また固有値は $F_{p^{2}}$ の元だから $A^{p^{2}} = A .$

$∙$ $λ μ \neq 1$ の時：
$A$ は正則だから $A^{p^{2} - 1} = I .$ よって $(*)$ より $c_{n + p^{2} - 1} = c_{n}, d_{n + p^{2} - 1} = d_{n}$ となる．

$∙$ $λ = μ = 1$ の時：
帰納的に $a_{n} = b_{n} = 2^{n - 2} (n \geq 2)$ である． $p \neq 2$ だから， $n \geq 2$ に対し
$c_{n + p^{2} - 1} = 2^{n - 2} \cdot (2^{p - 1})^{p + 1} = 2^{n - 2} = c_{n}$
となる． $d_{n}$ も同様．

$∙$ $λ = μ = - 1$ の時：
帰納的に $a_{n} = (- 1)^{n} 2^{n - 2}, b_{n} = (- 1)^{n + 1} 2^{n - 2} (n \geq 2)$ となる． $p^{2} - 1$ が偶数であることに注意すると， $λ = μ = 1$ の時と同様に $n \geq 2$ に対し $c_{n + p^{2} - 1} = c_{n}, d_{n + p^{2} - 1} = d_{n}$ となる．

(2)
$λ μ \neq 1$ だから，条件を満たすことは $A^{p} = A,$ すなわち $A$ の全ての固有値が $F_{p}$ の元であることと同値．これは $D = 5$ が $mod p$ の平方剰余であることと同値．仮定から $p \neq 5$ である．また明らかに $p \neq 3.$ $p > 5$ の時は Euler の規準と平方剰余の相互法則より
$(\frac{5}{p}) = (- 1)^{\frac{5 - 1}{2} \frac{p - 1}{2}} (\frac{p}{5}) = (\frac{p}{5}) \equiv p^{(5 - 1) / 2} = p^{2} (\mod 5)$
だから，これが $1$ となるのは $p \equiv \pm 1 mod 5$ の時．よって答えは $p = 11$ のみ．

$λ = μ = \pm 1$ の時は $a_{p^{2}} - a_{1}$ は $2$ のべき乗なので $p$ で割り切れない．
これ以前にも以下の類題が出題されており，そこでもパラメータによっては $n = 1$ で成り立たない．
誤植だと思うが，似た問題のほぼ同じ箇所に誤植があるとも考えにくいので，自分が間違えてるかもしれない．

（東大数理1996年度専門問2）

整数 $λ, μ$ に対し数列 ${a_{n}}$ を帰納的に
${\begin{aligned} a_{1} = 1, a_{2} = 1, \\ a_{n + 2} = λ a_{n + 1} + μ a_{n} \end{aligned}$
と定める．

(1)素数 $p$ が $λ^{2} + 4 μ$ の約数でないとき，任意の整数 $n \geq 1$ に対し $p$ は $a_{n + p^{2} - 1} - a_{n}$ の約数であることを示せ．

(2) $λ = 2, μ = - 4$ とする． $5$ 以上の素数 $p$ が，任意の整数 $n \geq 1$ に対し $a_{n + p - 1} - a_{n}$ の約数であるための必要十分条件を求めよ．（ $p$ に対する合同式で表わせ．）

$(\begin{matrix} a_{n + 2} \\ a_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} λ & μ \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{n + 1} \\ a_{n} \end{matrix})$
だから，上と同様にできる．（ $A$ が正則にならない $μ = 0$ の時は $n = 1$ で成り立たない．）