東大数理院試過去問解答例(2021B03)

まず$\mathrm{GL}_2(K)$の共役類は、その固有値と対角化可能かどうかで分類される。また$\theta$によって固有値$\alpha,\beta$を持つ線型同型と$\alpha^3,\beta^3$を持つ線型同型が共役になっている。
まず固有値が$1,1$であるような対角化可能な同型の集合と$2,2$であるような対角化可能な同型の集合は$1$元集合である。
次に固有値が$1,2$であるような集合は$\frac{80\times 72}{64}=90$個の元からなる。
次に相異なる固有値$\alpha,\beta$を持ち、一方の$\alpha$だけが$\mathbb{F}_3$の元であるようなものの$\mathrm{GL}_2(K)$に於ける同型の集合は$90$個であり、これは$\theta$によって固有値$\alpha,\beta^3$を持つ同型の集合とも共役になっているから、この$G$に於ける共役類は$90\times2=180$個の元から成る。このような$(\alpha,\beta)$の組は$12$通りある。よってこのような共役類は$\frac{12}{2}=6$個である。
次に固有値に$\alpha\in\mathbb{F}_9\backslash\mathbb{F}_3$のみを持つ対角化可能な同型の共役類は$2$個の元から成る。このような$\alpha$の取り方は$6$通りあるから、このタイプの共役類は$\frac{6}{2}=3$個である。
次に相異なる固有値$\alpha,\beta\in\mathbb{F}_9\backslash\mathbb{F}_3$をもち、$\alpha^3\neq\beta$であるような同型の共役類は$180$個の元から成る。このような$(\alpha,\beta)$の取り方は$6^2-6\times2=24$通りあるから、このタイプの共役類は$\frac{24}{4}=6$個である。
次に相異なる固有値$\alpha,\beta\in\mathbb{F}_9\backslash\mathbb{F}_3$をもち、$\alpha^3=\beta$であるような同型の共役類は$90$個の元から成る。このような$(\alpha,\beta)$の取り方は$6$通りあるから、このタイプの共役類の個数は$\frac{6}{2}=3$個である。
最後に固有値を$\mathbb{F}_{81}\backslash\mathbb{F}_9$にもつ場合を考える。まずモニックな$\mathbb{F}_9$-係数既約$2$次多項式の一つをとり、それを$f$とおく。$f$を特性多項式にもつ$\mathrm{GL}_2(K)$の元は$72$個ある。ここで$\theta$による共役を$2$回施したものは固有値を入れ替えただけになるから、このような行列の$G$に於ける共役類は$144$個である。モニックな$\mathbb{F}_9$-係数既約$2$次多項式の個数は$9^2-45=36$個であるから、このような共役類の個数は$\frac{36}{2}=18$個である。
次に対角化不可能な場合を考える。まず固有値に$\alpha\in\mathbb{F}_3$を持つ場合、このようなものの共役類は$\frac{80\times 72}{9\times 8}=80$個の元からなり、$\alpha^3=\alpha$であるから$G$に於ける共役類も$80$個の元からなる。このような$\alpha$は$1,2$しかないから、このタイプの共役類も$2$つである。
最後に固有値に$\alpha\in\mathbb{F}_9\backslash\mathbb{F}_3$を持つ場合、$G$に於ける共役類は$80\times2=160$個の元から成る。このような$\alpha$の取り方は$6$通りあるから、このタイプの共役類は$\frac{6}{2}=3$個ある。以上をまとめると、共役類の元の個数としてあり得る値とそれを満たす共役類の個数は

になっている。

まず$G$の群構造は$G\simeq \mathrm{GL}_2(K)\rtimes\langle\theta\rangle$である。ここで群
$$ C=\{g\in G|g\theta=\theta g\} $$
を考える。この群は$\theta$を含んでいるから、$\mathrm{GL}_2(K)$の部分群$N$を用いて$C\simeq N\rtimes \langle\theta\rangle$の形でかける。まず$\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)$は$C$に含まれているから、$\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)\subseteq N$である。一方$\mathrm{GL}_2(K)\backslash\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)$の元は$\theta$と可換でないから$N=\mathrm{GL}_3(\mathbb{F}_3)$である、以上から
$$ C=\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)\times \langle\theta\rangle $$
が分かり、特に$\theta$と可換な$G$の元は${\color{red}96}$個である。
次に$\theta$と共役な元は位数が$2$である。ここで$C$に於ける位数$2$の元は、$P^2=1$なる$\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)$を用いて$P\theta $ないし$P$と書けるもので尽くされる。このような$P$は対角行列及び
$$ \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&2 \end{pmatrix} $$
に共役なものに限られる。そして実際$x\in\mathbb{F}_9$を$x^2=2$を満たすように取ったとき、
$$ \begin{pmatrix} x&0\\ 0&x \end{pmatrix}^{-1}\theta\begin{pmatrix} x&0\\ 0&x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&0\\ 0&2 \end{pmatrix}\theta $$
$$ \begin{pmatrix} x&0\\ 0&1 \end{pmatrix}^{-1}\theta\begin{pmatrix} x&0\\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\theta$$
であるから、$\begin{pmatrix} 2&0\\ 0&2 \end{pmatrix}\theta$及び$\begin{pmatrix} 2&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\theta$は$\theta$の共役類に含まれる。次に$P=g^{-1}\begin{pmatrix} 2&0\\ 0&1 \end{pmatrix}g\in\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)$としたとき、
$$ \begin{split} P\theta&=g^{-1}\begin{pmatrix} 2&0\\ 0&1 \end{pmatrix}g\theta\\ &=g^{-1}\begin{pmatrix} 2&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\theta g\\ &=g^{-1}\begin{pmatrix} x&0\\ 0&1 \end{pmatrix}^{-1}\theta\begin{pmatrix} x&0\\ 0&1 \end{pmatrix} g\end{split} $$
であるから、$P\theta$も$\theta$の共役類に含まれる。ここで$\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)$に於ける行列$\begin{pmatrix} 2&0\\ 0&1 \end{pmatrix}$の共役類は$\frac{48}{4}=12$個である。一方$\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_9)$の元は$\theta$と共役になり得ない。以上から$C$に含まれる$\theta$と共役な元の個数は$12+1+1={\color{red}14}$個である。