Henselの補題とNewton法
Henselの補題
$f(X)$を整数係数の多項式，$p$を素数とする．このとき，もしある整数$x_1$が存在して
$$
f(x_1) \equiv 0, f'(x_1) \not\equiv 0 \pmod{p}
$$
となるならば，任意の正の整数$n$に対してある整数$x_n$が存在して
$$
f(x_{n + 1}) \equiv 0 \pmod{p^{n + 1}}, x_{n + 1} \equiv x_n \pmod{p^n}
$$
が成り立つ．
$n$に関する数学的帰納法．$n > 1$とし，定理の条件を満たすような$x_{n - 1}$が存在すると仮定する．このとき，$f(X) = \sum_{i = 0}^r a_i X^i$とおけば，$\symbb{Z} / p^n \symbb{Z}$で
\begin{align}
&f(x_{n - 1} - f(x_{n - 1}) f'(x_{n - 1})^{-1})\\ &= \sum_{i = 0}^r a_i (x_{n - 1} - f(x_{n - 1}) f'(x_{n - 1})^{-1})^i \text{（仮定$f'(x_1) \not\equiv 0 \pmod{p}$により，$f'(x_{n - 1})$は$\symbb{Z} / p^{n}\symbb{Z}$で逆元を持つ.）}\\
&= \sum_{i = 0}^r a_i \sum_{j = 0}^i \binom{i}{j} x_{n - 1}^{j} f(x_{n - 1})^{i - j} f'(x_{n - 1})^{j - i}\\
&= \sum_{i = 0}^r a_i(x_{n - 1}^i - i x_{n - 1}^{i - 1} f(x_{n - 1}) f'(x_{n - 1})^{-1}) \text{ （$f(x_{n - 1})$は$p^{n - 1}$で割り切れるから，$e \ge 2$のとき$f(x_{n - 1})^e$は$p^n$で割り切れる.）}\\
&= f(x_{n - 1}) - f(x_{n - 1}) f'(x_{n - 1}) f'(x_{n - 1})^{-1}\\
&= 0
\end{align}
が成り立つ．そして，$f(x_{n - 1}) \equiv 0 \pmod{p^{n - 1}}$だから，$x_n = x_{n - 1} - f(x_{n - 1}) f'(x_{n - 1})^{-1}$（$\symbb{Z} / p^n \symbb{Z}$における逆元の$\symbb{Z}$における原像を任意に選ぶ）とすれば$x_n \equiv x_{n - 1} \pmod{p^{n - 1}}$．ゆえに定理は示された．
Newton法との関連
方程式の解をコンピュータで効率的に求める方法の1つに，Newton法と呼ばれるものがあります（
Wikipedia
）．これでは，最初に適当な実数$x_1$が与えられたとき，実数$x_n$（$n > 1$）を漸化式
$$
x_n = x_{n - 1} - \frac{f(x_{n - 1})}{f'(x_{n - 1})} \tag{$\ast$}
$$
によって定めることで，方程式$f(X) = 0$に解が存在するならば
$$
f\Bigl(\lim_{n \to \infty} x_n\Bigr) = 0
$$
となるため，適当な$n$で計算を打ち切ることにより，方程式$f(X) = 0$の解の近似値を求めることができます．
この方法において，解の近似値を求める漸化式 ($\ast$) が，Henselの補題の証明における$x_n$を定める漸化式と非常に類似していることがわかるかと思います．つまり，Henselの補題において，$\bmod p$における「荒い」解を，$p^2, p^3, \dotsc$という風に「正確に」していくことができる，とHenselの補題の主張を言い換えることができます．
そこで，Henselの補題において，$n \to \infty$とすることができれば，Newton法のように「限りなく近い」解が得られそうです．そして，そのようにして「限りなく近い」解が得られるような空間が$p$進整数環$\symbb{Z}_p$です．つまり，Henselの補題は$\symbb{Z}_p$におけるNewton法のようなものであるということができます．
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