自然数の濃度は唯一つに定まる

集合 $N, N^{'}$ と写像 $s_{N} : N \to N, s_{N^{'}} : N^{'} \to N^{'}$ が次の条件を満たすとする:
(1) $s_{N}, s_{N^{'}}$ は単射.
(2) ある $0_{N} \in N, 0_{N^{'}} \in N^{'}$ が存在して $s_{N} (N) = N ∖ {0_{N}}, s_{N^{'}} (N^{'}) = N^{'} ∖ {0_{N^{'}}}$ .
(3) $0_{N}$ が条件 $P$ を満たし, かつ任意の $n \in N$ に対して $P (n) ⟹ P (s_{N} (n))$ が成り立つならば, 任意の $n \in N$ に対して $P (n)$ が成り立つ. さらに, これの $N$ を $N^{'}$ におきかえたものも成り立つ.
このとき, $N, N^{'}$ は無限集合であり，全単射 $φ : N \to N^{'}$ が存在する．

$N, s_{N}$ を定理1の通りとする. このとき, 任意の $n \in N$ に対し $s^{n} (0_{N}) = n$ となる. ただし, $s_{N}^{0_{N}} : = {id}_{N}, s_{N}^{r} : = s_{N} \circ s_{N}^{s_{N}^{- 1} (r)}$ と定義する.

$n = 0_{N}$ のときは $r = 0_{N}$ である. さらに, $n \in N, n = s_{N}^{n} (0_{N})$ とするとき, $s_{N} (n) = s_{N} (s_{N}^{n} (0_{N})) = s_{N}^{n + 1} (0_{N})$ となるから, 定理の条件(3)により, 任意の $n \in N$ が $s_{N}^{n} (0_{N})$ に等しい．

定理の証明

集合 ${s_{N}^{r} (0_{N}) ∣ r \in N}$ は条件(1)により無限集合であり, 条件(2)により $N$ に等しいから $N$ は無限集合である.
$φ (0_{N}) : = 0_{N^{'}}, φ (s_{N} (n)) : = s_{N^{'}} (φ (n)) (n \in N, n \neq 0_{N})$ と定義すると，これは全単射である．実際， $φ (n) = φ (n^{'}) ⟺ s_{N^{'}}^{n} (φ (0_{N})) = s_{N^{'}}^{n^{'}} (φ (0_{N})) ⟺ n = n^{'}$ だから写像 $φ$ は単射であり， $m \in N^{'}$ とすると $φ (s_{N}^{m} (0_{N})) = m$ となるから $φ$ は全射である．

投稿日：14日前

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