自然数の濃度は唯一つに定まる
集合$N, N'$と写像$s_N \colon N \to N, s_{N'} \colon N' \to N'$が次の条件を満たすとする:
(1) $s_N, s_{N'}$は単射.
(2) ある$0_N \in N, 0_{N'} \in N'$が存在して$s_N(N) = N \setminus \set{0_N}, s_{N'}(N') = N' \setminus \set{0_{N'}}$.
(3) $0_N$が条件$P$を満たし, かつ任意の$n \in N$に対して$P(n) \implies P(s_N(n))$が成り立つならば, 任意の$n \in N$に対して$P(n)$が成り立つ. さらに, これの$N$を$N'$におきかえたものも成り立つ.
このとき, $N, N'$は無限集合であり，全単射$\varphi \colon N \to N'$が存在する．
$N, s_N$を定理1の通りとする. このとき, 任意の$n \in N$に対し$s^n(0_N) = n$となる. ただし, $s_N^{0_N} \coloneqq \mathrm{id}_N, s_N^r \coloneqq s_N \circ s_N^{s_N^{-1}(r)}$と定義する.
$n = 0_N$のときは$r = 0_N$である. さらに, $n \in N, n = s_N^n(0_N)$とするとき, $s_N(n) = s_N(s_N^n(0_N)) = s_N^{n + 1}(0_N)$となるから, 定理の条件(3)により, 任意の$n \in N$が$s_N^n(0_N)$に等しい．
集合$\set{s_N^r(0_N) \mid r \in N}$は条件(1)により無限集合であり, 条件(2)により$N$に等しいから$N$は無限集合である.
$\varphi(0_N) \coloneqq 0_{N'}, \, \varphi(s_N(n)) \coloneqq s_{N'}(\varphi(n))\ (n \in N, n \neq 0_N)$と定義すると，これは全単射である．実際，$\varphi(n) = \varphi(n') \iff s_{N'}^n(\varphi(0_N)) = s_{N'}^{n'}(\varphi(0_N)) \iff n = n'$だから写像$\varphi$は単射であり，$m \in N'$とすると$\varphi(s_N^m(0_N)) = m$となるから$\varphi$は全射である．
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
