x4+y4+z4=w4を満たす自然数は無限にあることを証明します。
与式より(x2+y2)2+z4−2x2y2=w4s2+t2=w4+2x2y2s2+t2−u2=2x2y2(s+t)2−u2=2x2y2+2st(s+t+u)(s+t−u)=2(A+B)(X+Y)(X−Y)=2n(ただし、X,nは平方数の和、Yは平方数。)以上より、式を満たす自然数が無限個あることより、与式を満たす自然数は無限に存在する。Q. E. D.■
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