オイラー予想の反例が無限にあることのごく簡単な証明

オイラー予想の反例が無限にあることのごく簡単な証明

$x^4+y^4+z^4=w^4$を満たす自然数は無限にあることを証明します。

証明

与式より
$(x^2+y^2)^2+z^4-2x^2y^2=w^4$
$s^2+t^2=w^4+2x^2y^2$
$s^2+t^2-u^2=2x^2y^2$
$(s+t)^2-u^2=2x^2y^2+2st$
$(s+t+u)(s+t-u)=2(A+B)$
$(X+Y)(X-Y)=2n$
（ただし、$X,n$は平方数の和、$Y$は平方数。）
以上より、式を満たす自然数が無限個あることより、与式を満たす自然数は無限に存在する。
Q. E. D.
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